李 猛 王時龍 馬 馳

夏長久重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶,400044

0 引言

大規(guī)格齒輪是航母等大型艦船、大功率風力發(fā)電機和重載工程機械等高端設(shè)備上的關(guān)鍵核心基礎(chǔ)件[1]，其性能優(yōu)劣直接決定裝備傳動系統(tǒng)的振動、噪聲、壽命等服役性能和核心競爭力。滾齒是一種高效、低成本制齒工藝，對應(yīng)的加工機床在齒輪生產(chǎn)制造中占據(jù)重要地位[2]。相較于中小規(guī)格機床，大規(guī)格滾齒機床的工件齒坯質(zhì)量大、慣性大，X、Z軸和工作臺分別采用大平面矩形鑲鋼導軌和多腔同步控制的靜壓導軌副以提高剛性。大規(guī)格滾齒機床的加工精度受機床多源誤差影響，主要包括幾何誤差、熱變形誤差、切削力致誤差、運動軸伺服誤差等，其中幾何誤差對機床加工精度的影響較大且易測量、重復性好、系統(tǒng)性高、長時間穩(wěn)定[3]，易于實施補償，所以幾何誤差是機床誤差補償?shù)闹匾獙ο?。然而，大?guī)格滾齒機床床身、立柱、工作臺尺寸大，幾何誤差對工件精度影響更為顯著且誤差數(shù)量眾多、耦合復雜，因此，建立大規(guī)格滾齒機床幾何誤差敏感性分析模型并識別出關(guān)鍵誤差對提高補償效率、改進機床設(shè)計具有指導意義。

幾何誤差模型是關(guān)鍵誤差識別的基礎(chǔ)，滾齒機床誤差建模主要是借鑒三軸或五軸機床的建模方法，主要有多體系統(tǒng)理論[4-5]、齊次坐標變換[6]、旋量理論[7-8]等方法，其中多體系統(tǒng)理論結(jié)合齊次坐標變換(HTM)方法應(yīng)用最為廣泛[9]。CONG等[10]采用HTM方法建立了五軸機床的空間誤差模型并預測了機床加工誤差。FU等[11]基于旋量理論和運動關(guān)系建立了三軸立式加工中心的幾何誤差模型并通過實驗驗證其精度。

現(xiàn)有的機床關(guān)鍵誤差識別方法主要是在機床幾何誤差模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合相關(guān)敏感性分析方法，對該模型進行全局敏感性分析，量化幾何誤差對加工誤差的影響權(quán)重，從而識別出關(guān)鍵幾何誤差。程強等[12]基于四軸精密加工中心幾何誤差模型，利用矩陣微分法計算了37項幾何誤差敏感度系數(shù)，并識別出關(guān)鍵性幾何誤差因素。范晉偉等[13]采用基于方差的全局敏感性分析方法分析了龍門加工中心37項幾何誤差敏感度系數(shù)，得到了影響加工誤差的關(guān)鍵因素。胡騰等[14]基于臥式加工中心空間誤差完備模型和實際參與度，采用矩陣微分法甄別出關(guān)鍵誤差。付國強等[15]基于誤差敏感矩陣建立了五軸機床幾何誤差貢獻值模型。楊赟等[16]基于齊次坐標建立了立式加工中心的誤差模型，對該模型的21項幾何誤差求偏導，得到了與位置相關(guān)的誤差敏感度系數(shù)矩陣，忽略次要誤差，簡化了誤差補償模型。CHENG等[17]基于指數(shù)積旋量理論建立了三軸立式加工中心幾何誤差模型，采用Morris法識別出關(guān)鍵幾何誤差。ZOU等[18]采用Sobol法對超精密金剛石車床各誤差項敏感度指標進行量化，研究了各誤差項對機床加工精度的影響關(guān)系。GUO等[19]考慮機床工作空間中幾何誤差矢量的多維輸出并進行全局定量敏感性分析，確定了幾何誤差影響因子。FAN等[20]基于多體系統(tǒng)理論建立了五軸機床誤差模型，將誤差參數(shù)輸出值表示為截斷傅里葉級數(shù)的幅值，將全局敏感度指數(shù)定義為幅值方差與函數(shù)方差比值，確定了關(guān)鍵幾何誤差。GUO等[21]采用乘法降維法建立了機床幾何誤差一維積分模型，實現(xiàn)了誤差敏感性分析。WANG等[22]基于微分運動關(guān)系建立了龍門導軌磨床的誤差模型，采用改進的一次二階矩法對機床加工精度進行了敏感性分析。以上關(guān)于機床幾何誤差敏感性分析的研究所采用的空間誤差模型由于銑刀、車刀等刀具結(jié)構(gòu)簡單而將其簡化成一點，忽略了刀具與工件間運動干涉的影響，即用刀具位姿誤差表征了機床空間加工誤差。同時機床運動軸的數(shù)量少，誤差間的耦合作用不明顯，可以忽略不計。

對于滾齒機，滾刀形狀結(jié)構(gòu)復雜，齒輪由滾刀多個切削刃斷續(xù)切削包絡(luò)而成，若用某個切削點誤差來表征滾齒機床加工誤差，并基于此誤差模型來計算誤差敏感度系數(shù)，其識別結(jié)果往往不夠準確。另外，滾齒機床運動鏈長、誤差傳遞關(guān)系復雜，幾何誤差間的耦合作用明顯。因此，本文在機床刀具位姿-幾何誤差模型的基礎(chǔ)上，考慮滾刀與齒輪工件的嚙合原理，基于雙參數(shù)包絡(luò)理論，分別求解了理想狀態(tài)下和誤差作用下加工齒面接觸跡點的坐標值，從而建立了機床齒面位姿-幾何誤差模型；然后，采用Sobol法對機床齒面位姿誤差模型進行全局敏感性分析，量化和分析了機床幾何誤差敏感度系數(shù)，并識別出關(guān)鍵幾何誤差項；最后，通過關(guān)鍵誤差的虛擬仿真修正并與矩陣微分法、Morris法以及基于刀具位姿誤差模型識別方法的對比分析，驗證了所提方法的準確性及優(yōu)勢。

1 大規(guī)格滾齒機床齒面位姿-幾何誤差建模

1.1 幾何誤差元素分析

大規(guī)格數(shù)控滾齒機包含3個直線軸(X軸、Y軸、Z軸)和3個旋轉(zhuǎn)軸(A軸、B軸、C軸)，其示意圖和拓撲結(jié)構(gòu)見圖1。機床通過控制運動軸間聯(lián)動使?jié)L刀與工件相對運動從而實現(xiàn)齒輪包絡(luò)成形。由于機床零部件制造和裝配時存在誤差，機床各軸運動偏離理想運動軌跡而產(chǎn)生幾何誤差。幾何誤差通常分為位置相關(guān)幾何誤差(PDGEs)和位置無關(guān)幾何誤差(PIGEs)。位置相關(guān)幾何誤差主要是由機床運動部件自身的制造誤差引起的，它在運動過程中是因?qū)嶋H運動位置變化而改變的六自由度誤差。以機床X軸為例，當機床沿該軸移動時會產(chǎn)生6項幾何誤差，分別是定位誤差、Y向直線度誤差、Z向直線度誤差、滾轉(zhuǎn)誤差、俯仰誤差和偏擺誤差，如圖2所示，其中δ、ε分別為位置誤差和姿態(tài)誤差。機床其他軸均類似，共有36項位置相關(guān)幾何誤差。位置無關(guān)幾何誤差主要是由機床裝配過程中的缺陷引起的，不受運動軸位置的影響，數(shù)控滾齒機床共有15項位置無關(guān)幾何誤差，其定義如圖3所示，其中S為垂直度誤差。大規(guī)格數(shù)控滾齒機共有51項幾何誤差，如表1所示。

0.床身 1.C軸 2.齒輪工件 3.X軸 4.Z軸 5.A軸 6.Y軸 7.B軸 8.滾刀圖1 大規(guī)格滾齒機及其拓撲結(jié)構(gòu)Fig.1 Large size gear hobbing machine and its topology

圖2 X軸位置相關(guān)幾何誤差Fig.2 The position-dependent geometric errors of X-axis

(a)垂直度誤差 (b)C軸

表1 大規(guī)格滾齒機床幾何誤差項及編號

1.2 刀具位姿-幾何誤差建模

iT2,8=(T1,2T0,1)-1T0,3T3,4T4,5T5,6T6,7T7,8

(1)

當存在幾何誤差時，兩相鄰體間的實際位姿變換矩陣可表示為

(2)

實際情況下，滾刀坐標系到工件坐標系的變換矩陣為

eT2,8=(eT1,2eT0,1)-1eT0,3eT3,4eT4,5eT5,6eT6,7eT7,8

(3)

設(shè)(a,b,c,1)T、(i,j,k,0)T分別為滾刀坐標系下滾刀中心位置和姿態(tài)的齊次坐標，若δt、εt分別為刀具的位置誤差和姿態(tài)誤差，則機床刀具位姿-幾何誤差模型可表示為

(4)

1.3 齒面位姿-幾何誤差建模

齒輪滾齒加工是滾刀切削刃基于展成原理形成的一系列空間軌跡曲面斷續(xù)切除圓柱齒坯材料，最終離散包絡(luò)出齒輪齒面。為了便于分析計算，本文滾刀采用漸開線滾刀，如圖4所示，其端面齒廓的參數(shù)表達式為

(5)

表2 相鄰體間的位姿變換

圖4 漸開線滾刀端面齒廓Fig.4 End-face profile of the involute hob

式中，φh為漸開線展角；μh為滾刀齒廓夾角半角；rbh為滾刀基圓半徑。

令滾刀端面齒廓繞滾刀軸線做螺旋運動，它在空間掃掠形成的軌跡曲面就是滾刀的漸開螺旋齒面，其參數(shù)表達式為

rh(φh,θh)=Mhprp

(6)

(7)

式中，p為滾刀螺旋參數(shù)；θh為回轉(zhuǎn)參數(shù)。

滾刀齒面單位法向量為

(8)

基于滾齒機床運動鏈并考慮機床幾何誤差位姿變換矩陣，可以推導出滾刀處于工件坐標系中分別在理想情況和實際情況下的空間成形曲面為

(9)

(10)

根據(jù)雙參數(shù)包絡(luò)理論[23]，滾刀齒面在切削運動中形成包絡(luò)面需要滿足以下方程組：

(11)

滾齒加工時，X軸移動距離x確定，根據(jù)滾齒運動關(guān)系[24]，可以得到滾刀轉(zhuǎn)角與工件齒輪轉(zhuǎn)角關(guān)系，將滾刀的廓形沿其軸向離散便可得到一組參數(shù)(φhi,θhi)，然后將已知量代入式中求得滾齒嚙合點坐標，獲得理想情況下齒輪齒面iRg和齒面法矢iNg。當引入機床幾何誤差時，獲得實際情況下的齒輪齒面eRg和齒面法矢eNg。因此，大規(guī)格滾齒機床齒面位姿-幾何誤差模型可表示為

(12)

齒面位姿誤差定義為E=(δg;εg)=(δX,δY,δZ,εX,εY,εZ)T。其中，δX、δY、δZ分別為齒面點集在工件坐標系沿X、Y、Z方向的位置誤差分量，描述齒面位置偏移大??；εX、εY、εZ分別為齒面點集的單位法矢在工件坐標系沿X、Y、Z方向的誤差分量，描述齒面滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏擺誤差大小。

2 機床幾何誤差敏感性分析

2.1 Sobol法

Sobol法主要思想是：將機床誤差模型分解成遞增階數(shù)項之和，各輸入量函數(shù)值方差與誤差模型方差的比值作為各輸入量的敏感度系數(shù)，從而得到各誤差項的一階和總體敏感度系數(shù)。機床51項幾何誤差為輸入量，6項齒面位姿誤差為輸出量，機床誤差模型可表示為

E=f(G)

(13)

G=(x1,x2,…,xn)T

其中，xn為幾何誤差項，取n=51。

由于模型有多個輸出量且為標量，故可以將多輸出模型分解為多個獨立的單輸出模型進行分析。以齒面X方向的位置誤差為例，δX與機床幾何誤差的映射模型為

δX=f(G)

(14)

假設(shè)輸入變量的空間域為一個n維的單元體I(n)=(xi|0≤xi≤1；i=1,2,…,n)，根據(jù)Sobol法的基本原理，式(14)的分解模型為

(15)

其中，f0為基于輸入?yún)?shù)得到f的期望值，fi(xi)表示關(guān)于xi的函數(shù)，fij(xi,xj)表示關(guān)于xi和xj的函數(shù)，其他高階子項以此類推。

當各變量相互獨立且正交時，模型f(x)的總方差和各階子項的偏方差可分別表示為

(16)

(17)

對式(15)兩邊求方差后得到：

(18)

Si=Vi/VSij=Vij/VS12…n=V12…n/V

其中，Si為輸入量xi的一階敏感度系數(shù)，表示誤差項xi對齒面位姿誤差的影響權(quán)重，Si值越大說明影響程度越大；Sij為輸入量xi和xj的二階敏感度系數(shù)，表示誤差項xi和xj耦合作用對齒面位姿誤差的影響權(quán)重，Sij值越大說明耦合作用越強；其他高階項以此類推。

由于誤差項之間互相耦合，為衡量誤差項xi自身及與其他輸入誤差項的耦合作用對輸出方差的影響權(quán)重，引入總體敏感度系數(shù)STi，其表達式為

(19)

式中，x～i為除去xi后的所有誤差項；Exi、Vxi分別為計算xi得到的期望和方差；Ex～i、Vx～i分別為計算x～i得到的期望和方差。

2.2 Quasi-Monte Carlo估算

為了獲得上述敏感度系數(shù)，在方差計算中需要對輸入?yún)?shù)進行采樣來估計多維積分。常規(guī)蒙特卡羅采樣是采用計算機內(nèi)部隨機函數(shù)生成的偽隨機序列，不可避免地出現(xiàn)周期性重復。Sobol法采用偏差較小、均勻分布的擬隨機序列來代替?zhèn)坞S機序列，從而獲得更好的收斂性，提高了計算速度。采用兩種方法在0.02×0.02范圍內(nèi)隨機生成5000個點，其分布情況如圖5所示。具體計算過程如下：

(1)根據(jù)Sobol法對誤差項進行準蒙特卡羅采樣，生成一個m×2n的隨機樣本矩陣D，其中m為誤差項的采樣個數(shù)，n為誤差項的個數(shù)。

(a)偽隨機序列

(20)

3 機床幾何誤差敏感性分析結(jié)果

以Y31600CNC6型大規(guī)格滾齒機床為例進行幾何誤差敏感性分析。由于幾何誤差的取值范圍對敏感性分析結(jié)果的影響較大，因此必須提前確定其概率分布。位置相關(guān)幾何誤差與機床運動軸位置密切相關(guān)，可通過測量工作空間中離散點的誤差值來估計。使用Renishaw XL-80激光干涉儀和Renishaw QC10球桿儀對機床運動軸誤差進行多次測量，測得位置誤差和角度誤差分別大致分布在[0,40]μm和[0,0.000 53]rad范圍內(nèi)。為了更準確地量化機床幾何誤差對齒面位姿誤差的影響，需要修正原Sobol序列，即在原Sobol序列與實測幾何誤差之間作代數(shù)運算。采樣數(shù)m影響分析計算效率和精度，經(jīng)過多次重復試驗，取m=100。當加工基本參數(shù)如表3所示時，機床X、Y、A軸的位置分別為616.111 mm、125 mm、9.97°，在Z軸軸向進給方向810～890 mm范圍內(nèi)等距離取5個位置，分別建立機床齒面位姿-幾何誤差模型并采用Sobol法對該模型進行敏感性分析。通過求取5個位置齒面接觸跡點集的平均誤差敏感度系數(shù)來代替齒輪整個齒面的誤差敏感度系數(shù)。用橫坐標代表幾何誤差序號、縱坐標代表敏感度系數(shù)，機床幾何誤差的敏感性分析結(jié)果如圖6～圖11所示。

表3 滾刀和齒輪參數(shù)

圖6 齒面位姿誤差分量δX敏感度系數(shù)Fig.6 The sensitivity coefficient of tooth surfaceposture errors in the δX-direction

圖7 齒面位姿誤差分量δY敏感度系數(shù)Fig.7 The sensitivity coefficient of tooth surfaceposture errors in the δY-direction

圖8 齒面位姿誤差分量δZ敏感度系數(shù)Fig.8 The sensitivity coefficient of tooth surfaceposture errors in the δZ-direction

圖9 齒面位姿誤差分量εX敏感度系數(shù)Fig.9 The sensitivity coefficient of tooth surfaceposture errors in the εX-direction

圖10 齒面位姿誤差分量εY敏感度系數(shù)Fig.10 The sensitivity coefficient of tooth surfaceposture errors in the εY-direction

圖11 齒面位姿誤差分量εZ敏感度系數(shù)Fig.11 The sensitivity coefficient of tooth surfaceposture errors in the εZ-direction

根據(jù)圖6～圖11，比較各誤差項的一階敏感度系數(shù)Si和總體敏感度系數(shù)STi，可識別出對該齒面分量影響較大的關(guān)鍵誤差。當幾何誤差項的一階敏感度系數(shù)和總體敏感度系數(shù)相差不大時，說明該誤差項與其他誤差的耦合作用較弱。幾何誤差項的一階敏感度系數(shù)和總體敏感度系數(shù)的大小關(guān)系并不是確定的，當誤差項的總體敏感度系數(shù)大于一階敏感度系數(shù)時，誤差項與其他誤差的耦合作用增強了該誤差項對齒面位姿誤差的影響程度，當總體敏感度系數(shù)小于一階敏感度系數(shù)時，誤差項與其他誤差的耦合作用減弱了該誤差項對齒面位姿誤差的影響程度，但誤差項間的耦合作用機制并不明確，說明誤差項間的耦合作用復雜。同時可通過計算運動軸多項誤差的敏感度系數(shù)之和來評估敏感部件。機床51項幾何誤差的敏感度系數(shù)之和為1，若各項誤差敏感度系數(shù)相等，則各系數(shù)約為0.02，本文以其1.5倍即0.03為閾值來評估關(guān)鍵誤差并且將一階敏感度系數(shù)和總體敏感度系數(shù)大于0.03的誤差項均視為關(guān)鍵誤差。以齒面位姿誤差分量δX為例，對比分析各誤差項敏感度系數(shù)，識別出的關(guān)鍵誤差項為δX(X)、εY(X)、δX(Y)、δX(Z)、SZX、δX(A)、δX(C)、εY(C)、δCX、εCY、δX(B)、δBX，強耦合誤差為εY(X)、εCY，敏感部件為C軸、X軸。由此可知，若減小該齒面誤差，上述關(guān)鍵誤差應(yīng)重點補償與修正。同時，也可合理提高敏感部件C軸、X軸的制造精度。同理，其他齒面位姿誤差分量識別結(jié)果如表4所示。

表4 各齒面位姿誤差分量的關(guān)鍵誤差項

由敏感性分析結(jié)果可知，C軸的幾何誤差對六個齒面位姿誤差分量都有顯著影響，而Y軸和A軸的幾何誤差對齒面姿態(tài)誤差影響較大。角度誤差對齒面位姿誤差的影響遠大于直線度誤差和定位誤差的影響。由表4可知，機床的敏感部件為C、X、Y、A軸，這些運動軸是精度設(shè)計和誤差補償?shù)闹攸c對象。

4 驗證與討論

4.1 誤差識別結(jié)果仿真驗證

為驗證機床誤差敏感性分析識別結(jié)果的準確性，對關(guān)鍵幾何誤差項進行虛擬仿真修正，即針對某一齒面位姿誤差分量，將影響它的關(guān)鍵幾何誤差項修正為0，其余誤差項仍為Sobol序列隨機采樣的數(shù)值，代入齒面位姿-幾何誤差模型中得到修正后的齒面位姿誤差，計算關(guān)鍵誤差修正前后各齒面位姿誤差分量減小百分比并將其定義為誤差消減率。其中，主誤差消減率為被修正齒面位姿誤差分量的誤差消減率，其數(shù)值越大，表明關(guān)鍵誤差影響權(quán)重越大，識別效果越好。經(jīng)過上述修正后，所得到的誤差消減率計算結(jié)果如表5所示。

表5 誤差消減率

由表5可知，各齒面位姿誤差分量的主誤差消減率均在60%以上，最大達到98.39%,說明關(guān)鍵幾何誤差對齒面精度的影響顯著，遠超其他幾何誤差的影響，證明識別結(jié)果準確可靠。但對齒面位姿誤差分量δZ的關(guān)鍵誤差項εY(C)、εCY修正后，發(fā)現(xiàn)它們同樣是齒面位姿誤差分量δX的關(guān)鍵誤差，而δX卻反向增大，說明關(guān)鍵誤差修正后可能與其他誤差耦合導致其他齒面位姿誤差分量增大，這也表現(xiàn)出機床幾何誤差耦合作用的復雜性。因此，在后續(xù)的誤差補償中，應(yīng)綜合考慮幾何誤差之間的耦合作用，從而提高機床加工精度。

4.2 關(guān)鍵幾何誤差項識別方法對比

為證明Sobol方法識別效果的優(yōu)越性，以齒面位姿誤差分量δX的一階敏感度系數(shù)為參照，與基于矩陣微分法和Morris法的分析結(jié)果對比，結(jié)果如圖12所示。矩陣微分法僅識別出其中4項關(guān)鍵誤差，效果較差且無法評估誤差之間的耦合強度。Morris法與Sobol法的關(guān)鍵誤差識別結(jié)果基本一致，但是Morris法只能用作定性分析而Sobol法可以定量分析關(guān)鍵誤差的敏感效應(yīng)，因此Sobol法更加適用于機床幾何誤差的敏感性分析。

圖12 不同方法齒面位姿誤差分量δX敏感性分析結(jié)果Fig.12 Comparison of sensitivity analysis results oftooth surface posture errors in the δX-dirctionby different methods

現(xiàn)有機床誤差敏感性分析基本是針對三軸機床以刀具位姿-幾何誤差模型為基礎(chǔ)識別出關(guān)鍵誤差。滾齒機床刀具位姿-幾何誤差空間模型通過機床幾何誤差影響滾刀軸線的位置和方向,進而改變切削點空間位姿，但忽略了滾刀復雜幾何形狀及其與工件的包絡(luò)成形過程，識別結(jié)果往往不夠準確。為進一步研究基于齒面位姿-幾何誤差模型敏感性分析結(jié)果的優(yōu)勢，以一階敏感度系數(shù)Si為對比參數(shù)分析比較基于齒面位姿-幾何誤差模型識別結(jié)果與基于刀具位姿-幾何誤差模型識別結(jié)果，結(jié)果如圖13所示。

(a)齒面位姿誤差分量δX分析結(jié)果比較

由圖13可知，針對誤差分量δX，采用兩種機床誤差模型識別出的關(guān)鍵幾何誤差項基本相同，僅幅值有些差別，證明了齒面位姿-幾何誤差模型識別結(jié)果的可靠性。針對誤差分量δY和δZ，基于齒面位姿-幾何誤差模型的識別方法比基于刀具位姿-幾何誤差模型的方法能識別出更多關(guān)鍵幾何誤差項，對誤差分量δY的兩種模型識別結(jié)果進行關(guān)鍵誤差修正仿真，前者主誤差消減率為68.63%，后者主誤差消減率為36.71%，說明基于齒面位姿-幾何誤差模型的識別結(jié)果更加精準可靠。

5 結(jié)論

(1)基于多體動力學和滾齒雙參數(shù)包絡(luò)原理，建立了大規(guī)格滾齒機床刀具位姿-幾何誤差模型和齒面位姿-幾何誤差模型以表明機床幾何誤差與齒面位姿誤差之間的映射關(guān)系。

(2)提出了基于機床齒面位姿-幾何誤差模型和Sobol全局敏感性分析的機床關(guān)鍵誤差識別方法，計算出機床各幾何誤差項的敏感度系數(shù)，從而識別出關(guān)鍵幾何誤差項和機床敏感部件，為后續(xù)誤差補償與精度設(shè)計提供了理論支持。

(3)通過關(guān)鍵誤差修正仿真實驗和對比分析實驗，驗證了識別結(jié)果的準確性和優(yōu)越性。與Morris法和矩陣微分法相比，Sobol法能更準確量化幾何誤差的敏感系數(shù)；與刀具位姿-幾何誤差模型相比，基于齒面位姿-幾何誤差模型的識別方法對齒面位姿誤差分量δY和δZ的識別效果更好。