趙 耿，張森民，馬英杰

(北京電子科技學(xué)院，北京 100071)

1 引言

混沌具有十分豐富的動力學(xué)特性，近年來受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究，也在多個領(lǐng)域得到了應(yīng)用。因?yàn)榛煦绲奶匦院兔艽a學(xué)的安全要求有許多相似點(diǎn)，如混沌具備初值條件敏感性、不可預(yù)測性、遍歷性等特點(diǎn)，與密碼學(xué)所要求的混亂性、擴(kuò)散性和密鑰不可預(yù)測性相似，所以將混沌運(yùn)用于密碼學(xué)具有十分廣闊的前景[1-2]。然而混沌系統(tǒng)一旦運(yùn)用在計算機(jī)等有限精度的設(shè)備上時，會發(fā)生動力學(xué)性能的退化現(xiàn)象。原來具有的遍歷性、不可預(yù)測性均不復(fù)存在，取而代之的是系統(tǒng)的數(shù)據(jù)值只能取在有限范圍內(nèi)，數(shù)據(jù)會進(jìn)入周期循環(huán)軌道或不動點(diǎn)。這種退化行為導(dǎo)致基于混沌系統(tǒng)構(gòu)建的密碼體制存在安全風(fēng)險。所以數(shù)字混沌系統(tǒng)的退化行為是混沌密碼走向?qū)嶋H使用的一大障礙，也是亟需解決的問題之一[3-6]。

近些年針對數(shù)字混沌系統(tǒng)的退化問題，國內(nèi)外主要有以下五種抗退化的方法[7-9]：①提高精度法，依靠提高計算機(jī)的精度會加大計算成本，并且退化現(xiàn)象依然存在；②級聯(lián)法：將兩個或兩個以上的混沌系統(tǒng)先后級聯(lián)在一起，上一系統(tǒng)的輸出作下一個系統(tǒng)的輸入；③切換法：切換使用多個混沌系統(tǒng)，也可切換單一混沌系統(tǒng)的不同初始狀態(tài)；④擾動法：構(gòu)造擾動函數(shù)，對混沌系統(tǒng)迭代過程進(jìn)行一定的干預(yù)控制；⑤誤差補(bǔ)償法：在數(shù)字混沌系統(tǒng)的每一次迭代中都引入一個誤差補(bǔ)償值，該值來自于系統(tǒng)本身。擾動法能有效地改善混沌系統(tǒng)在有限精度條件下動力學(xué)性能的退化問題，該方法的基本思想是，使用某些系統(tǒng)作擾動源，利用其生成的序列，來對數(shù)字混沌系統(tǒng)的迭代過程進(jìn)行擾動。Liu等人[10]使用可變函數(shù)來替代狀態(tài)變量；Chen等人[11]提出了一種基于偽隨機(jī)序列的動態(tài)攝動-反饋混合控制方法；Lahcene Merah等人[12]提出了一種不需要外部發(fā)生器對混沌軌道進(jìn)行擾動的的新擾動方法，具有自攝動機(jī)制；Jun等人[13]提出了一種在有限計算精度范圍內(nèi)構(gòu)造高維數(shù)字混沌系統(tǒng)的新方法；Cao等人[14]提出了一種基于帳篷映射Lyapunov指數(shù)的擾動方案；Liu等人[15]提出了一種同時擾動輸入和控制參數(shù)的方法。上述方法均使得混沌周期得以延長，取得了較好的抗退化效果。

擾動法的擾動源一般包含偽隨機(jī)序列、數(shù)字混沌系統(tǒng)和模擬混沌系統(tǒng)，利用偽隨機(jī)序列或數(shù)字混沌系統(tǒng)做擾動源，會導(dǎo)致擾動信號不均勻分布，從而使系統(tǒng)容易受到非線性預(yù)測技術(shù)攻擊。模擬混沌系統(tǒng)具有更復(fù)雜的相空間分布，許多學(xué)者將模擬-數(shù)字混合的方法用于解決數(shù)字混沌系統(tǒng)的動態(tài)退化問題[9，15]。擾動法的擾動對象一般有系統(tǒng)的參數(shù)、輸入和輸出，對數(shù)字系統(tǒng)的控制參數(shù)進(jìn)行擾動能使軌道周期變長，但是不能使數(shù)據(jù)的非均勻分布得到有效改善，擾動其輸入或輸出可以使數(shù)據(jù)分布得更加均勻。因此，本文結(jié)合單獨(dú)擾動某一對象的優(yōu)勢，首次提出對一維Chebyshev混沌系統(tǒng)的全部擾動對象進(jìn)行擾動的方法，使Chebyshev映射表達(dá)式的每一個部分都被擾動源所影響。同時，利用模擬的三維Lorenz混沌系統(tǒng)生成三個擾動函數(shù)，用單一擾動源完成對三個對象的擾動。一定意義上，該方法通過擾動法構(gòu)建了一個融合的混沌系統(tǒng)，不僅有效地延長了數(shù)字混沌系統(tǒng)的周期，使數(shù)據(jù)分布情況比模擬狀態(tài)更好；還大大提升了密鑰空間，具備運(yùn)用到其它系統(tǒng)的通用性，可以說具有廣闊的研究前景。

2 退化問題及混沌映射分析

2.1 數(shù)字混沌系統(tǒng)的退化原因

模擬混沌系統(tǒng)具備良好的動力學(xué)特性，如初值敏感性、不可預(yù)測性和遍歷性等特點(diǎn)。在計算機(jī)等數(shù)字器件上實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)時，由于計算精度總是有限的，混沌系統(tǒng)的迭代值只能取到有限精度范圍，關(guān)于數(shù)字混沌系統(tǒng)的退化原因的數(shù)學(xué)描述如下

給定一個離散時間混沌系統(tǒng)的迭代方程

X(i+1)=F(X(i))

(1)

式中X(i)∈Ω?Rm是狀態(tài)向量。F：Ω→Rm是混沌系統(tǒng)的迭代函數(shù)。理論上，混沌系統(tǒng)的迭代值具有不可遍歷性，但是在P比特的有限精度設(shè)備上實(shí)現(xiàn)時，其所有的值都會被離散化，系統(tǒng)的數(shù)值軌道也會被限制在有限狀態(tài)集ΩL中

(2)

所以式(1)也將退化成如下數(shù)字混沌系統(tǒng)

X*(i+1)=F(X*(i))=BL°F(X*(i))

(3)

或

(4)

式中，BL：Ω→ΩL是量化函數(shù)，可看作每一次迭代前都對輸入值做了一次量化處理，并且在所有計算算法中有三種最常用的量化形式[15]：

1)floorL(x)=?x·2L」/2L，?x」表示不超過x的最大整數(shù)；

2)roundL(x)=round(x·2L)/2L，round(x)表示對x進(jìn)行四舍五入取整；

3)ceilL(x)=「x·2L?/2L，「x?表示不小于x的最小整數(shù)，x是一個實(shí)數(shù)或向量。

2.2 混沌映射分析

本文所提方法是利用模擬Lorenz混沌映射來擾動一維數(shù)字Chebyshev映射，下面分別對兩個混沌映射進(jìn)行分析。

2.1.2 Chebyshev混沌映射

Chebyshev混沌映射是目前較常用的混沌映射之一，輸出混沌序列狀態(tài)值的分布特性良好，而且狀態(tài)值之間的自相關(guān)性很低[14]，可選取作為受擾混沌系統(tǒng)。Chebyshev映射公式如下

X(i+1)=cos(β·cos-1X(i))

(5)

其中β為系統(tǒng)參數(shù)，X(i)和X(i+1)為第i次迭代的輸入和輸出值。β>2時系統(tǒng)呈現(xiàn)出混沌特性，圖1是系統(tǒng)參數(shù)為8，初值為0.25，迭代10000次的模擬Chebyshev混沌吸引子圖，模擬狀態(tài)下吸引子圖像類似于三角函數(shù)的波形，數(shù)值的取值范圍為[-1，1]。

圖1 Chebyshev混沌映射吸引子

Chebyshev映射的概率密度為

(6)

(7)

當(dāng)Chebyshev映射產(chǎn)生無窮多狀態(tài)值時，其數(shù)學(xué)期望為0，表明在相空間分布上是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，具有良好的性能[15]。

2.1.2 Lorenz混沌映射

Lorenz混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(8)

在參數(shù)選取滿足條件σ=16，b=4，r=45.92時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

Lorenz系統(tǒng)原本是模擬的，但計算機(jī)無法處理模擬系統(tǒng)，所以需要將其進(jìn)行離散化處理，如下采用Euler算法，取采樣時間T=0.002，得到方程如下

(9)

Lorenz系統(tǒng)的吸引子如圖2所示，x(i)的取值范圍為(-30，30)、y(i)的取值范圍為(-40，40.75)，z(i)的取值范圍為(0，72.14)，三個分量的取值范圍都很廣，因此可以用來用作擾動序列。

圖2 Lorenz混沌映射的吸引子

3 擾動策略

結(jié)合Chebyshev函數(shù)的特性和Lorenz函數(shù)的特性，提出擾動全部擾動對象的方法，擾動方案如圖3所示。

圖3 擾動方案流程圖

該方案的具體步驟為：

步驟1：先迭代Lorenz混沌映射，即對式(8)設(shè)置初值x(0)=1，y(0)=1，z(0)=1，系統(tǒng)參數(shù)設(shè)為σ=16，b=4，r=45.92，迭代1000次生成的三個混沌序列采樣，得到三個離散的混沌序列{x}，{y}，{z}。再對Chebyshev混沌映射，即式(5)也賦初值X(0)=0.25，系統(tǒng)參數(shù)β=8。

步驟2：構(gòu)建擾動控制參數(shù)和輸入的表達(dá)式，具體方法為，將{x}序列用于構(gòu)建擾動參數(shù)表達(dá)式，將{z}序列用于構(gòu)建擾動輸入的表達(dá)式，擾動表達(dá)式如下所示

(10)

其中，Q(i)為擾動參數(shù)的變量，W(i)為擾動輸入的變量，mod(*，1)表示對括號內(nèi)數(shù)值取模1運(yùn)算。其中，擾動參數(shù)的變量Q(i)由改進(jìn)前系統(tǒng)的輸入值X(i)與擾動序列{x}的值相加后模1處理，再加上常數(shù)值8得到；擾動輸入的變量W(i)只需要將輸入值X(i)與擾動序列{z}的值相加后模1處理。

接下來，再將準(zhǔn)備好的擾動變量分別代入式(5)，用Q(i)替換參數(shù)β，W(i)替換輸入值X(i)。得到新的Chebyshev映射表達(dá)式

X(i+1)=cos[Q(i)arccos(W(i))]

(11)

步驟3：用{y}序列擾動Chebyshev函數(shù)的輸出，改進(jìn)后系統(tǒng)完整的輸出表達(dá)式為

X′(i+1)=mod[X(i+1)+y(i)，-1]+

mod[X(i+1)+y(i)，1]

=mod[cos[W(i)arccos(Q(i))]+y(i)，-1]+

mod[cos[W(i)arccos(Q(i))]+y(i)，1]

(12)

利用上一步中的輸出值X(i+1)與擾動序列{y}的值相加，然后再分別對該值進(jìn)行模1和-1的操作，最后將這兩個值相加得到擾動輸出的表達(dá)式。

步驟4：分析系統(tǒng)運(yùn)用在計算機(jī)等有限精度設(shè)備上的情況，因?yàn)榇嬖谟邢蘧刃?yīng)，所以每一步迭代都要考慮數(shù)據(jù)值的范圍。擾動表達(dá)式如式(13)，改進(jìn)的Chebyshev映射表達(dá)式如式(14)，擾動輸出后系統(tǒng)表達(dá)式如式(15)

(13)

X(i+1)=BP{cos[W(i)arccos(Q(i))]}

(14)

X′(i+1)

=Bp[mod(X(i+1)+y(i)，-1)]

+BP[mod(X(i+1)+y(i)，1)]

=Bp{mod[Bp[cos[W(i)arccos(Q(i))]]+y(i)，-1]}

+Bp{mod[Bp[cos[W(i)arccos(Q(i))]]+y(i)，1]}

(15)

其中BP：Ω→ΩP是一個量化函數(shù)，如第2.1節(jié)所述，混沌系統(tǒng)的表達(dá)式可看作每一次迭代都對輸入值做了一次量化處理。因此，假設(shè)是P比特精度情況下，要在每一個混沌方程中引入量化函數(shù)。

此處三個分量{x}，{y}，{z}與擾動對象還可以任意進(jìn)行組合，一共有6種排列組合方式，均能得到與本文類似的性能。因此，若系統(tǒng)應(yīng)用在密碼學(xué)中，在不改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的情況下，還可以使系統(tǒng)的密鑰量得到擴(kuò)展。

該方法融合了對系統(tǒng)參數(shù)的擾動、對系統(tǒng)輸入值的擾動和對系統(tǒng)輸出值的擾動，結(jié)合了以往單獨(dú)擾動某一對象所具備的優(yōu)點(diǎn)。Chebyshev混沌映射的表達(dá)式的每一個部分都被Lorenz映射所影響，擾動源Lorenz映射無論初值還是分量的改變，都將使系統(tǒng)最終的輸出結(jié)果產(chǎn)生巨大改變。

4 性能對比與分析

4.1 抗退化效果

本節(jié)將分析改進(jìn)系統(tǒng)在低有限精度情況下的抗退化效果，首先，設(shè)置系統(tǒng)的計算精度為8位，使表達(dá)式(5)和表達(dá)式(15)的初值和系統(tǒng)參數(shù)保持一致。然后，再對兩個系統(tǒng)迭代500次，分別記錄混沌軌跡圖。數(shù)字Chebyshev混沌系統(tǒng)的軌跡在迭代幾次后便退化為周期軌跡，如圖4；但使用本文改進(jìn)的系統(tǒng)之后，短周期現(xiàn)象就消失了，軌跡圖在迭代500次以上仍然表現(xiàn)出雜亂無序的特征，如圖5。因此，本文改進(jìn)的系統(tǒng)極大地延長了原系統(tǒng)的周期，抗退化效果十分明顯。

圖4 數(shù)字Chebyshev映射軌跡圖

圖5 本文改進(jìn)系統(tǒng)的軌跡圖

4.2 初值敏感性

混沌系統(tǒng)具有的顯著特征之一便是初值敏感性，即對同一個混沌系統(tǒng)而言，兩個初始輸入值即使差別特別微小，在若干次迭代后，二者的軌跡也會變得完全不一樣。在這里，保持Lorenz映射的初值和系統(tǒng)參數(shù)不變，僅對Chebyshev映射的初值進(jìn)行微小的改變，分別賦初值0.25和0.25000003。記錄下運(yùn)動軌跡如圖6，大約在第10次迭代后，二者的軌跡變得完全不一樣，說明該混沌系統(tǒng)具備初值敏感性。

圖6 初值敏感性分析圖

4.3 近似熵

近似熵是用來衡量時間序列復(fù)雜度和穩(wěn)定性的指標(biāo)，近似熵的值越大，說明該序列越復(fù)雜，復(fù)雜程度也越穩(wěn)定。圖7是對不同系統(tǒng)近似熵值進(jìn)行的對比圖，橫軸表示計算精度，縱軸表示近似熵值。與改進(jìn)前的系統(tǒng)對比，可以發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的系統(tǒng)不僅大幅提高了數(shù)字Chebyshev系統(tǒng)的近似熵值，而且在低于24bit精度情況下也能維持在一個較高水平，因此，系統(tǒng)在精度較低的情況下依然具備實(shí)用性能。與近年來的擾動方法對比，本文改進(jìn)系統(tǒng)的近似熵值幾乎都大于2，比文獻(xiàn)[10.14.15]中的近似熵值更高，說明本文改進(jìn)方案生成的序列復(fù)雜程度更高。

圖7 近似熵對比分析圖

4.4 混沌吸引子

混沌吸引子是衡量混沌系統(tǒng)復(fù)雜度的指標(biāo)之一，模擬混沌系統(tǒng)的吸引子呈連續(xù)性，數(shù)字混沌系統(tǒng)的吸引子呈點(diǎn)狀分布。數(shù)字混沌系統(tǒng)的吸引子分布得越隨機(jī)、越均勻，說明混雜效果越好。下面對不同系統(tǒng)迭代5000次的吸引子圖進(jìn)行了對比，圖8(a)是模擬Chebyshev映射的吸引子圖；圖8(b)是在8bit精度情況下，數(shù)字Chebyshev映射的吸引子圖；圖8(c)是文獻(xiàn)[15]的吸引子圖；圖8(d)是本文提出的方法的吸引子圖。通過對比可以很明顯地看出，在低有限精度情況下，數(shù)字Chebyshev映射的吸引子僅分布在幾個固定的點(diǎn)上，文獻(xiàn)[15]的改進(jìn)結(jié)果也有向四周聚集的情況，并不十分均勻，而本文的方案不僅大大改善了原始系統(tǒng)的吸引子的分布情況，還使其隨機(jī)地分布在數(shù)值空間內(nèi)。隨著迭代次數(shù)的增加，吸引子依然具備均勻分布的特點(diǎn)，而且?guī)缀跄芊植妓袛?shù)值點(diǎn)。

圖8 吸引子對比圖

4.5 頻率分布直方圖

圖9 頻率分布統(tǒng)計對比圖

頻率分布直方圖反映的是數(shù)值出現(xiàn)的頻率，統(tǒng)計結(jié)果越平均，則統(tǒng)計特性越好。下面在相同條件下對不同系統(tǒng)的頻率分布做了比較。圖9(a)是模擬Chebyshev映射輸出序列的頻率分布圖；圖9(b)是在8bit精度情況下數(shù)字Chebyshev映射的頻率分布圖；圖9(c)是文獻(xiàn)[15]方法改善后的頻率分布圖；圖9(d)是本文改進(jìn)系統(tǒng)的頻率分布圖。通過對比，可以明顯看出低有限精度情況下的Chebyshev映射序列值只分布在個別數(shù)值上，其余值的頻率均為0；文獻(xiàn)[15]方法改善序列值的頻率分布在-1和1兩端出現(xiàn)的頻率值還比較大，而本文改進(jìn)方案使所有值的出現(xiàn)頻率幾乎一致，比模擬狀態(tài)更加均勻。

4.6 自相關(guān)函數(shù)

自相關(guān)函數(shù)體現(xiàn)的是針對同一個序列，在一個時刻的值與另一時刻的值的相互關(guān)聯(lián)程度。圖10(a)是原始模擬系統(tǒng)的自相關(guān)圖；圖10(b)是8bit精度情況下數(shù)字Chebyshev映射的自相關(guān)圖；圖10(c)和(d)分別是文獻(xiàn)[15]的方法和本文方法的結(jié)果。可以發(fā)現(xiàn)低有限精度情況下的Chebyshev映射自相關(guān)性很強(qiáng)，輸出序列安全程度不高，而本文改進(jìn)方案可以使數(shù)字Chebyshev混沌映射自相關(guān)性大幅降低，恢復(fù)其在模擬情況下的自相關(guān)特性。

圖10 自相關(guān)函數(shù)對比圖

5 總結(jié)

本文首次提出對數(shù)字Chebyshev混沌系統(tǒng)的全部擾動對象進(jìn)行擾動的方法，使映射表達(dá)式的每一部分，包括控制參數(shù)、輸入和輸出，均與各自的擾動序列相關(guān)。同時，對改進(jìn)系統(tǒng)的近似熵、吸引子和數(shù)據(jù)頻率分布等特性進(jìn)行了對比分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方案能有效延緩數(shù)字Chebyshev混沌系統(tǒng)的退化，在低有限精度情況下不僅大大延長了周期，還使系統(tǒng)的動力學(xué)性能得到提高，在數(shù)值分布方面比模擬狀態(tài)下的性能更好。如果應(yīng)用于密碼學(xué)中，該系統(tǒng)的三個擾動序列與擾動對象可以任意組合，能夠增大密鑰空間。此外，本文所提的擾動方案還具備三維混沌系統(tǒng)擾動一維數(shù)字混沌系統(tǒng)的通用性，使改進(jìn)后的一維混沌系統(tǒng)具有較好的動力學(xué)特性，在低有限精度情況下依然適用，因此在混沌保密通信等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價值。