劉佩佩，周亞麗，張奇志

(北京信息科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京 100192)

1 引言

自行車是日常生活中非常普遍且通用的兩輪交通工具，具有靜態(tài)不穩(wěn)定和動(dòng)態(tài)可穩(wěn)定特性。因此自行車已經(jīng)成為一種對(duì)平衡性與穩(wěn)定性分析和研究的重要實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

1899年Whipple[1]首次運(yùn)用數(shù)學(xué)方程描述了自行車的運(yùn)動(dòng)行為，并提出了自穩(wěn)定的概念。自此之后，隨著計(jì)算機(jī)時(shí)代的到來，越來越多的研究者借用計(jì)算機(jī)仿真等工具對(duì)復(fù)雜問題進(jìn)行仿真和分析，由此開始了對(duì)無人駕駛自行車的深入研究。郭磊，黃用華等人[2-3]基于部分反饋線性化原理，以各自所設(shè)計(jì)的試驗(yàn)樣機(jī)為平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)了多種無人駕駛自行車的平衡運(yùn)動(dòng)。Shafiekhani[4]等人采用了基于神經(jīng)模糊控制器的無人駕駛自行車平衡控制方法，獲得了較好的控制效果。2019年，清華大學(xué)類腦計(jì)算研究中心施路平教授團(tuán)隊(duì)在《自然》上發(fā)表的文章中，搭載天機(jī)芯的無人駕駛自行車也瞬間火爆網(wǎng)絡(luò)[5-6]。2020年，劉延柱教授[7]討論了無人駕駛自行車穩(wěn)定行駛的實(shí)現(xiàn)可能性，對(duì)前叉受控的自行車數(shù)學(xué)模型做了穩(wěn)定性分析，進(jìn)一步表明前叉轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)對(duì)自行車穩(wěn)定性的重要影響。

總結(jié)前人的研究經(jīng)驗(yàn)，本文從自行車前叉轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的設(shè)計(jì)出發(fā)，設(shè)計(jì)一種基于曲柄滑塊機(jī)構(gòu)控制的無人駕駛自行車，實(shí)現(xiàn)了對(duì)轉(zhuǎn)向電機(jī)輸出力矩的放大作用，并通過設(shè)計(jì)滑?？刂破鲗?duì)系統(tǒng)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型建立

2.1 無人駕駛自行車系統(tǒng)描述

圖1所示為無人駕駛自行車系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型圖。假設(shè)系統(tǒng)所有的質(zhì)量集中于質(zhì)心上，定義質(zhì)心高度為h，質(zhì)心在水平面上的投影點(diǎn)與后輪著地點(diǎn)的距離定為b，前輪質(zhì)心到前車把轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為λ，車身與z軸的夾角為車體傾角β，前車把轉(zhuǎn)軸與x軸的夾角為前車把轉(zhuǎn)角δ，定義逆時(shí)針方向?yàn)檎较?。定義車體傾角和前車把轉(zhuǎn)角均為零時(shí)的滑塊位置為起始位置；起始位置時(shí)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)可看成是一個(gè)直角三角形，定義直角短邊、即曲柄為c(始終與前車把保持平行共面)，直角斜邊、即連桿為a，這兩條邊的長(zhǎng)度為定值、可測(cè)量；定義滑塊位置邊長(zhǎng)度為x。系統(tǒng)啟動(dòng)瞬間，自動(dòng)調(diào)整配重塊位置，保證車體處于直立平衡狀態(tài)。

圖1 無人駕駛自行車系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型

圖2所示為本文所用的無人駕駛自行車試驗(yàn)樣機(jī)，遵循日常自行車前輪轉(zhuǎn)向、后輪驅(qū)動(dòng)的特性，由一輛常規(guī)自行車安裝曲柄滑塊機(jī)構(gòu)裝置、配重調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)和電控系統(tǒng)等改造而來。其相關(guān)物理參數(shù)如表1所示。

表1 無人駕駛自行車的相關(guān)物理參數(shù)

2.2 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)描述

2.2.1 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析

記曲柄AB的長(zhǎng)為c，連桿BC的長(zhǎng)為a，滑塊的位置相對(duì)A點(diǎn)的長(zhǎng)為x，曲柄與滾珠絲杠滑臺(tái)的夾角即曲柄轉(zhuǎn)角為θ，連桿與滾珠絲杠滑臺(tái)的夾角即擺角為φ；在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模時(shí)，將曲柄看為車把的一部分，將連桿看為車架的一部分，忽略滑塊的重量和其運(yùn)動(dòng)過程中所受到的摩擦力。

圖3 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)模型簡(jiǎn)圖

由圖3所示，利用三角關(guān)系，滑塊位置x可表示為

(1)

對(duì)模型進(jìn)行近似化

(2)

由圖1可知，δ=90°-θ，代入式(2)得

(3)

2.2.2 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)受力分析

對(duì)于自行車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的設(shè)計(jì)來說，傳統(tǒng)的方法是直接將轉(zhuǎn)向電機(jī)安裝在前車把轉(zhuǎn)軸上，而本文所設(shè)計(jì)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)控制車體轉(zhuǎn)向的方法，巧妙地運(yùn)用了杠桿原理，相當(dāng)于對(duì)力臂進(jìn)行了延長(zhǎng)，在轉(zhuǎn)向電機(jī)輸出同樣力矩的情況下，前車把可以獲得的力矩更大。如圖4為滑塊受力分析圖。

圖4 滑塊受力分析圖

在圖4中，F(xiàn)δ為轉(zhuǎn)向電機(jī)對(duì)滑塊的輸出推力，F(xiàn)N為滑臺(tái)對(duì)滑塊的擠壓力，F(xiàn)s為滑塊作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)連桿對(duì)滑塊的推力，l1為轉(zhuǎn)向過程中的力臂。由圖4可知，根據(jù)力的分解及做功原理，F(xiàn)δ和Fs的關(guān)系式可表示為

(4)

(5)

式中，τδ為轉(zhuǎn)向電機(jī)輸出力矩，s為滾珠絲杠螺距，k為同步增速比。

結(jié)合式(4)和式(5)可得：

(6)

在ΔABC中，利用等面積法可得

(7)

將表1的實(shí)際參數(shù)值代入式(6)和式(7)，整理可得前車把轉(zhuǎn)軸上受到的力矩τf為

(8)

圖5所示為力矩放大倍數(shù)與前車把轉(zhuǎn)角關(guān)系的變化曲線?？梢钥闯?，曲柄滑塊機(jī)構(gòu)對(duì)轉(zhuǎn)向電機(jī)輸出力矩的放大倍數(shù)在56～144范圍內(nèi)。

圖5 力矩放大倍數(shù)與前車把轉(zhuǎn)角變化曲線

2.3 拉格朗日方程法建立動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)圖2所示的無人駕駛自行車，分為前車輪、后車輪、車架、前車把四個(gè)部分。并作如下合理化假設(shè)：前后輪質(zhì)心均位于其圓心處；車把質(zhì)心位于車把正中心，車架質(zhì)心位于其質(zhì)量中心，忽略曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的質(zhì)量。

(9)

前輪動(dòng)能為

(10)

前輪勢(shì)能為：

P1=m1grcosβ

(11)

(12)

后輪動(dòng)能為

(13)

后輪勢(shì)能為

P2=m2grcosβ

(14)

(15)

車架動(dòng)能為

(16)

其中：J3=m3h2

車架勢(shì)能為

P3=m3ghcosβ

(17)

(18)

車把動(dòng)能為

(19)

車把勢(shì)能為

P4=m4gh0cosβ

(20)

將上式進(jìn)行相加，分別得系統(tǒng)總動(dòng)能和總勢(shì)能

K=K1+K2+K3+K4

P=P1+P2+P3+P4

(21)

根據(jù)第二類拉格朗日方程，代入Lagrange方程L=K-P

(22)

經(jīng)整理可得，系統(tǒng)線性化動(dòng)力學(xué)模型為

(23)

式中

3 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

(24)

其中

t4=(m1gr+m2gr+m3gh+m4gh0)v=τf

首先進(jìn)行誤差方程的設(shè)計(jì)與分析，取

(25)

(26)

則有

(27)

要使式(27)所示的系統(tǒng)穩(wěn)定，f1需滿足如下三個(gè)假設(shè)條件[8]：

假設(shè)1：f1(0，0，0)=0；

假設(shè)3：如果f1(0，0，x3)→0，則x3→0。

(28)

取滑模函數(shù)為

s=c1e1+c2e2+c3e3+e4

(29)

由式(29)可知

(30)

(31)

(32)

u=ueq+usw

(33)

4 仿真分析

圖6 車體傾角變化曲線

圖7 前車把轉(zhuǎn)角變化曲線

圖8 轉(zhuǎn)向電機(jī)輸出力矩曲線

圖9 前車把轉(zhuǎn)軸力矩曲線

由圖6和圖7可知，系統(tǒng)起始處于向左傾斜0.03rad的不平衡狀態(tài)，在控制器的作用下，前車把轉(zhuǎn)角迅速向左轉(zhuǎn)，在大約2s后，又迅速向右調(diào)節(jié)。對(duì)于PD控制器，大約10s后，車體傾角基本調(diào)節(jié)到平衡位置，前車把由于慣性作用，大約在13s后到達(dá)平衡位置；與PD控制器相比，滑?？刂破魉璧恼{(diào)節(jié)時(shí)間大大縮短，整個(gè)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)過程大約只需3s，且曲線的整體變化趨勢(shì)更加平穩(wěn)。從圖8和圖9可以看出，在初始時(shí)刻，轉(zhuǎn)向電機(jī)輸出力矩急速增大，大約為0.24N.m，經(jīng)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的放大，前車把轉(zhuǎn)軸上獲得的力矩為25N.m，在2s后，前車把轉(zhuǎn)軸上的力矩保持在0到0.06N.m范圍內(nèi)維持一種動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)狀態(tài)。根據(jù)人的駕駛經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)車體傾倒時(shí)，人總是本能的先將前車把向車體傾倒的一側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)，等不再有繼續(xù)傾斜的趨勢(shì)后，再反向轉(zhuǎn)動(dòng)車把，使車體回到平衡位置，因此整個(gè)調(diào)節(jié)過程符合人們騎車的經(jīng)驗(yàn)。

5 總結(jié)

本文設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)了一種基于曲柄滑塊機(jī)構(gòu)控制的無人駕駛自行車，以及這種系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)直立平衡運(yùn)動(dòng)的滑模控制器設(shè)計(jì)與仿真。仿真結(jié)果表明，文中所采用的控制方法可以在轉(zhuǎn)向電機(jī)輸出很小力矩的情況下在很短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)無人駕駛自行車系統(tǒng)的直立平衡運(yùn)動(dòng)，為進(jìn)一步開展無人駕駛自行車平衡運(yùn)動(dòng)控制以及路徑規(guī)劃等奠定了基礎(chǔ)。