王璐，熊土林，馬沁巍，劉廣彥*，張篤周

(1.北京理工大學宇航學院，北京 100081； 2.中國空間技術研究院，北京 100094)

金屬材料在鍛造、切割等加工工藝中會不可避免地引入殘余應力，殘余應力的存在則會顯著地影響材料的屈服極限、抗拉及抗壓強度等力學性質[1-4]。因此，準確地獲取材料/結構的殘余應力分布對確保材料/結構的安全至關重要。實驗測試法是目前最常用的獲取材料/結構表面殘余應力分布的方法，基于是否需要對材料進行破壞，實驗測試法可以分為破壞性實驗法[5-6]及非破壞性實驗法[7-8]。破壞性實驗法可以通過試件破壞后的變形程度計算出殘余應力，該方法具有較高的計算精度并且可以實現(xiàn)構件內(nèi)部殘余應力的計算，但無法獲取構件處于服役狀態(tài)下的殘余應力。非破壞實驗方法可以在確保構件完整性的前提下實現(xiàn)構件殘余應力分布的計算，X-ray衍射法就是一種常用的非破壞測量方法。Marola等[9]基于X-ray測量了AlSi10Mg合金的殘余應力分布。宋志飛等[10]利用X-ray衍射法對巖石試件進行不同入射角度的掠入射衍射測量，得到巖石中不同方向礦物晶體的衍射峰位變化，再依據(jù)布拉格定律得到測量點的應變，通過彈性材料應力-應變關系得到測點的殘余應力。盡管該方法精準高效，但一般也僅用來測量少量點的殘余應力。高昂的測試成本使得其難以獨立且大規(guī)模地應用在構件殘余應力分布場的測量中，因此發(fā)展一種高效且能獲取整個構件表面的殘余應力測量方法具有重要意義。

基于X-ray技術獲得的少量離散實測值，可以通過插值法、有限元模擬法及反演方法獲取構件表面余下部分的殘余應力值。插值法是一種基于純數(shù)學的計算方法，插值過程中不考慮構件自身所服從的力學約束，因此難以獲得準確的計算結果[11]。有限元模擬法在建模的過程中需要對構件加工過程的熱力耦合條件進行簡化處理，極易產(chǎn)生較大誤差。一個準確的殘余應力分布場既要吻合對應實測點的應力值，也要滿足彈性力學約束，結合實驗測試與有限元模擬的反演方法有望成為解決該問題的重要途徑。為了簡化研究對象，許多學者常采用含有少量參數(shù)的基函數(shù)來描述殘余應力在構件表面的分布情況。由于待反演參數(shù)較少，因此計算效率較高，但該方法易發(fā)生欠擬合，難以表征復雜的殘余應力場。為此，現(xiàn)基于有限元模型修正法(finite element model updating，F(xiàn)EMU)發(fā)展一種無需構建基函數(shù)的殘余應力反演方法，該方法無需考慮先驗知識，只需對所有單元的未知參數(shù)反演即可。由于FEMU反演效率較低，為了進一步提高反演效率，結合深度學習技術，將人工神經(jīng)網(wǎng)絡技術作為有限元仿真軟件的代理模型[12]。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡技術是一種可以替代有限元程序進行實時計算的方法。神經(jīng)網(wǎng)絡通過調整神經(jīng)元權重學習輸入和輸出參數(shù)之間的復雜映射關系，能夠實時對輸入和輸出關系進行預測。事實上，由于神經(jīng)網(wǎng)絡具有優(yōu)異的非線性擬合能力，很多研究工作都嘗試使用神經(jīng)網(wǎng)絡替代有限元程序進行實時仿真[13-14]。Ali等[14]發(fā)展了一種有限元仿真耦合深度神經(jīng)網(wǎng)絡的技術，訓練收斂的深度神經(jīng)網(wǎng)絡可以代替有限元仿真準確地預測纖維增強復合材料層合板漸進損傷本構規(guī)律。Park等[15]使用神經(jīng)網(wǎng)絡代替有限元計算，準確而高效地獲得了泡沫鋁的本構參數(shù)。從已有的研究中不難發(fā)現(xiàn)，神經(jīng)網(wǎng)絡不僅可以顯著地提高反演效率，還具有與有限元仿真相近的預測精度。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡是一種深度前饋神經(jīng)網(wǎng)絡，其由卷積層、池化層和全連接層組成。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡具有良好的容錯能力和泛化能力，非常適合高度非線性關系的預測。作為一種深度卷積網(wǎng)絡，UNet[16]在解決力學非線性問題上展現(xiàn)出了巨大的應用潛力。Mendizabal等[17]將其應用于三維懸臂梁和心臟模型中，準確地建立了接觸力與有限位移的非線性關系，證明了UNet在拓撲結構快速仿真方面的應用價值。Koeppe等[18]將UNet應用到有限元子模型技術中，精確地預測了與模型塑性歷史相關的應力、節(jié)點力和位移。為了提高反演效率，現(xiàn)將采用 UNet 結構代替有限元模型修正法中的有限元計算對構件的殘余應力場進行模擬。

結合上述研究，首先，通過有限元仿真技術生成大量溫度場與殘余應力場的映射數(shù)據(jù)；其次，基于深度卷積網(wǎng)絡UNet建立溫度場與殘余應力場的映射關系；最后，將訓練好的UNet代替?zhèn)鹘y(tǒng)FEMU中有限元修正的部分，對未知的殘余應力場進行反演。以期通過數(shù)據(jù)驅動的方式建立殘余應力預測模型，對實際工況下材料/結構殘余應力分布的實時測量提供參考價值。

1 殘余應力場

所涉及的研究內(nèi)容主要有以下3個方面：基于有限元模擬生成訓練UNet所需要的數(shù)據(jù)集；訓練UNet神經(jīng)網(wǎng)絡；基于訓練收斂的UNet代替ABAQUS反演殘余應力場。

1.1 殘余應力反演理論

參數(shù)反演本質是一個優(yōu)化問題，旨在尋找一個服從某些約束前提下與實測值最小化差異的模擬結果。FEMU是常用的力學參數(shù)反演方法之一，現(xiàn)已廣泛應用在材料參數(shù)識別中。由于殘余應力分布的復雜性，采用傳統(tǒng)的FEMU會消耗大量時間。為此，采用深度神經(jīng)網(wǎng)絡作為有限元仿真的代理模型對殘余應力進行實時計算。

為了表征不同工藝條件、不同邊界條件下構件的殘余應力，選擇合適的待反演參數(shù)至關重要。在熱分析中，當已知熱力學參數(shù)為單元中點溫度和熱膨脹系數(shù)時，有限元模型無需位移或力邊界條件便可產(chǎn)生不同實驗條件下的應力場，因此通過假定單元中點溫度和熱膨脹系數(shù)參數(shù)來獲得殘余應力，從而生成深度神經(jīng)網(wǎng)絡訓練所需要的樣本。為了盡可能豐富訓練樣本，提高模型的泛化性，在給定熱膨脹系數(shù)的前提下于有限元單元的幾何中點處施加隨機溫度，通過控制溫度場來模擬產(chǎn)生殘余應力場的不同工藝條件。因此，優(yōu)化任務實質是尋找能夠滿足反演殘余應力與目標殘余應力差異最小化的溫度場分布，即

(1)

圖1所示為基于UNet的反演流程圖。為了驗證算法的有效性，實測的殘余應力點由有限元仿真實驗生成，采用優(yōu)化算法更新每個有限元單元中點處的溫度值使得目標函數(shù)最小化，采用的優(yōu)化算法為擬牛頓法。

圖1 反演技術流程圖Fig.1 Flow chart of the inverse method

1.2 有限元模型

選用方形開孔鋁合金構件進行研究，方形開孔模型作為復雜結構的簡化可以很好地驗證所提出的殘余應力反演算法的有效性。圖2為使用商業(yè)有限元軟件ABAQUS建立的方形開孔試件的示意圖，模型被劃分為512個單元(CPS4R)，彈性模量為70 GPa，泊松比為 0.3。在生成訓練數(shù)據(jù)環(huán)節(jié)中，僅需在單元中心施加隨機溫度值，即可生成該溫度下的殘余應力場。輸入的隨機溫度場作為神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練集，生成的殘余應力場則為訓練集所對應的標簽。在驗證模型有效性的環(huán)節(jié)中，在模型原有基礎上設置Mises屈服應力為 200 MPa。為了獲得模擬的殘余應力場，模型中間施加了對稱約束，上下加載端施加了80 MPa的外載使模型發(fā)生塑性變形，隨后完全卸載掉模型上的載荷，把模型中仍存在的應力視作殘余應力。

圖2 方形開孔構件有限元網(wǎng)格示意圖Fig.2 Finite element mesh diagram of square open-hole model

1.3 UNet網(wǎng)絡結構

UNet[18]是一個成熟且經(jīng)典的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡結構，成功地應用在醫(yī)學圖像分割問題中。如圖3所示，該網(wǎng)絡是對稱結構，包含一條收縮路徑(左側)和一條擴展路徑(右側)。收縮路徑類似于一個自動編碼器，能將輸入空間轉換為低維表示；而擴展路徑類似于一個解碼器，它可以將低維空間恢復到圖像原始尺度大小。編碼路徑包含 4個下采樣過程，每個下采樣依次由兩個3×3 卷積層和一個步長為2的2×2池化層組成。卷積層學習不同溫度場的力學響應 (如應力場)。在每一個下采樣步驟中，特征通道數(shù)量翻倍，特征圖大小縮小為上一步輸入特征圖片的1/2。通道用于存儲特征圖，且每個通道存儲一張?zhí)卣鲌D。網(wǎng)絡的底部有兩個3×3卷積層連接編碼器和解碼器。與編碼路徑類似，解碼路徑包含4個上采樣過程，每一次上采樣依次由一個2×2反卷積層和兩個3×3卷積層組成。在解碼時，來自同一狀態(tài)的編碼路徑特征圖需要裁剪并拼接到上采樣特征圖中，以完成信息的融合。在解碼路徑中，每經(jīng)歷一次解碼，特征通道數(shù)減半，特征圖的大小翻倍。最終通過一個3×3的卷積層把最后一張?zhí)卣鲌D轉換到輸出通道，即把應力分量分別存儲在不同通道中。特征圖的數(shù)量控制著網(wǎng)絡的預測精度，理論說來特征圖越多，則表征的問題越復雜。針對所研究的構件殘余應力分布，通過比較不同數(shù)目的特征圖預測效果發(fā)現(xiàn)，當特征圖數(shù)目分別為128和256時，預測效果最好。

圖3 UNet網(wǎng)絡結構Fig.3 UNet architecture

1.4 數(shù)據(jù)生成及模型訓練

充足的訓練樣本是模型具有高精度預測能力的核心，借助有限元軟件生成方形開孔模型溫度場映射殘余應力場的數(shù)據(jù)樣本。為了使得樣本數(shù)據(jù)更具有普適性，采用拉丁立方采樣法[19]對變量空間進行實驗設計，最終確定采樣的溫度區(qū)間介于(-130，130) ℃。

這樣通過在模型每個單元設置隨機溫度的方式，可以生成具有梯度的殘余應力場，重復運行ABAQUS即可生成所需要的數(shù)據(jù)集，溫度與殘余應力均產(chǎn)生自網(wǎng)格單元的中心，整個模型共有512個單元，故得到的512個測點，共生成了5 800份訓練樣本。

由于標準的UNet輸入圖像為n×n×m格式的數(shù)字矩陣，其中n與m均為大于0的正整數(shù)。但由于采用的模型為方形開孔模型，無法滿足模型的輸入格式，因此在訓練之前，對圖像進行了預處理，通過立方插值將其轉化為標準格式。

最終將有限元網(wǎng)格處理為16 × 16的數(shù)字矩陣。另外，考慮到有限元模型中心留有開孔，這部分參與計算會影響結果的準確度，所以在網(wǎng)絡中增加了掩碼(mask)處理方式，即將中心無數(shù)據(jù)區(qū)域進行標注，使其在網(wǎng)絡梯度優(yōu)化過程中不參與計算，如圖4所示。

圖4 數(shù)據(jù)預處理Fig.4 Data preprocessing

為了消除指標之間的量綱影響，采用式(2)對數(shù)據(jù)集做標準化處理，表達式為

(2)

基于Keras庫搭建UNet神經(jīng)網(wǎng)絡模型，網(wǎng)絡采用均方誤差(mean squared error，MSE)作為損失函數(shù)，Adam作為優(yōu)化器，學習率設為10-5，激活函數(shù)為 ReLU，訓練次數(shù)設置為1 000 次。

研究框架如圖5所示。

圖5 殘余應力反演計算流程圖Fig.5 Flow chart of the inversion of residual stresses

2 計算結果

2.1 UNet模型驗證

為了驗證UNet結構在反演中的有效性，利用有限元模擬得到的殘余應力場對其進行驗證。

圖6所示為采用了圖2有限元模型及邊界條件得到的有限元模擬殘余應力場及反演得到的殘余應力場。隨機選擇構件表面總點數(shù)的1/4作為反演所用的實測點。從圖6中可以明顯地看出，UNet預測結果與有限元模擬結果吻合度較好，在邊界等敏感區(qū)域也有不錯的表現(xiàn)，應力集中區(qū)域也預測得較為準確，充分地體現(xiàn)了UNet神經(jīng)網(wǎng)絡強大的映射能力。

圖6 有限元仿真與UNet預測結果對比Fig.6 Finite element simulation versus UNet prediction

2.2 反演誤差分析

為了更直觀地展示UNet的預測結果，圖7所示為不同實測點數(shù)目下應力分量σx的相對誤差統(tǒng)計圖。由于0 MPa附近的相對誤差較大，并不能表征其實際的誤差程度，因此此處僅給出了絕對值在10 MPa以上不同實測點與總點數(shù)比例下(1、1/2、1/3、1/4、1/5)的相對誤差曲線，測點位置均為隨機選出。由圖7可見，隨著測點數(shù)減少，計算得到的殘余應力的誤差越來越大，當使用全部測點進行反演時，超過20%誤差的比例僅為1.89%，當僅使用1/5測點時，相對誤差超過20%的單元占比已達16.80%。當選用1/4比例的測點時，可以看出其誤差水平與1/3和1/2比例下相差無幾，因此在對誤差要求不是特別嚴格的前提下，1/4占比的實測單元是一個比較合適的比例。

圖7 相對誤差與不同測點比例關系曲線Fig.7 Relative error versus ratio of elements

2.3 反演效率對比

表1比較了利用UNet和FEMU在Intel i7，12 核，主頻為3.2 GHz，內(nèi)存為16 G配置的電腦上的反演效率。如表1所示，采用UNet方法在優(yōu)化過程中迭代一次的時間為0.07 s，而FEMU優(yōu)化迭代一次則需要20 s?；赨Net的反演方法在98次迭代后收斂，在包括采樣時間和訓練時間情況下，一個完整優(yōu)化任務需要的時間約為39.35 h。由于FEMU反演太慢，在3 d內(nèi)并沒有實現(xiàn)FEMU的收斂，所以在此假設兩種方法需要迭代相同的次數(shù)，在UNet方法中，最終大約經(jīng)過了106迭代而收斂，在此迭代水平下，基于FEMU的反演方法估計需要花費5 555.56 h，其計算時間遠遠大于基于UNet的反演方法。由此可見，基于UNet的反演方法在計算效率上明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的有限元模型修正反演方法。

表1 UNet和FEMU優(yōu)化時間對比Table 1 Comparison between UNet and FEMU in optimization time

3 結論

在考慮滿足物理規(guī)律的前提下，從有限實測點高效預測全場殘余應力是一個極具挑戰(zhàn)的任務。發(fā)展了一種深度學習技術的殘余應力反演方法，通過代替滿足力學約束的有限元程序可以更高效地預測構件表面殘余應力場。主要結論如下。

(1) 無需知道構件產(chǎn)生殘余應力的工藝條件，基于神經(jīng)網(wǎng)絡的殘余應力反演方法，通過有限測點便可獲得滿足力學規(guī)律的全場殘余應力。

(2) 根據(jù)溫度場與應力場數(shù)據(jù)訓練的 UNet 神經(jīng)網(wǎng)絡在預測殘余應力場時具有優(yōu)越的性能，極大地提高了反演效率。

(3) 提出的使用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡的反演方法不僅適用于殘余應力的預測，也可用于其他力學參數(shù)的識別。