顏小兵

數(shù)學(xué)的創(chuàng)新思維要求學(xué)生敢于質(zhì)疑，敢于創(chuàng)新，探索不同解法之間的異同點(diǎn)，通過對(duì)不同之處作比較，類似之處尋根源，不斷提升解題能力和思維品質(zhì)。

一、原題呈現(xiàn)

例題 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，點(diǎn)F為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A停止，以FD為直角邊作等腰直角三角形DEF，點(diǎn)G為斜邊EF的中點(diǎn)，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長為多少？

此題為一道中考復(fù)習(xí)練習(xí)題。教師在解決這類問題時(shí)，首先要讓學(xué)生弄清點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，其運(yùn)動(dòng)路徑是什么形狀，找出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，才能根據(jù)相關(guān)計(jì)算求出路徑的長度。在解題教學(xué)的過程中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。

二、教學(xué)過程

1.合作探究，把握問題

師：同學(xué)們，要想求出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長，你們認(rèn)為點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑是什么？

生1：我認(rèn)為點(diǎn)G在一條直線上運(yùn)動(dòng)。

生2：我認(rèn)為點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段。

師：為什么？請(qǐng)大家分組討論。

學(xué)生分組討論。經(jīng)過一番討論后，大部分學(xué)生得到以下猜想：點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)可以參照點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)，因?yàn)辄c(diǎn)G是線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)G始終隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可以由點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡求出點(diǎn)E的路徑長度，從而確定點(diǎn)G的路徑長度。

師：大家說得都很好，思維很活躍。同學(xué)們能否聯(lián)想到基本模型，去確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡呢？

生3：我們可以建立平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)E作EH⊥y軸，垂足為H（圖略），利用基本模型證明三角形全等，確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡。

師：說得非常好。你說的基本模型其實(shí)就是“K”字形模型，它是平面幾何中最常見的模型之一。若能夠靈活運(yùn)用此模型結(jié)論，我們就可以輕松破解本題。我們要能夠觀察發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑是△EDF的中位線，探索出點(diǎn)G、點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑之間的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)三角形的中位線定理，求出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長。

2.品味模型，尋求多解

師：同學(xué)們，剛剛我們借助于點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡去求點(diǎn)G的路徑長。那么，我們能不能直接通過探究點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡去求點(diǎn)G的路徑長？

生4：可以。點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)該是在一條直線上，而且是在第二、四象限的角平分線上。

師：是的，點(diǎn)G始終在∠ACB的角平分線上運(yùn)動(dòng)。這樣我們就可以由點(diǎn)G的起點(diǎn)和終點(diǎn)直接求出點(diǎn)G的路徑長度。我們可以構(gòu)造“K”字形模型表示點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后根據(jù)中點(diǎn)公式求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，確定點(diǎn)G在函數(shù)y=-x的圖像上，從而求出點(diǎn)G的路徑。

師：既然大家都已經(jīng)知道點(diǎn)G的軌跡在∠ACB的角平分線上，那么你能不能利用其他方法來證明呢？

生5：分別作EH、GN垂直于y軸，EQ、GM垂直于x軸。我們可以利用三角形中位線定理和梯形中位線定理求出GM和GN的長度相等（如圖2），然后利用角平分線的逆定理判斷確定點(diǎn)G始終在∠ACB的角平分線上運(yùn)動(dòng)，從而求出點(diǎn)G的路徑。

3.深化問題，創(chuàng)造多解

師：同學(xué)們，只有一組對(duì)角是直角的四邊形，我們把它稱之為“損矩形”。你能不能利用“損矩形”GFCD的特征，證明點(diǎn)G到∠ACB的兩邊的距離相等？

生6：連接GD，分別過點(diǎn)G作AB、AC的垂線段。

（學(xué)生板書略。）

師：很好，通過直接探討點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用“損矩形”的特征，證明了點(diǎn)G到∠ACB的兩邊的距離相等，再根據(jù)角平分線逆定理，從而確定點(diǎn)G始終在∠ACB的角平分線上運(yùn)動(dòng)。同學(xué)們，還有其他證明方法嗎？

（學(xué)生沉默片刻，教師繼續(xù)引導(dǎo)。）

師：根據(jù)剛才提出的“損矩形”的特征，我們連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段，這條線段叫作損矩形的直徑，你們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G、F、C、D之間有什么關(guān)系？

生7：四點(diǎn)共圓。

師：為什么？

生7：我們分別連接GC、GD，取公共斜邊FD的中點(diǎn)O，連接GO、FO、CO、DO，可以證得GO=FO=CO=DO，所以它們四點(diǎn)共圓。

師：說得非常好！怎樣說明點(diǎn)G在∠ACB的角平分線上呢？

生8：連接GC、GD，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到，∠GCF=∠GDF=45°。因?yàn)椤螦CB是直角，從而直接確定點(diǎn)G始終在∠ACB的角平分線上運(yùn)動(dòng)。

師：那我們?cè)鯓尤デ缶€段的長度呢？

眾：因?yàn)辄c(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條線段，我們直接利用兩點(diǎn)間的距離公式就可以求出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長。最后求出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長為3[2]。

三、教學(xué)反思

習(xí)題講評(píng)課不能僅停留在對(duì)錯(cuò)題的分析、講解上，而應(yīng)更加關(guān)注學(xué)生思維能力的發(fā)展，以題目為支點(diǎn)，撬動(dòng)學(xué)生良好思維品質(zhì)的發(fā)展。在本題中，筆者從辨別圖形結(jié)構(gòu)、挖掘基本圖形入手，不斷追問，拓展問題，讓學(xué)生認(rèn)清問題本質(zhì)。特別是在中考前夕的復(fù)習(xí)課中，教師應(yīng)精心選擇例題，結(jié)合多方面的知識(shí)點(diǎn)，從多角度探索典型例題的不同解法。同時(shí)，教師還要給足學(xué)生思考的時(shí)間，適時(shí)引導(dǎo)并留白，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生發(fā)揮想象力，創(chuàng)造性地產(chǎn)生許多新的解題方法，引導(dǎo)學(xué)生深入探究反思，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）