“認(rèn)識封閉”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中的常見現(xiàn)象，本文擬通過教材一道錯題產(chǎn)生原因的剖析，談?wù)勵}目編制中的“認(rèn)識封閉”現(xiàn)象及其矯正策略。

一、問題提出

1. 題目呈現(xiàn)

如圖，△ABC的周長為

24，面積為48，求它的

內(nèi)切圓的半徑。

與教材配套的《教師教學(xué)用書》提供的答案是：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，切點分別為D、E、F，連接OD、OE、OF、OA、OB、OC。由題意，得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥CA，且OD=OE=OF=r。由S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△COA=[12]r·AB+[12]r·BC+[12]r·CA=[12]r·（AB+BC+CA）=12r，S△ABC=48，易得r=4。

2. 題目證偽

上述解答正確嗎？我們知道，周長一定的三角形中，等邊三角形的面積最大。不妨將問題特殊化：設(shè)AB=BC=CA=8，此時△ABC的面積最大為 16[3]<16×3=48，顯然“周長為24，面積為48”的三角形不存在。為進(jìn)一步探究其周長與面積的關(guān)系，現(xiàn)將問題一般化：設(shè)三角形的三邊長分別為a、b、c，面積為S，記p=[12]（a+b+c）。

由海倫公式得：S=[p（p-a）（p-b）（p-c]），所以（p-a）（p-b）（p-c）=[S2p]。①

由均值不等式得：（p-a）（p-b）（p-c）≤（[p-a+p-b+p-c3]）3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立。因為（[p-a+p-b+p-c3]）3=[[3p-（a+b+c）3]]3=（[3p-2p3]）3=[p327]，所以（p-a）（p-b）（p-c）≤[p327]。②

把①代入②，得[S2p]≤[p327]，所以S≤[39]p2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立。

即：三角形周長一定時，面積Smax=[39]p2；三角形面積S一定時，p=[33S]。

就案例中的問題而言，三角形的周長為24，即p=12，則S≤[39]×122=16[3]<48，這就從理論上證明了周長為24、面積為48的三角形不存在。

二、問題探因

該題旨在讓學(xué)生通過問題解決，理解三角形的周長C、面積S、內(nèi)切圓半徑r的關(guān)系，即S=[12]Cr，并知道已知其中兩個量，可求第三個量，進(jìn)而鞏固三角形內(nèi)切圓的相關(guān)性質(zhì)。問題是：題目編寫者只注重了三者之間形式化的關(guān)系，而忽視了隱含條件，根本原因就是“認(rèn)識封閉”現(xiàn)象。

“認(rèn)識封閉”是特有的思維錯誤現(xiàn)象，產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因較多，如數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)不完整，數(shù)學(xué)思維方式與習(xí)慣偏差等。在題目編制中的“認(rèn)識封閉”現(xiàn)象主要原因則是關(guān)聯(lián)思維不夠，缺乏高觀點下理解數(shù)學(xué)問題的意識。

三、應(yīng)對策略

應(yīng)對題目編制中的“認(rèn)識封閉”現(xiàn)象的策略較多，其中，優(yōu)化思維方式、高觀點解釋問題是主要策略。

1. 優(yōu)化思維方式。一是提高關(guān)聯(lián)思維的能力。無論是教師、還是教材編寫者，并不缺乏數(shù)學(xué)知識，之所以出現(xiàn)認(rèn)識封閉現(xiàn)象，主要還是缺乏對知識的系統(tǒng)整合與有效關(guān)聯(lián)，形成思維定勢，沒有將題目數(shù)據(jù)與圖形存在的條件整體地、關(guān)聯(lián)地思考。因此，要在完善知識結(jié)構(gòu)的前提下，注意提高自身整體地、關(guān)聯(lián)地思維的能力，盡可能在題目編制中考慮與之相關(guān)聯(lián)的知識、方法，并嘗試從不同角度理解與解釋。二是強化反思思維的意識。反思是一種重要的思維習(xí)慣，是思維深刻性與縝密性的具體體現(xiàn)。如果題目編寫者對問題稍作反思，比如將問題特殊化或一般化，就不難發(fā)現(xiàn)題目的瑕疵。有時需要對問題條件進(jìn)行探究，通過限定條件的外延與內(nèi)含，使問題的結(jié)論具有確定性、可靠性。

2. 高觀點解釋問題。數(shù)學(xué)的知識和方法是發(fā)展的，一般來說，上位（更高級）的數(shù)學(xué)知識和方法對下位（初級）的內(nèi)容是兼容的，用上位的數(shù)學(xué)知識與方法可以更全面、更深刻地理解、解釋下位的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。因此，作為題目編制者，必須有這種意識，就是在編制題目時，用上位的數(shù)學(xué)知識、方法對題目進(jìn)行驗證，用高觀點來看待編制的數(shù)學(xué)問題，只有居高臨下，才能確保問題準(zhǔn)確無誤。

（作者為江蘇省鹽城市葛武初級中學(xué)校長）