何 磊，張 雯，董曉彬

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

隨著衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)及各類遙感衛(wèi)星星座的推出，未來(lái)中低軌衛(wèi)星市場(chǎng)體量巨大，正在建立新的社會(huì)經(jīng)濟(jì)形態(tài)[1]。全固體運(yùn)載火箭具有發(fā)射設(shè)備簡(jiǎn)單、操作簡(jiǎn)便、發(fā)射保障要求低、發(fā)射準(zhǔn)備周期短、能全天候發(fā)射等優(yōu)勢(shì)，具備海陸通用、快速響應(yīng)的特點(diǎn)，可為中/小型衛(wèi)星提供更為靈活和經(jīng)濟(jì)的發(fā)射方式，也可滿足快速響應(yīng)發(fā)射和星座靈活補(bǔ)網(wǎng)需求，日漸受到軍民商發(fā)射領(lǐng)域的廣泛青睞[2-3]。

固體運(yùn)載火箭是航天運(yùn)輸系統(tǒng)的重要組成部分，美、俄、歐盟、日本等航天強(qiáng)國(guó)和組織在發(fā)展液體運(yùn)載火箭的同時(shí)均發(fā)展了固體運(yùn)載火箭，形成了完善的航天運(yùn)輸體系。我國(guó)在固體運(yùn)載火箭領(lǐng)域通過(guò)預(yù)研牽引，支持了固體運(yùn)載火箭120/200 t大推力固體發(fā)動(dòng)機(jī)前期研究和關(guān)鍵技術(shù)演示驗(yàn)證工作，當(dāng)前已形成長(zhǎng)征十一號(hào)、捷龍系列、力箭一號(hào)等全固體運(yùn)載火箭低、中運(yùn)載能力覆蓋的搭配布局。

然而，通過(guò)分析我國(guó)固體火箭的運(yùn)載能力可以發(fā)現(xiàn)，在2～3 t(500 km太陽(yáng)同步軌道)運(yùn)載能力區(qū)間的固體火箭存在“缺位”。因此，本文基于已成功試車的最大推力500 t、直徑3.5 m整體式大型固體發(fā)動(dòng)機(jī)[4]，通過(guò)已有固體動(dòng)力模塊化組合或者級(jí)間優(yōu)化配置，形成一款運(yùn)載能力3 t左右的四級(jí)全固體運(yùn)載火箭，以有效填補(bǔ)我國(guó)固體火箭運(yùn)載能力空檔。

火箭總體設(shè)計(jì)的主要目的之一就是滿足運(yùn)載能力要求，因而運(yùn)載能力分析是運(yùn)載火箭總體方案論證和初步設(shè)計(jì)階段的重要研究?jī)?nèi)容。運(yùn)載能力分析的主要內(nèi)容是彈道分析，主要有積分法和估算法兩大類[5]。積分法即仿真分析法，是用比較精確的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行大量的計(jì)算，求解出火箭的最大運(yùn)載能力。綜上分析，本文首先給出了新型四級(jí)全固體運(yùn)載火箭構(gòu)型；然后通過(guò)建立三自由度彈道計(jì)算仿真模型，明確彈道設(shè)計(jì)/優(yōu)化變量和指標(biāo)，構(gòu)建了彈道優(yōu)化模型；在此基礎(chǔ)上采用仿真分析法對(duì)火箭從發(fā)射至入軌全過(guò)程進(jìn)行仿真，并分析了該火箭構(gòu)型典型彈道曲線特點(diǎn)，以及各級(jí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量、推重比和末級(jí)裝藥量對(duì)運(yùn)載能力的影響規(guī)律，為未來(lái)固體火箭的總體方案論證提供依據(jù)。

1火箭構(gòu)型及彈道方案概述

1.1 火箭構(gòu)型

本文論證的固體運(yùn)載火箭采用四級(jí)固體串聯(lián)構(gòu)型，箭體最大直徑3.5 m，總長(zhǎng)約39 m，起飛質(zhì)量約260 t,適配Φ3.35 m和Φ4.2 m兩種整流罩，可實(shí)現(xiàn)海陸通用發(fā)射。該火箭構(gòu)型外形簡(jiǎn)單，火箭長(zhǎng)細(xì)比(11.14)合理，滿足設(shè)計(jì)要求。運(yùn)載火箭固體發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)見(jiàn)表1，后文將圍繞該火箭構(gòu)型及表1所列發(fā)動(dòng)機(jī)開展仿真研究。

表1 發(fā)動(dòng)機(jī)性能參數(shù)

1.2 彈道方案

對(duì)于四級(jí)固體運(yùn)載火箭，發(fā)射軌道高度為2 000 km 以下的衛(wèi)星，發(fā)射段彈道多采用助推+滑行[6]形式：一級(jí)起飛后采用攻角轉(zhuǎn)彎的方式，一級(jí)后段及二級(jí)前段采用重力轉(zhuǎn)彎的方式；二級(jí)飛出稠密大氣層后，程序角按照一定速率下壓；二三級(jí)分離后，火箭開始滑行，滑行結(jié)束后三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火；三級(jí)動(dòng)力飛行前段程序角按常值變化率下壓/上抬，之后定軸飛行直至三級(jí)飛行結(jié)束；三四級(jí)分離后，四級(jí)沿轉(zhuǎn)移軌道滑行到合適的高度后四級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，直至發(fā)動(dòng)機(jī)耗盡點(diǎn)衛(wèi)星入軌。俯仰程序角曲線[7-8]如圖1所示。

圖1 俯仰程序角曲線示意圖Fig.1 Schematic diagram of pitch program angle

攻角轉(zhuǎn)彎段攻角變化規(guī)律如下

(1)

式中

αm為攻角轉(zhuǎn)彎段攻角極值(絕對(duì)值)，tm為攻角達(dá)到極值時(shí)的時(shí)間。

2 彈道計(jì)算及優(yōu)化模型

2.1 彈道計(jì)算模型

2.1.1 動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)固體火箭的運(yùn)載能力進(jìn)行分析時(shí)，采用瞬時(shí)平衡假設(shè)，認(rèn)為火箭無(wú)慣性地轉(zhuǎn)動(dòng)且控制系統(tǒng)理想，此時(shí)只考慮火箭的質(zhì)心動(dòng)力學(xué)方程，而不考慮火箭的繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程。任一變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中的質(zhì)心動(dòng)力學(xué)矢量方程為[9]

(2)

2.1.2 質(zhì)量模型

給出假設(shè)條件如下：固體運(yùn)載火箭在裝藥量變化時(shí)各級(jí)直徑不變；在推力一定的情況下，裝藥量變化時(shí)各級(jí)級(jí)間段、前封頭、后封頭、噴管質(zhì)量不變，只有發(fā)動(dòng)機(jī)柱狀段因裝藥量變化引起的加長(zhǎng)或縮短的質(zhì)量變化；固體推進(jìn)劑裝藥選擇圓孔裝藥類型，di和Di分別為第i級(jí)裝藥的初始內(nèi)孔直徑和外圓直徑；hi為第i級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)柱狀段壁厚；ρti為第i級(jí)燃料密度；ρi為第i級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)殼體密度。

固體運(yùn)載火箭總起飛質(zhì)量可表示為[10]

(3)

(4)

式中，m0為運(yùn)載火箭起飛質(zhì)量,mdy為有效載荷質(zhì)量,mtz為整流罩質(zhì)量,mti為第i級(jí)原始燃料質(zhì)量,mfji為第i級(jí)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)質(zhì)量,mgi為第i級(jí)級(jí)間段質(zhì)量,Δmfji為發(fā)動(dòng)機(jī)柱狀段結(jié)構(gòu)質(zhì)量變化量,Δmti為第i級(jí)燃料變化量。

2.1.3 氣動(dòng)力模型

采用標(biāo)準(zhǔn)大氣模型(GB1920-80)，氣動(dòng)力可在速度系內(nèi)分解為阻力X、升力Y和側(cè)力Z，按式(5)計(jì)算。

(5)

2.1.4 引力模型

采用地球橢球模型，考慮J2項(xiàng)對(duì)引力影響，主要參數(shù)采用1975年第十六屆國(guó)際大地測(cè)量協(xié)會(huì)的推薦值(IAG-75)，引力在地球矢徑與地球旋轉(zhuǎn)方向的投影為

(6)

式中,J=3J2/2,μ為地球引力系數(shù),Re為地球赤道半徑,φ為地心緯度,r為地心矢徑。

2.1.5 推力模型

推力矢量P=[P0 0]T中的推力大小按式(7)計(jì)算

(7)

式中,Psl為一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)海平面推力，Se為發(fā)動(dòng)機(jī)噴口面——Pvac為二、三、四級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的真空推力，p0和p分別對(duì)應(yīng)海平面和當(dāng)前飛行高度的大氣壓強(qiáng)。

2.2 彈道優(yōu)化模型

2.2.1 優(yōu)化問(wèn)題描述

(1)性能指標(biāo)

固體運(yùn)載火箭主動(dòng)段彈道優(yōu)化的目的是提高運(yùn)載能力，即在總體參數(shù)保持不變的前提下，對(duì)主動(dòng)段進(jìn)行能量管理及彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)以使有效載荷質(zhì)量最大，因此，目標(biāo)函數(shù)選擇為

minJ(u)=-mpayload

(8)

式中，mpayload為有效載荷的質(zhì)量，u為優(yōu)化控制變量。

(2)優(yōu)化控制變量

選取圖1中的變量和射擊方位角A0作為待優(yōu)化參數(shù)，因此，控制變量為

u=[αm,k3,t4h,φcx4,A0]T

(9)

2.2.2 約束條件

考慮工程可實(shí)現(xiàn)性，控制變量應(yīng)滿足一定的約束條件，例如：αm是控制運(yùn)載火箭初期攻角轉(zhuǎn)彎的關(guān)鍵參數(shù)，若αm較大，則轉(zhuǎn)彎幅度大，終端高度小，終端速度大；若αm較小，則轉(zhuǎn)彎幅度小，終端高度大，終端速度?。籯3是控制俯仰程序角下壓的參數(shù)，基于控制系統(tǒng)的要求，一般不超過(guò)10(°)/s。此外，還需滿足如下終端約束和過(guò)程約束：

(1)控制變量約束

umin≤u≤umax

(10)

(2)入軌條件約束

(11)

(3)最大動(dòng)壓、拋整流罩熱流與最大飛行過(guò)載約束

q≤qmax,W≤Wmax,ny≤ny,max

(12)

2.2.3 主動(dòng)段彈道優(yōu)化模型

固體運(yùn)載火箭主動(dòng)段軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)是一類終端時(shí)刻自由、終端狀態(tài)固定且?guī)в新窂郊s束的多階段、非線性最優(yōu)控制問(wèn)題。

minJ(u)=-mpayload
subj.toEqs.(2),(10-12)

(13)

3 仿真計(jì)算結(jié)果

基于第1章給定的火箭構(gòu)型和彈道方案，以有效載荷質(zhì)量最大為目標(biāo)，目標(biāo)軌道選擇700 km的太陽(yáng)同步軌道，對(duì)應(yīng)的入軌點(diǎn)速度、軌道傾角、當(dāng)?shù)貜椀纼A角和軌道偏心率分別為7 054.286 m/s、98.187 6°、0°和0。飛行過(guò)程中允許的最大動(dòng)壓、拋整流罩熱流和最大飛行過(guò)載分別為60 kPa、300 W/m2和7g。

3.1 典型彈道曲線特點(diǎn)

依據(jù)第1，2章固體運(yùn)載火箭構(gòu)型和建立的彈道計(jì)算及優(yōu)化模型，優(yōu)化結(jié)果如表2和圖2～4所示。飛行過(guò)程中的最大動(dòng)壓出現(xiàn)在一級(jí)飛行段，最大動(dòng)壓值為58.12 kPa；拋整流罩時(shí)的熱流為300.0 W/m2；最大(軸向)過(guò)載在三級(jí)動(dòng)力飛行段，最大過(guò)載值為6.51g，滿足飛行過(guò)程約束。

表2 優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

圖2 俯仰程序角隨時(shí)間的變化曲線Fig.2 Pitch program angle history

圖3 火箭縱向剖面內(nèi)的飛行軌跡Fig.3 Longitudinal trajectory of rocket

圖4 絕對(duì)速度、高度隨時(shí)間的變化曲線Fig.4 Absolute velocity and altitude history

圖2為最優(yōu)彈道對(duì)應(yīng)的俯仰程序角，可以看出，火箭起飛后各階段對(duì)應(yīng)的程序角變化特點(diǎn)有很大不同，第一、二級(jí)飛行段基本位于大氣層內(nèi)，在動(dòng)壓、熱流和過(guò)載約束的情況下，應(yīng)盡可能減少速度的損失，因此在經(jīng)過(guò)垂直上升段和攻角轉(zhuǎn)彎段后，這一階段的大部分時(shí)間均處于零攻角飛行狀態(tài)。如圖3所示，火箭在這一飛行階段依靠重力緩慢地轉(zhuǎn)彎，有利于盡快飛出稠密大氣層，減少氣動(dòng)阻力帶來(lái)的速度損失。

當(dāng)火箭進(jìn)入真空環(huán)境后，飛行過(guò)程約束逐漸消失，這一階段的程序角要滿足入軌的高度和速度約束。絕對(duì)速度和高度隨時(shí)間的變化曲線如圖4所示，在三級(jí)動(dòng)力飛行段和四級(jí)滑行段，最顯著的一個(gè)特征是飛行高度的急劇增加，速度的變化相對(duì)比較緩慢，而在四級(jí)動(dòng)力飛行段的變化趨勢(shì)則正好相反，飛行高度基本不變，絕對(duì)速度急劇增加至入軌所需速度。從上述結(jié)果可知，由于固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)只能耗盡關(guān)機(jī)，且具有工作時(shí)間短、推力大等特點(diǎn)，火箭在真空飛行中采用“助推--滑行--助推”的飛行模式有利于最大限度地將盡可能多的有效載荷送入軌道。

3.2 彈道計(jì)算與優(yōu)化模型的應(yīng)用與分析

本節(jié)依據(jù)第1，2章給定的固體運(yùn)載火箭構(gòu)型和建立的彈道計(jì)算及優(yōu)化模型，分析研究了各級(jí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量、推重比和末級(jí)裝藥量對(duì)極限運(yùn)載能力的影響。

固定各級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥量，各級(jí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量對(duì)運(yùn)載能力的偏導(dǎo)數(shù)如表3所示。從表中可見(jiàn)，三、四級(jí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量對(duì)運(yùn)載能力的偏導(dǎo)數(shù)分別是-0.473 6和-1.0，即三、四級(jí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量每減小10 kg對(duì)應(yīng)增加的運(yùn)載能力為4.736，10.0 kg，明顯大于一、二級(jí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量對(duì)運(yùn)載能力的影響。

表3 各級(jí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量對(duì)運(yùn)載能力的偏導(dǎo)數(shù)

假定一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的總能量(或總沖)不變，則發(fā)動(dòng)機(jī)推力F1與工作時(shí)間Δt1之間的關(guān)系為：Δt1=Δm1Isp1/F1(Δm1和Isp1分別為一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的裝藥量和比沖)。

從圖5和圖6中可知，只改變一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)推力，火箭推重比與對(duì)應(yīng)的極限運(yùn)載能力和飛行過(guò)程中的最大動(dòng)壓均呈正相關(guān)關(guān)系。推重比在1.2～2.0區(qū)間時(shí)，對(duì)極限運(yùn)載能力的影響較大(推重比由1.2提升到2.0時(shí)的運(yùn)載能力提升約21%)，推重比超過(guò)2.0時(shí)，增大推重比對(duì)運(yùn)載能力的影響有限(推重比由2.0提升到2.6時(shí)的運(yùn)載能力提升約2.2%)。推重比越大，飛行過(guò)程中的最大動(dòng)壓也就越大(兩者之間為近似的線性關(guān)系)，引起的載荷、熱等相關(guān)飛行環(huán)境越惡劣，火箭總體設(shè)計(jì)時(shí)需要綜合考慮。

圖5 推重比與極限運(yùn)載能力之間的關(guān)系Fig.5 Relationship between the thrust-weight ratio and ultimate capacity

圖6 推重比與最大動(dòng)壓之間的關(guān)系Fig.6 Relationship between the thrust-weight ratio and maximum dynamic pressure

根據(jù)第3.1節(jié)的分析結(jié)論可知：四級(jí)構(gòu)型固體運(yùn)載火箭的末級(jí)動(dòng)力飛行段主要是給運(yùn)載火箭提供速度增量。當(dāng)末級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的裝藥量增加時(shí)，可提供的末級(jí)速度增加，記為ΔV1，但末級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥量增加同時(shí)也使得前三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)的消極質(zhì)量增加，進(jìn)而帶來(lái)末級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)刻初始速度減小，記為ΔV2。當(dāng)ΔV1>ΔV2時(shí)，運(yùn)載能力呈增加趨勢(shì)，反之則呈減少趨勢(shì)；當(dāng)ΔV1=ΔV2時(shí)末級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥量達(dá)到理論上的最優(yōu)值。以上描述趨勢(shì)與圖7中運(yùn)載能力仿真結(jié)果的變化趨勢(shì)吻合。從圖7中可知，只改變四級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥量，火箭的極限運(yùn)載能力隨裝藥量呈先增大后減小的趨勢(shì)，末級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥量約為4 500 kg時(shí)對(duì)應(yīng)的運(yùn)載能力達(dá)到最大。

圖7 末級(jí)裝藥量與極限運(yùn)載能力的關(guān)系Fig.7 Relationship between the charge mass of upper stage and maximum lift capacity

4 結(jié)論

本文針對(duì)我國(guó)固體運(yùn)載火箭運(yùn)載能力在2～3 t(500 km太陽(yáng)同步軌道)區(qū)間上存在“缺位”的現(xiàn)實(shí)，首先給出了一款運(yùn)載能力3 t左右的四級(jí)全固體運(yùn)載火箭構(gòu)型。然后建立了固體運(yùn)載火箭三自由度彈道計(jì)算和優(yōu)化模型，通過(guò)仿真手段分析了典型彈道曲線的特征，得出在大氣層內(nèi)飛行時(shí)，彈道設(shè)計(jì)應(yīng)盡可能降低速度損失，而當(dāng)火箭進(jìn)入真空環(huán)境后，采用“助推--滑行--助推”的飛行模式有利于最大限度地將盡可能多的有效載荷送入軌道。此外，還進(jìn)一步分析了各級(jí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量、推重比和末級(jí)裝藥量對(duì)運(yùn)載能力的影響規(guī)律。其中，三、四級(jí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量每減小10 kg對(duì)應(yīng)增加的運(yùn)載能力為4.736,10.0 kg，明顯大于一、二級(jí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量對(duì)運(yùn)載能力的影響；推重比由1.2提升到2.0時(shí)的運(yùn)載能力提升約21%，同時(shí)飛行過(guò)程中最大動(dòng)壓也會(huì)顯著增大；火箭的極限運(yùn)載能力隨末級(jí)裝藥量呈先增大后減小的趨勢(shì)，四級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥量為4 500 kg 時(shí)對(duì)應(yīng)的運(yùn)載能力達(dá)到最大。上述分析結(jié)論為未來(lái)固體火箭總體方案論證提供依據(jù)。