韓玉新

在數(shù)列的前n項(xiàng)和問題中，由于數(shù)列多種多樣，導(dǎo)致求數(shù)列和的方法各不相同.對(duì)此，筆者總結(jié)了求數(shù)列前n項(xiàng)和的幾種常用方法，以幫助大家提高解題的效率.

一、公式法

例1.已知等差數(shù)列[{an}]為遞增數(shù)列，其前3項(xiàng)的和為-3，前3項(xiàng)的積為8.

（1）求數(shù)列[{an}]的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列[{an}]的前n項(xiàng)和Sn.

解：（1） an=3n-7；（過程略）

（2）∵an=3n-7，∴a1=3-7=-4，d=3，

對(duì)于等差數(shù)列，可直接根據(jù)題意建立關(guān)系式，分別求得數(shù)列的首項(xiàng)a1、公差d，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可.

二、裂項(xiàng)相消法

（1）求[an]的通項(xiàng)公式；

三、錯(cuò)位相減法

若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可視為一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的乘積，則可以采用錯(cuò)位相減法來求數(shù)列的前n項(xiàng)和.首先根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式列出數(shù)列的前[n]項(xiàng)和式；然后在該和式的左右同乘以等比數(shù)列的公比；再將兩和式中指數(shù)相同的項(xiàng)對(duì)齊、作差，即可通過合并同類項(xiàng)，構(gòu)造出等比數(shù)列；最后可以借助等比數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式進(jìn)行求解.

解：當(dāng)[n=1]時(shí)，[S1=a1=1]，

當(dāng)[n≥2]時(shí)，[an=Sn-Sn-1=2n-1-（2n-1-1）=2n-1]，

化簡(jiǎn)得：[an=2n-1]，

四、倒序相加法

五、并項(xiàng)求和法

若數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的和存在某種規(guī)律，如（1）數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為正數(shù)、奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)；（2）每相鄰幾項(xiàng)的和為定值，便需采用并項(xiàng)求和法來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，即將數(shù)列中的某些項(xiàng)合并在一起求和，最后將所得的結(jié)果相加減.運(yùn)用并項(xiàng)求和法，往往要用到分類討論思想.

例5.若[an=（-1）n-1?n2]，求數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)的和[Sn].

解：因?yàn)閇an=（-1）n-1?n2]，

則[Sn=12-22+32-42+???+（-1）n-1?n2]，

當(dāng)[n]為偶數(shù)時(shí)，設(shè)[n=2k（k∈N*）]，

則[S2k=（12-22）+（32-42）+???+[（2k-1）2-（2k）2]]

[=-（1+2）-（3+4）-???-（2k-1+2k）]

[=-（1+2+3+4+???+2k）]

當(dāng)[n]為奇數(shù)時(shí)，設(shè)[n=2k+1（k∈N*）]，

則[S2k+1=（12-22）+（32-42）+???+[（2k-1）2-（2k）2]+（2k+1）2]

[=-（1+2+3+4+???+2k-1+2k）+（2k+1）2]

由數(shù)列的通項(xiàng)公式[an=（-1）n-1?n2]可發(fā)現(xiàn)數(shù)列的特點(diǎn)：數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為正數(shù)、奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù).這就需要運(yùn)用分類討論思想，分n為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論、求和，采用并項(xiàng)求和法求得問題的答案.

總之，解答數(shù)列前[n]項(xiàng)和問題的方法很多，如公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、并項(xiàng)求和法等.同學(xué)們需要熟練掌握這些常用方法的特點(diǎn)和適用條件，在求和時(shí)根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，選擇與之相應(yīng)的方法進(jìn)行求解.