鄭亞利

導(dǎo)數(shù)法是解答函數(shù)問題的重要工具.對(duì)于較為復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式問題，利用導(dǎo)數(shù)法求解，不僅思路簡(jiǎn)單，而且可以使問題快速得解.下面結(jié)合實(shí)例，來探討一下如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解答函數(shù)問題.

一、判斷函數(shù)的單調(diào)性

對(duì)于簡(jiǎn)單的函數(shù)單調(diào)性問題，通常可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義、簡(jiǎn)單基本函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.而對(duì)于較為復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性問題，往往需運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.一般地，若在某區(qū)間上[fx>0]，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；若在某區(qū)間上[fx<0]，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.

例1.已知函數(shù)[f（x）=x3+ax2+x+1.]

（1）討論函數(shù)[f（x）]的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)[f（x）]在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍.

解：（1）因?yàn)閇f（x）=3x2+2ax+1.]

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解答函數(shù)單調(diào)性問題，關(guān)鍵在于判斷區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的符號(hào).可直接令導(dǎo)函數(shù)為0，根據(jù)求根公式，或通過因式分解求得零點(diǎn)，再用零點(diǎn)將定義域劃分為幾個(gè)子區(qū)間，并在每個(gè)子區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào).若導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)，往往需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

二、函數(shù)不等式問題

對(duì)于簡(jiǎn)單的函數(shù)不等式問題，往往可以直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可在各個(gè)單調(diào)區(qū)間上，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷函數(shù)式之間的大小關(guān)系，證明不等式成立.

例2.已知函數(shù)[f（x）=（x?2）ex]，若[fx1=fx2]，且[x1≠x2，x1?x2>0]，則（? ? ）.

解：對(duì)函數(shù)[f（x）=（x?2）ex]求導(dǎo)得：[f（x）=（x?1）ex]，

當(dāng)[x<1]時(shí)， [f（x）<0]，則函數(shù)[f（x）]在（-[∞]，1）上單調(diào)遞減；

當(dāng)[x>1]時(shí)， [f（x）>0]，則函數(shù)[f（x）]在（1，+[∞]）上單調(diào)遞增.

則當(dāng)[x=1]時(shí)，函數(shù)[f（x）]取得極小值， [f（1）=?e]，

又[f0=?2， f2=0]，

當(dāng)[x<2]時(shí)， [f（x）<0]，畫出函數(shù)[f（x）]的圖象，如圖所示.

因?yàn)閇fx1=fx2]，且[x1≠x2， x1?x2>0]，

因此[x1x2>1]不成立.

下面證明：[x1+x2<2]，即證明[0

只需證明[fx1>f2?x2]，即證明[fx2>f2?x2]，

可得[g（1）=0]，[g（x）=（x?1）ex+（1?x）e2?x=（x?1）ex?e2?x>0]，

故[g（x）>g（1）=0]，即[fx2>f2?x2]，

所以[fx1>f2?x2]成立，此時(shí)[x1+x2<2].

綜上可知，只有[D]選項(xiàng)正確.

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，便可直接根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，進(jìn)而畫出函數(shù)的圖象，再在各個(gè)單調(diào)區(qū)間上，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷四個(gè)選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).

對(duì)于較為復(fù)雜的函數(shù)不等式問題，通常運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求解，比較奏效.在解題時(shí)，首先將不等式進(jìn)行變形，如移項(xiàng)、通分、分母有理化、拆分等，將不等式轉(zhuǎn)化為[fx>0]、 [fx<0]、 [fxgx]的形式；然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并求得其零點(diǎn)；再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來判斷各個(gè)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)極值的定義判斷出函數(shù)的極大值、極小值，從而證明不等式成立，或求得不等式成立時(shí)參數(shù)的取值范圍.

A. [x>y]B. [x1]D. [logxy<1]

解：因?yàn)閇x>0，y>0，x≠1]，

故函數(shù)[g（x）]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞減，且[g（1）=0]，

所以當(dāng)[x∈（0，1）]時(shí)[，y>x， logxy

當(dāng)[x∈（1，+∞）]時(shí)，[y

綜上可得[logxy<1]，故選[D].

解答本題，需先根據(jù)題意構(gòu)造合適的函數(shù)；然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)法判斷出函數(shù)的單調(diào)性；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷[x與y]、[logxy與1]的大小關(guān)系.

C. [（?∞，0）∪（e，+∞）] D. [（e，+∞）].

解：當(dāng)[k<0]時(shí)，[ekx+1<2]，

可得[kxekx+1>（1+x）ln x]，

即[ln ekxekx+1>（1+x）ln x]對(duì)任意[x∈（0，+∞）]恒成立.

設(shè)[f（x）=（1+x）ln x]，則[fekx>f（x）]，

當(dāng)[x>1]時(shí)，[g（x）>0]，則[g（x）]在（1，+[∞]）上單調(diào)遞增；

當(dāng)[0

所以[f（x）]在[x=1]處取得極小值，且極小值為2，

所以[f（x）>0]恒成立， [f（x）]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞增，

當(dāng)[x>e]時(shí)，[h（x）<0]，則[h（x）]在（e，+[∞]）上單調(diào)遞減；

當(dāng)[00]，則[h（x）]在（0，e）上單調(diào)遞增，

綜上所述，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法，可以快速判斷出函數(shù)的單調(diào)性、求得函數(shù)的最值、解答函數(shù)不等式問題.在解答函數(shù)問題時(shí)，我們需靈活運(yùn)用求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則、導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系、極值等知識(shí)，來提升解題的效率.