紀(jì)懷旺，李增亮

(中國石油大學(xué)(華東)機(jī)電學(xué)院，山東 青島 266580)

1 引言

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料因比模量高、比強(qiáng)度高、密度小等諸多優(yōu)勢，在交通、建筑、航天等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[1]。碳纖維作為常用纖維，具有強(qiáng)度高、重量輕、導(dǎo)熱快、耐疲勞的特點(diǎn)[2]；樹脂產(chǎn)量大、強(qiáng)度高、耐熱絕緣，是一種性能優(yōu)異的非金屬基體材料[3]。碳纖維/樹脂綜合了兩種材料的優(yōu)點(diǎn)，是一種有良好綜合性能的復(fù)合材料，被譽(yù)為21世紀(jì)最具生命力成型材料。

細(xì)觀力學(xué)是進(jìn)行復(fù)合材料研究的一個重要手段。與宏觀分析相比，細(xì)觀分析不僅能簡化模型、節(jié)省計算資源，還能更精確的描述材料的損傷機(jī)理。代表性體積單元(RVE)是復(fù)合材料細(xì)觀尺度研究的重要工具[4]，其中幾何模型生成與邊界條件施加是兩個重要環(huán)節(jié)，常由專業(yè)軟件輔助完成，如Digimat、Fibersim等[5]。還有一種方法是有限元軟件二次開發(fā)，該法不僅能充分發(fā)揮有限元軟件的分析能力，而且靈活性更大。如文獻(xiàn)[6]用隨機(jī)序列吸附算法(RSA)生成了隨機(jī)顆粒模型；文獻(xiàn)[7]用背景網(wǎng)格對RSA進(jìn)行改進(jìn)，生成了不同直徑、高填充率隨機(jī)顆粒模型；基于ABAQUS開發(fā)的插件EasyPBC和Micromechanics Plugin能施加細(xì)觀分析的復(fù)雜邊界條件。

對RVE不同部分賦予不同的損傷屬性，便能對復(fù)合材料的細(xì)觀破壞行為進(jìn)行分析。其中損傷屬性主要包括：纖維損傷、界面損傷和基體損傷，由于纖維拉伸強(qiáng)度遠(yuǎn)大于界面和基體，所以在拉伸分析時常忽略纖維的損傷。文獻(xiàn)[8]用內(nèi)聚力單元對單纖維橫向拉伸時的界面失效進(jìn)行了研究，得到界面脫粘的變化規(guī)律；文獻(xiàn)[9]基于多顆粒隨機(jī)分布的炭黑/橡膠RVE研究了顆粒含量及團(tuán)聚現(xiàn)象對界面損傷的影響；文獻(xiàn)[10]分別使用內(nèi)聚力單元和單元刪除模擬界面損傷和基體損傷，研究了界面剛度、界面強(qiáng)度和界面斷裂能的影響；文獻(xiàn)[11]以砂/樹脂單胞為研究對象，使用內(nèi)聚力行為和擴(kuò)展有限元(XFEM)分別模擬了界面損傷和粘結(jié)橋損傷。

綜上所述，本文首先基于ABAQUS二次開發(fā)，通過編程實現(xiàn)了纖維復(fù)合材料細(xì)觀模型的快速生成，提高了建模效率。然后基于更能反映真實受力情況的纖維隨機(jī)分布的RVE，用內(nèi)聚力模型(CZM)研究了界面損傷和基體損傷的破壞規(guī)律。其中，使用XFEM模擬基體損傷，由于該方法允許裂紋在網(wǎng)格中擴(kuò)展，不需要像內(nèi)聚力單元和單元刪除一樣通過精細(xì)的網(wǎng)格捕捉裂紋擴(kuò)展路徑，故能顯著提高計算效率、節(jié)省計算時間。

2 RVE模型的建立

2.1 隨機(jī)模型生成

一般纖維在取向處理后，在基體中可看作徑向上均勻分布，并且與顆粒相比纖維長徑比很大，短纖維長徑比也在100～200間，故可將RVE簡化為二維平面應(yīng)變模型。

圖1 隨機(jī)纖維二維代表性體積單元

由RSA實現(xiàn)纖維隨機(jī)分布可分為隨機(jī)數(shù)生成、約束條件和繪制纖維三步。首先定義初始化參數(shù)(纖維直徑d、纖維含量v和RVE邊長與纖維長徑比l/d)，然后利用Python中的random模塊隨機(jī)生成纖維圓心坐標(biāo)。其中，坐標(biāo)要滿足約束條件：纖維在邊界滿足周期性分布；為避免網(wǎng)格扭曲過大，纖維間距和纖維與邊界之間距離不能過小。

圓心坐標(biāo)由程序循環(huán)生成，符合約束的存放到列表中，直到滿足設(shè)定的纖維含量或達(dá)到最大無效生成次數(shù)后跳出循環(huán)。最后由繪圖命令生成模型。

2.2 周期性邊界

周期性邊界條件(PBC)保證了分析部分與其在整體中分析時特性的一致，使分析結(jié)果準(zhǔn)確可靠，因此應(yīng)用廣泛[12]。該條件使用時應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)和應(yīng)力連續(xù)，其中應(yīng)力連續(xù)在有限元法中自動滿足[13]，故只需由位移約束滿足變形協(xié)調(diào)。二維模型位移約束方程為

(1)

(2)

其中，uU、uD、uL、uR為矩形各邊除角點(diǎn)外任一點(diǎn)的位移；uUL、uUR、uDL、uDR為各角點(diǎn)位移。此邊界條件下，僅需在角點(diǎn)處施加位移載荷。軟件中編程時由Equation語句通過約束對應(yīng)邊上的對應(yīng)節(jié)點(diǎn)實現(xiàn)該邊界條件。

3 內(nèi)聚力模型

內(nèi)聚力是物質(zhì)中分子或原子之間的相互作用力，這種作用關(guān)系能有效描述材料損傷與破壞。CZM由牽引分離定律(TSL)進(jìn)行表達(dá)，常見的TSL形式有雙線性、線性、指數(shù)和梯形等[14]，如圖2。

圖2 不同形式的牽引分離定律

其中，t0為損傷起始應(yīng)力；δ0為損傷起始位移；δ1為梯形模型實際損傷起始位移；δf為最大有效牽引位移；Gc為斷裂韌度(值為陰影面積)。

TSL由無損傷階段、損傷起始準(zhǔn)則、損傷演化和失效準(zhǔn)則構(gòu)成，并可由內(nèi)聚力單元和XFEM的實現(xiàn)。無損傷時，內(nèi)聚力單元在不使用子程序時應(yīng)力-應(yīng)變僅能為線性，而XFEM此時由材料彈塑性本構(gòu)控制，故其應(yīng)力-應(yīng)變曲線既能是線性，也能是非線性。

損傷起始準(zhǔn)則由應(yīng)力或應(yīng)變表示，本文基體用最大主應(yīng)力準(zhǔn)則，界面用最大名義應(yīng)力準(zhǔn)則。損傷演化則由損傷因子D控制，其值在0～1間，0為無損傷，1為完全失效。演化方程[15]為

(3)

(4)

(5)

其中，δm為當(dāng)前有效位移，G0為損傷演化前的斷裂韌度。

失效準(zhǔn)則與損傷演化對應(yīng)，由位移或能量確定。其中位移法需給定δf，能量法需給定Gc。當(dāng)破壞形式比較復(fù)雜時，還需要定義混合模式。對于能量法常用混合模式有BK準(zhǔn)則、Powerlaw準(zhǔn)則等。其中，BK準(zhǔn)則應(yīng)用廣泛、簡單可靠，其表達(dá)式為：

(6)

4 擴(kuò)展有限元

材料的不連續(xù)行為包括強(qiáng)不連續(xù)和弱不連續(xù)[16]。其中，強(qiáng)不連續(xù)指位移場不連續(xù)，如裂紋；弱不連續(xù)指應(yīng)變場不連續(xù)，如夾雜、孔洞。

4.1 單位分解法

單位分解法(PUM)是XFEM的重要理論基礎(chǔ)，該方法實現(xiàn)了由局部精確近似達(dá)到整體精確近似。由PUM得對任意給定函數(shù)ψ(x)，在其求解域內(nèi)都可表示為：

(7)

其中，I為求解域中交叉子域ΩI的編號；NI(x)為子域形函數(shù)，僅在對應(yīng)子域內(nèi)非零，且在整個求解域內(nèi)滿足單位分解條件

(8)

4.2 水平集法

水平集法(LSM)是用于判斷界面位置和追蹤界面移動的數(shù)值技術(shù)。該方法由水平集函數(shù)實現(xiàn)，不連續(xù)界面通過零水平集表示，界面兩端的水平集函數(shù)符號相反。對于任意一個裂紋Γc(t)?R2由兩個水平集函數(shù)才能準(zhǔn)確進(jìn)行追蹤定位：

Γc(t)={x∈R2：φ(x，t)=0andγ(x，t)≤0}

(9)

其中，φ(x，t)為裂紋水平集函數(shù)；γ(x，t)為波前函數(shù)。裂紋的LSM具體表示方法如圖3。

圖3 裂紋的水平集函數(shù)表示方法

4.2 擴(kuò)充函數(shù)構(gòu)造

基于PUM和LSM，對傳統(tǒng)有限元形函數(shù)擴(kuò)充得到擴(kuò)充形函數(shù)，從而得XFEM的位移逼近方程一般形式

u(x)=ucon+udis

(10)

其中，ucon為連續(xù)部分位移場；udis為不連續(xù)部分位移場，兩者表達(dá)式分別為

(11)

(12)

(13)

5 數(shù)值模擬及分析

5.1 數(shù)值模型建立

為提高計算效率并保證模型精確性，l/d取4，d取0.02mm，生成纖維含量為29.5%的RVE。劃分網(wǎng)格時，基體和纖維采用CPE4單元，界面插入零厚度COH2D4單元。單元劃分完后為其賦予材料屬性，其中基體為環(huán)氧樹脂，拉伸破壞時為近似脆性[18]。因此，無損傷階段采用線彈性本構(gòu)，損傷起始后采用圖2(b)的線性模型?；w材料參數(shù)見表1：

表1 環(huán)氧樹脂基體的材料參數(shù)[11]

纖維作為增強(qiáng)相，模量和強(qiáng)度遠(yuǎn)高于基體，對整體性能起到重要影響作用。本文采用纖維材料為T300，分析時作為線彈性材料，其彈性模量為13.8GPa、泊松比為0.2[19]。界面強(qiáng)度是一個重要指標(biāo)，本文在僅界面損傷和界面、基體同時損傷兩種條件下，通過改變界面強(qiáng)度大小分析其對材料性能的影響。其中，法向強(qiáng)度取樹脂基體強(qiáng)度的60%，80%，100%，切向強(qiáng)度取法向強(qiáng)度1.5倍，其余參數(shù)見表2。

表2 粘結(jié)界面材料參數(shù)[20]

賦予材料后施加PBC，再添加位移載荷：

(14)

其中，u為位移載荷。圖4為最終模型。

圖4 數(shù)值模型

5.2 界面損傷

僅界面損傷時，受到橫向拉伸載荷后，界面法線方向與位移載荷方向所夾銳角最小處最先失效，隨位移載荷增加，失效界面逐漸向垂直于位移載荷法線方向擴(kuò)展。界面將基體與纖維粘合，當(dāng)復(fù)合材料發(fā)生變形時，力由基體通過界面作用在纖維上，因此界面有傳遞力的作用。相同載荷條件下，傳遞到纖維的作用力越大，表明纖維承受載荷越高，對基體增強(qiáng)效果就越好。因此，纖維的應(yīng)力變化能準(zhǔn)確反映界面損傷的變化情況。圖5為僅有界面失效時纖維橫向平均應(yīng)力-位移曲線，可得界面強(qiáng)度為60%的最大平均應(yīng)力為15MPa，80%時為19MPa，100%時為23MPa。

圖5 不同界面強(qiáng)度下纖維平均應(yīng)力

5.3 界面/基體損傷

考慮基體損傷時，XFEM可以捕捉到基體中的裂紋萌生、擴(kuò)展如圖6，以及基體破壞與界面的相互作用，如圖7中的a處為基體裂紋引起的界面損傷。

圖6 界面/基體損傷 圖7 裂紋引起界面損傷

可得，基體中裂紋遇到纖維后引起界面損傷，這種“損傷轉(zhuǎn)移”將基體裂紋轉(zhuǎn)換為界面損傷，從而有效抑制了裂紋在基體中的“生長”。

圖8 相同位移不同界面強(qiáng)度下基體平均應(yīng)力

圖8為不同界面強(qiáng)度時兩種不同條件下樹脂基體平均應(yīng)力，僅考慮界面損傷時基體平均應(yīng)力分別為13.6MPa、15.8MPa和18.1MPa，而同時考慮基體損傷時平均應(yīng)力為13.1MPa、14.6MPa和15.7MPa。對比發(fā)現(xiàn)，無論何種損傷行為樹脂基體平均應(yīng)力與界面強(qiáng)度均為正比關(guān)系，而同時考慮界面和基體損傷時，基體平均應(yīng)力明顯下降，并且隨著界面強(qiáng)度的增加平均應(yīng)力差值明顯擴(kuò)大。為表明基體損傷對RVE整體性能的影響，圖9、圖10分別給出界面損傷和界面/基體損傷時RVE平均應(yīng)力變化曲線：

圖9 界面損傷

圖10 界面/基體損傷

RVE的應(yīng)力-位移曲線可分為a-b-c三階段。a位于小范圍位移載荷內(nèi)，此時模型平均應(yīng)力與位移載荷呈線性增大關(guān)系。當(dāng)位移載荷超過某值(約為0.00022mm)后到達(dá)b階段，此時界面損傷起主要作用，不同界面強(qiáng)度的應(yīng)力曲線開始出現(xiàn)分支，且界面強(qiáng)度越大應(yīng)力值越高。當(dāng)位移載荷增加到約0.00042mm時應(yīng)力曲線到達(dá)c階段，此時無基體損傷應(yīng)力曲線呈現(xiàn)緩滿上升趨勢，而有基體損傷的應(yīng)力曲線在呈緩慢下降趨勢，由于兩者僅基體損傷這一變量不同，所以可得下降是由基體損傷引起的。

6 結(jié)論

1)結(jié)合RSA和PBC，由二次開發(fā)實現(xiàn)纖維復(fù)合材料快速建模，極大簡化建模流程。

2)僅考慮界面損傷時，纖維平均應(yīng)力表明界面強(qiáng)度越大，受橫向拉伸時纖維所受力就越大，纖維增強(qiáng)效果就越好。因此界面強(qiáng)度對纖維增強(qiáng)作用的發(fā)揮具有重要意義。

3)考慮界面/基體損傷時，XFEM準(zhǔn)確捕捉到基體裂紋：萌生于位移載荷方向上相鄰較近的纖維之間；擴(kuò)展方向與位移載荷方向垂直；裂紋由于引發(fā)界面損傷而停止擴(kuò)展，且界面強(qiáng)度越大對裂紋的抑制作用越好。

4)橫向拉伸時，僅有界面損傷的RVE平均應(yīng)力呈先快速上升后緩慢上升的趨勢，而考慮界面/基體損傷的RVE平均應(yīng)力為先快速上升后緩慢下的降趨勢。表明當(dāng)位移載荷超過某臨界值后僅使用界面損傷模型是不準(zhǔn)確的。這對纖維復(fù)合材料實際破壞行為的研究具有重要指導(dǎo)意義。