江明

在解題時，我們經(jīng)常會遇到化簡三角函數(shù)式的題目.此類題目的難度一般不大，往往需靈活運(yùn)用三角函數(shù)中的基本公式以及三角恒等變換的技巧.下面結(jié)合實(shí)例，談一談化簡三角函數(shù)式的幾個技巧.

一、湊角

有些三角函數(shù)式中的角較多，且均不相同，此時需通過湊角，如給某個角湊上一個特殊角、湊上系數(shù)，或?qū)蓚€角湊在一起，以使三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一.再根據(jù)兩角和差公式、輔助角公式、誘導(dǎo)公式、二倍角公式進(jìn)行化簡.

例1.求[tan20°+4sin20°]的值.

[20°]是非特殊角，無法直接求出其正弦、正切函數(shù)值，需將其湊成特殊角，才能求得函數(shù)式的值.于是先將目標(biāo)式看作分母為1的分式，在分子、分母上同乘以[cos20°]，利用二倍角公式，將[20°]化為[40°]；再將[40°]化成[60°-20°]，湊出特殊角[60°]，即可根據(jù)[60°]的正、余弦函數(shù)值化簡三角函數(shù)式，求得目標(biāo)式的值.在化簡三角函數(shù)式時，要仔細(xì)觀察各個角，弄清各個角之間的區(qū)別和聯(lián)系，通過湊角，將三角函數(shù)式化為只含一個角或特殊角的式子，這樣便能順利解題.

二、降冪

例2.若[cosα+cos2α=1]，求[sin2α+sin6α]的值.

解：因?yàn)閇cosα+cos2α=1，]

而[cosα=1-cos2α=sin2α]，

所以[sin2α+sin6α= cosα+cos3α=cosα1+cos2α]

三、構(gòu)造對偶式

對偶式是指兩個式子的結(jié)構(gòu)、形式一致，但運(yùn)算符號、函數(shù)名稱不同.有些三角函數(shù)式中含有多個單項(xiàng)式，且均為正、余弦函數(shù)式，此時可改變函數(shù)的名稱，根據(jù)同角的互余關(guān)系、同角的三角函數(shù)平方關(guān)系式[sin2α+cos2α=1]來化簡目標(biāo)式.

解：設(shè)[m=cos2x+cos22x+cos23x，]（1）

[n=sin2x+sin22x+sin23x，]（2）

將（1）（2）兩式相加可得[m+n]=3，（3）

將（1）（2）兩式相減可得[m-n=cos2x-sin2x+cos22x-sin22x+cos23x-sin23x=cos2x+cos4x+cos6x]，

而[cos6x=2cos23x-1]，

所以[cos2x+cos4x=cos3x-x+cos3x+x]

[=2cos3xcosx]，

所以[m-n=2cos23x-1+2cos3xcosx]

[=2cos3xcosx+cos3x-1]，

又因?yàn)閇cosx+cos3x=cos2x-x+cos2x+x]

[=2cosxccos2x]，

所以[m-n=4cosxcos2xcos3x-1]，（4）

將（3）+（4）得[2m=4cosxcos2xcos3x+2]，

因?yàn)閇m=1，]所以[cosxcos2xcos3x=0，]

所以[cos2x=0]或[cos3x=0]，[cosx=0]（舍），

我們先根據(jù)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造對偶式：[n=sin2x+sin22x+sin23x]；然后將兩式相加減，即可根據(jù)同角的三角函數(shù)平方關(guān)系式[sin2α+cos2α=1]和正余弦的二倍角公式，得到關(guān)于m、n的方程組，通過解方程組求得x的值.

四、換元

有些三角函數(shù)式較為復(fù)雜，通常要將其中較為復(fù)雜的式子、頻繁出現(xiàn)的式子用一個新元替換，通過換元，使函數(shù)式得以簡化.常見的換元方法有整體換元、局部換元.

[76°]、[46°]、[16°]為非特殊角，很難求得其三角函數(shù)值.但仔細(xì)觀察這三個角，可以發(fā)現(xiàn)[76°=60°+16°]、[46°=30°+16°]，于是令[β=α+16°]，通過換元，將非特殊角[α+76°]、[α+46°]、[α+16°]化為特殊角[60°]、[30°]與[β]的和，即可根據(jù)兩角的和差公式，以及特殊角[60°]、[30°]的三角函數(shù)值化簡目標(biāo)式.

例5.若[cos3x=sin3x+1]，求[sinx]的值.

解：因?yàn)閇sin2x+cos2x=1]，

所以[2cosxsinx=（cosx-sinx）2-1]，

由[cos3x=sin3x+1]，得[cos3x-sin3x=1]，

則[cosx-sinxcos2x+cosxsinx+sin2x=1]，

化簡得[t3+t-2=0，]即[t=1]，

所以[cosx-sinx=1]，

可得[sinx=0，]或[sinx=-1].

解答本題，需先根據(jù)同角的三角函數(shù)平方關(guān)系式[sin2α+cos2α=1]以及立方差公式，將已知關(guān)系式化簡.而化簡后的式子中含有[cosx]、[sinx]及其平方式、積式，于是令[cosx-sinx=t]，通過換元，將已知關(guān)系式化為關(guān)于t的方程，通過解方程求得t的值，進(jìn)而求得sinx的值.

五、平方

對于一些與正、余弦函數(shù)式有關(guān)的三角函數(shù)式，通常可將其平方，即可根據(jù)二倍角公式、同角的三角函數(shù)平方關(guān)系式[sin2α+cos2α=1]、輔助角公式，將函數(shù)式簡化.

例6.已知[sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，]求[cos （α-β）]的值.

解：因?yàn)閇sinα+sinβ+sinγ=0，]

[cosα+cosβ+cosγ=0，]

所以 [sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，]

將兩式平方，并相加得[sin2α+sin2β+2sinαsinβ+cos2α+cos2β+2cosαcosβ=-sinγ2+-cosγ2=1]，

題目中的已知關(guān)系式分別為正、余弦函數(shù)式，且均為一次式，于是分別將兩式平方，再相加，即可得到正余弦函數(shù)式的平方式、積式，直接運(yùn)用同角的三角函數(shù)平方關(guān)系式[sin2α+cos2α=1]、輔助角公式，即可求得問題的答案.

六、構(gòu)造三角形

在化簡三角函數(shù)式受阻時，我們可以將三角函數(shù)式與正余弦定理、勾股定理關(guān)聯(lián)起來，或?qū)⒑瘮?shù)式中的角與三角形的內(nèi)角關(guān)聯(lián)起來，構(gòu)造出合適的三角形，即可根據(jù)三角形的性質(zhì)、相關(guān)定理來解題.

例7.化簡：[sin220°+cos250°+sin20°cos50°].

解：設(shè)[?ABC， A=20°， B=40°， C=120°]，其對邊分別為a，b，c，

由余弦定理得[c2=a2+b2-2abcos120°]，

即[sin2120°=sin220°+sin240°+2sin20°sin40°cos120°]，

[sin220°+cos250°+sin20°cos50°]

[=sin220°+sin240°+sin20°sin40°]

[=sin220°+sin240°+2sin20°sin40°cos120°]

我們由目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征，可聯(lián)想到余弦定理，于是構(gòu)造[?ABC]，并設(shè)[A=20°，B=40°，C=120°]，即可根據(jù)正弦定理建立三角形的邊角關(guān)系，利用余弦定理求得目標(biāo)式的值.

可見，化簡三角函數(shù)式的技巧很多，同學(xué)們需熟練掌握這些技巧，根據(jù)解題需求和三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇與之相應(yīng)的技巧進(jìn)行求解，這樣才能提升解題的效率.