仲啟飛

幾何體的外接球問(wèn)題通常較為復(fù)雜，對(duì)同學(xué)們的空間想象能力和抽象思維能力有較高的要求.常見(jiàn)的命題方式為求幾何體的外接球的半徑、表面積、體積.解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于求得幾何體的外接球的半徑.下面結(jié)合實(shí)例，探討一下求解幾何體的外接球問(wèn)題的兩種途徑.

一、幾何法

運(yùn)用幾何法求解幾何體的外接球問(wèn)題，關(guān)鍵是確定幾何體的外接球的球心的位置.可根據(jù)球的定義：球心到球面上的任意一點(diǎn)的距離都相等，即球心到幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，來(lái)確定球心的位置，從而求得球的半徑.這就要求同學(xué)們熟悉簡(jiǎn)單空間幾何體的性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理、正余弦定理來(lái)解題.

解：設(shè)[O]為線段[BD]的中點(diǎn)，如圖2，連接[OA]、[OB]、[OC]、[OD].

∴[AB⊥AD]，∴[OA=OB=OD]，

∴[BC⊥CD]，∴[OC=OB=OD]，

∴空間四邊形[ABCD]的外接球的球心為[BD]的中點(diǎn)，

∴空間四邊形[ABCD]的外接球的表面積為[S球=4π?R2=4π×12=4π].

本題中，[ΔABD]、[ΔBCD]的外接圓的圓心，即為空間四邊形[ABCD]的外接球的球心，于是根據(jù)圓的直徑所對(duì)的圓周角是[90°]，可以判斷直角三角形的斜邊是該直角三角形的外接圓的直徑，且直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形的外接圓的圓心，進(jìn)而得出直角三角形斜邊的中點(diǎn)到該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，由此可以確定空間四邊形[ABCD]的外接球的球心的位置.

例2.已知[ΔABC]中，點(diǎn)[D]在邊[BC]上，[AD=BD=1]，[CD=2]，[AD⊥BC].將[ΔABD]折起，使[∠BDC=120°]，若折起后的[A]，[B]，[C]，[D]四點(diǎn)都在以[O]為球心的球面上，求球[O]的表面積.

解：將[ΔABD]折起后，得到的幾何體為三棱錐[A-BCD]，如圖3所示.

在[ΔBCD]中，[BD=1]，[CD=2]，[∠BDC=120°]，

由余弦定理得[BC2=BD2+CD2-2BD?CDcos∠BDC]，

設(shè)[ΔBCD]的外接圓的圓心為[M]，半徑為[r]，

∴[MB=MC=MD=r]，

∵[AD⊥BD]，[AD⊥CD]，[BD?]平面[BCD]，[CD?]平面[BCD]，

∴[AD⊥]平面[BCD]，∴[OM⊥]平面[BCD]，

又∵[AD]是球[O]的弦，∴[OA=OD]，

∴在[RtΔOMD]中，

為了確定幾何體的外接球球心的位置，首先要找到幾何體的一個(gè)側(cè)面的外接圓的圓心；再過(guò)該圓心作側(cè)面的垂線，此時(shí)球心必定在此垂線上；然后根據(jù)外接球的球心到幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即可計(jì)算出幾何體的外接球的半徑、表面積和體積.

二、向量法

向量法是解答立體幾何問(wèn)題的重要方法.運(yùn)用向量法解答幾何體的外接球問(wèn)題，需先根據(jù)幾何體的特點(diǎn)尋找垂直關(guān)系，將三條互相垂直且交于一點(diǎn)的直線視為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.再根據(jù)題意求得或設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可根據(jù)球心到球面上各點(diǎn)的距離相等建立關(guān)系式，通過(guò)空間坐標(biāo)運(yùn)算，求得球心的坐標(biāo)和球的半徑.

例3.已知在四面體[ABCD]中，[BC=CD=BD=AB=2]，[∠ABC=90°]，二面角[A-BC-D]的平面角為[150°]，求四面體[ABCD]外接球的表面積.

解：取[BC]的中點(diǎn)[E]，取[AC]的中點(diǎn)[M]，連接[EM]、[MD].

∵在[ΔBCD]中，[BC=CD=BD=2]，

∴[ΔBCD]是邊長(zhǎng)為[2]的正三角形，

∵在[ΔABC]中，[M]、[E]分別為[AC]、[BC]的中點(diǎn)，

∵[∠ABC=90°]，∴[AB⊥BC]，∴[EM⊥BC]，

又∵[EM?ED=E]，[EM?]平面[DEM]，[ED?]平面[DEM]，

∴[BC⊥]平面[DEM]，

∴[∠MED]為二面角[A-BC-D]的平面角，

即[∠MED=150°]，

延長(zhǎng)[ED]，過(guò)點(diǎn)[M]作[ED]的延長(zhǎng)線的垂線，設(shè)垂足點(diǎn)為[N]，

易知在[RtΔMNE]中，[EM=1]，[∠MEN=180°-∠MED=180°-150°=30°]，[∠MNE=90°]，

過(guò)點(diǎn)[E]作垂直于平面[BCD]的直線，并將其視為[z]軸，以[E]為原點(diǎn)，[EB]所在的直線為[x]軸，[EC]所在的直線為[y]軸，建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)四面體[ABCD]外接球的球心為[Ox，y，z]，

利用向量法解答幾何體的外接球問(wèn)題，關(guān)鍵是設(shè)出或求得幾何體的外接球球心的坐標(biāo)以及幾何體各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式建立方程組，再通過(guò)解方程組求得幾何體的外接球球心的坐標(biāo)或幾何體各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得幾何體的外接球的半徑、表面積和體積.

總之，無(wú)論是采用幾何法還是向量法解答幾何體的外接球問(wèn)題，都需根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，靈活運(yùn)用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理確定球心的位置，根據(jù)球心到幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，來(lái)建立關(guān)系式.