周科春

含有絕對(duì)值的不等式問題的難度系數(shù)較大，其解題過程通常較為復(fù)雜，很多同學(xué)在解題時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)多種不同的錯(cuò)誤.事實(shí)上，解答含有絕對(duì)值的不等式問題，關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值符號(hào)，將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的常規(guī)不等式問題來(lái)求解.接下來(lái)通過幾個(gè)例題，介紹一下求解兩類含有絕對(duì)值的不等式問題的措施.

一、形如[fx<（>）a]的不等式

當(dāng)遇到形如[fx<（>）a]的不等式時(shí)，首先需要對(duì)a進(jìn)行分類討論：（1）當(dāng)[a>0]時(shí)，由[|fx|a]可得[aa]可得不等式的解集為[{x|f（x）≠0}].（3）當(dāng)[a<0]時(shí)，不等式[fxa]的解集為函數(shù)[f（x）]的定義域.

例1.試求不等式[x2-x<2]的解集.

解：由[x2-x<2]得[-2

由[x2-x+2>0]得[-1

由[x2-x-2<0]得[x∈R]，

所以不等式的解集為[x|-1

該不等式形如[|fx|0]，可以將其變形為[-2

二、形如[x-a+x-b<（>）c]的不等式

對(duì)于含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式，通?？刹捎脦缀畏ê土泓c(diǎn)分段法來(lái)求解.

1.幾何法

在解題時(shí)，大家要注意動(dòng)點(diǎn)P的位置.P點(diǎn)可能在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)A的右側(cè)，A、B之間的位置，還有可能與A、B重合.

例2.求不等式[x-1+x-2<5]的解集.

解：設(shè)A點(diǎn)在x=1處，B點(diǎn)在x=2處，P點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，

則[x-1+x-2]表示動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之和，即PA+PB.

當(dāng)P在x=-1或x=4時(shí)，P到A，B的距離之和等于5，

所以不等式的解集為：[（-∞， -1）∪（4，+∞）].

先分別找到P、A、B在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；然后根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義將[x-1+x-2]看作動(dòng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之和PA+PB；再移動(dòng)P點(diǎn)的位置，可發(fā)現(xiàn)要使PA+PB[<5]，需使P在A的左側(cè)或B的右側(cè)，找到滿足不等式的P點(diǎn)的位置，即可解題.

2. 零點(diǎn)分段法

零點(diǎn)是指絕對(duì)值內(nèi)部的式子等于0時(shí)x的取值.運(yùn)用零點(diǎn)分段法解答不等式問題，需首先求出各個(gè)絕對(duì)值內(nèi)部式子的零點(diǎn)；然后將所有的零點(diǎn)依次標(biāo)注在數(shù)軸上，這樣各個(gè)零點(diǎn)就將實(shí)數(shù)集分成若干個(gè)子區(qū)間；再在每個(gè)區(qū)間內(nèi)，討論絕對(duì)值內(nèi)部式子的正負(fù)，就可以去絕對(duì)值符號(hào)；最后將所得的不等式化簡(jiǎn)、求解.

例3.若不等式[x-4+|x-3|

解：令[x-4=0，x-3=0，]得[x=4或x=3].

當(dāng)[x<3]時(shí)，原不等式可化為：[4-x+3-x

所以a的取值范圍為[a>1].

先分別求出絕對(duì)值內(nèi)部式子的零點(diǎn)；然后用零點(diǎn)將數(shù)軸分成三個(gè)區(qū)間段[x<3]、[3≤x≤4]、[x>4]，并分別在每個(gè)區(qū)間內(nèi)討論各個(gè)絕對(duì)值內(nèi)部式子的正負(fù)，以去掉絕對(duì)值符號(hào)，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式問題.

可見，解答含有絕對(duì)值的不等式問題，需注意：（1）熟悉絕對(duì)值的性質(zhì)和值域；（2）靈活運(yùn)用分類討論思想；（3）明確絕對(duì)值的幾何意義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)輔助解題.