王鋒

在解答數(shù)列問題時，我們經(jīng)常會遇到求數(shù)列的前n項和問題.求數(shù)列的前n項和的方法很多，常用的有公式法、裂項相消法、錯位相減法、并項求和法、分組求和法等.本文主要介紹三種常用的方法.

一、利用公式法求數(shù)列的前n項和

例1.設(shè)數(shù)列{an＋1}是一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，已知a3＝7，a7＝127.求數(shù)列{an}的前n項和．

解：因為a3＋1＝8，a7＋1＝128，

所以（a5＋1）2＝（a3＋1）（a7＋1）＝8×128＝1 024，

可得a5＋1＝32，即a5＝31.

設(shè)數(shù)列{an＋1}的公比為q，

所以數(shù)列{an＋1}是一個以2為首項、2為公比的等比數(shù)列，

所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1，

數(shù)列{an＋1}是一個等比數(shù)列，所以可以直接根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式建立方程組，求得數(shù)列的首項a1和公比q，即可根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求得{an＋1}的前n項和，進而求得數(shù)列{an}的前n項和Sn．

二、利用并項求和法求數(shù)列的前[n]項和

若數(shù)列的某些項呈現(xiàn)一定的規(guī)律，并在一起可構(gòu)成等比數(shù)列、等差數(shù)列，且其和為定值，則可將這些項并在一起進行求和，運用并項求和法求得數(shù)列的前n項和.采用并項求和法解題，通常需將數(shù)列中的各項進行拆分、重組、合并.

A. 0? ? ? ?B. 1? ? ? ?C. 675? ? ? D. 2023

故函數(shù)[f（x）]為奇函數(shù)，

因為[fa1+fa2+a3=0]，

所以[fa1=-fa2+a3=f-a2-a3]，

所以[a1+a2+a3=0]，

因為[a1=1，an+3=ann∈N*]，即數(shù)列的周期為3，

故選[B].

通過研究函數(shù)的性質(zhì)，可發(fā)現(xiàn)：（1）[a1+a2+a3=0]；（2）數(shù)列的周期為3，由此可知，數(shù)列中每相鄰3項的和為0，所以只需采用并項求和法，將每相鄰的3項并在一起求和，最后將所得的和與余項[a2023]相加即可.

三、利用裂項相消法求數(shù)列的前[n]項和

三、利用錯位相減法求數(shù)列的前[n]項和

若數(shù)列的通項公式為一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的通項公式的乘積，如[an?bn]，則可運用錯位相減法求數(shù)列的前n項和.先列出數(shù)列的前n項和[Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn]，以及[qSn=qa1b1+qa2b2+qa3b3+…+qanbn]；然后將兩式錯位相減，中間的部分項即可構(gòu)成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求解，即可求得[Sn].

例5.若函數(shù)[an+1=fan]， 則稱[f（x）]為數(shù)列[an]的“伴生函數(shù)”.已知數(shù)列[an]的“伴生函數(shù)”為[f（x）=2x+1，a1=1]，則數(shù)列[nan]的前[n]項和[Tn=]（? ? ）.

解：由題意可知[an+1=fan=2an+1]，

可得[an+1+1=2an+1+1=2an+1]，

又因為[a1+1=1+1=2]，

因此數(shù)列[an+1]是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

則[an+1=2?2n-1=2n，]

所以[an=2n-1，n∈N*.]

則[Tn=a1+2a2+3a3+…+nan]

[=1?21-1+2?22-2+3?23-3+…+n?2n-n]

[=1?21+2?22+3?23+…+n?2n-1+2+3+…+n]

[=1?21+2?22+3?23+…+n?2n-nn+12].

令[Mn=1?21+2?22+3?23+…+n?2n，]

將兩式相減可得：

[-Mn=21+22+23+…+2n-n?2n+1]

故選[C].

數(shù)列[nan]的通項公式為[n?2n-n]，其中[n]可視為等差數(shù)列，[2n]可視為等比數(shù)列，則[n?2n]的各項由等差與等比數(shù)列的對應(yīng)項的乘積構(gòu)成，需采用錯位相減法，將[Mn-2Mn]，再利用等比數(shù)列的前n項和公式求得數(shù)列的和.

雖然求數(shù)列的前n項和的方法很多，但是每種方法的特點和適用情況都不相同.同學(xué)們在解題時，需根據(jù)解題的需求，選用與之相應(yīng)的方法，如公式法、錯位相減法、裂項相消法進行求和.