■湖北省松滋市第一中學(xué) 劉萬強(qiáng) 魏朝陽

數(shù)據(jù)處理是物理實(shí)驗(yàn)中的重要組成部分,利用線性圖像處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是重要的、常見的手段之一,它能夠形象準(zhǔn)確直觀地反映出實(shí)驗(yàn)過程的變化趨勢(shì)和特征等動(dòng)態(tài)特性,具有尺規(guī)作圖方便直觀、信息提取便捷準(zhǔn)確、內(nèi)涵豐富外延深刻等優(yōu)勢(shì)。下面就線性函數(shù)的意義、線性函數(shù)的轉(zhuǎn)化和實(shí)驗(yàn)案例進(jìn)行分析討論,供大家參考。

一、線性函數(shù)的物理意義

線性指因變量與自變量之間成一次函數(shù)的關(guān)系,即y=kx+b,其圖像為一條傾斜的直線。研究線性圖像的斜率、截距、面積等,具有特殊的意義。如圖1所示,圖像的斜率表示縱軸因變量y隨橫軸自變量x的變化快慢,主要用來討論物理量的變化率。截距b對(duì)應(yīng)特殊的工作狀態(tài),需要借助函數(shù)關(guān)系的表達(dá)式分析其物理意義,常用于尋找線性元件的工作點(diǎn)。面積表示縱軸物理量對(duì)橫軸物理量的累積。

圖1

二、復(fù)雜函數(shù)的線性轉(zhuǎn)化

若按物理量的關(guān)系作出的圖像是曲線,導(dǎo)致利用圖像獲取有關(guān)參數(shù)比較困難,則需要將該圖像線性化,即將復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系用直線表示出來。常見的線性轉(zhuǎn)化有:

1.若y=a·xb,其中a、b為常數(shù),則lgy=blgx+lga,lgy為lgx的線性函數(shù),斜率為b,截距為lga。

2.若xy=c,其中c為常數(shù),則為的線性函數(shù),斜率為c,截距為0。

3.若y=ax2+bx+c,其中a、b、c為常數(shù),則為x的線性函數(shù),斜率為a,截距為b。

在高中物理實(shí)驗(yàn)中,若進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)兩個(gè)物理變量的函數(shù)關(guān)系不是一次函數(shù),則需要進(jìn)行線性轉(zhuǎn)化。教材中常見的線性轉(zhuǎn)化如表1所示。

三、線性轉(zhuǎn)化的案例分析

1.直接建立線性關(guān)系。通過實(shí)驗(yàn)原理的分析,轉(zhuǎn)換實(shí)驗(yàn)中的物理量,將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關(guān)系直接呈現(xiàn)為線性關(guān)系的情況比較常見。比如“探究彈簧彈力與伸長(zhǎng)量的關(guān)系”中的m-x圖像,可以聯(lián)立f=kx和f=mg,變形得

例1某實(shí)驗(yàn)小組要測(cè)定一節(jié)蓄電池的電動(dòng)勢(shì)及內(nèi)阻,要求測(cè)量結(jié)果盡量準(zhǔn)確,實(shí)驗(yàn)器材如下:電流表A1(量程為0～200 μA,內(nèi)阻為800 Ω),電流表A2(量程為0～300 mA,內(nèi)阻約為0.3 Ω),定值電阻R1(阻值為4 Ω),定值電阻R2(阻值為9 200 Ω),滑動(dòng)變阻器R(最大阻值為50 Ω),待測(cè)蓄電池(電動(dòng)勢(shì)約為2 V),開關(guān)S,導(dǎo)線若干。

(1)實(shí)驗(yàn)小組連接的實(shí)物電路如圖2所示,圖中虛線框內(nèi)的電表應(yīng)選_____(選填“A1”或“A2”),圖中虛線框內(nèi)的定值電阻應(yīng)選_____(選填“R1”或“R2”)。

圖2

(2)電流表A1的示數(shù)用I1表示,電流表A2的示數(shù)用I2表示,該小組多次改變滑動(dòng)變阻器滑片位置,得到了多組I1、I2數(shù)據(jù),并作出I1-(I1+I2)圖像,如圖3所示。根據(jù)圖像可知,待測(cè)蓄電池的電動(dòng)勢(shì)為____V,內(nèi)阻為____Ω。(結(jié)果均保留2位有效數(shù)字)

圖3

(3)從實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)原理來看,該蓄電池電動(dòng)勢(shì)的測(cè)量值_____(選填“大于”“小于”或“等于”)真實(shí)值,內(nèi)阻的測(cè)量值____(選填“大于”“小于”或“等于”)真實(shí)值。

解析：(1)圖中虛線框內(nèi)的電表應(yīng)選A2,因?yàn)樵撾姳碛脕頊y(cè)量通過滑動(dòng)變阻器的電流,需要選擇量程較大的電流表。蓄電池的電動(dòng)勢(shì)約為2 V,電流表A1串聯(lián)一定值電阻改裝為電壓表使用的量程應(yīng)為0～2 V,因此串聯(lián)電阻,即虛線框內(nèi)的定值電阻應(yīng)選R2。

(2)根據(jù)實(shí)驗(yàn)電路知I1(R2+RA1)=E-(I1+I2)(r+R1),整理得,結(jié)合I1-(I1+I2)圖像得解得E=1.9 V,r=1.0 Ω。

(3)因?yàn)閷?shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中已考慮到電表內(nèi)阻,所以電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的測(cè)量沒有誤差。

答案：(1)A2R2(2)1.9 1.0(3)等于 等于

點(diǎn)評(píng):本題根據(jù)閉合電路歐姆定律I1(R2+RA1)=E-(I1+I2)(r+R1),推導(dǎo)出直接呈現(xiàn)出I1為(I1+I2)的線性關(guān)系,利用截距和斜率,順利解得電動(dòng)勢(shì)E和內(nèi)阻r。

2.間接建立線性關(guān)系。若物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關(guān)系呈現(xiàn)的是非線性關(guān)系,則往往需要通過倒數(shù)、平方、對(duì)數(shù)等轉(zhuǎn)換,建立線性關(guān)系。比如“測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”的實(shí)驗(yàn)中要想得到線性的圖像,則需將閉合電路歐姆定律進(jìn)行“倒數(shù)轉(zhuǎn)化”,變形為;再如“利用單擺測(cè)定重力加速度”實(shí)驗(yàn)中要想得到線性的T2-l圖像,則需將單擺周期公式進(jìn)行“平方轉(zhuǎn)化”,變形為

例2某同學(xué)利用一根壓縮的彈簧彈開帶有遮光片的滑塊測(cè)量滑塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)。實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示,將木板水平固定在桌面上,將彈簧的左端固定在擋板上,彈簧的右端與滑塊剛好接觸(但不拴接),將光電門固定在木板上靠近滑塊處。實(shí)驗(yàn)步驟如下:

圖4

(1)用游標(biāo)卡尺測(cè)量遮光片的寬度d,其示數(shù)如圖5所示,則d=____cm。

圖5

(2)將光電門連接計(jì)時(shí)器,讓滑塊壓縮彈簧至P點(diǎn)(圖4中未畫出),釋放后滑塊被彈開并沿木板向右滑動(dòng),計(jì)時(shí)器記錄遮光片通過光電門的時(shí)間Δt,并測(cè)量滑塊停止時(shí)的位置與光電門之間的距離x,則可用____表示滑塊經(jīng)過光電門時(shí)速度的大小。

(3)改變P點(diǎn)的位置,多次重復(fù)步驟(2)。

圖6

解析：(1)游標(biāo)卡尺的示數(shù)d=1 cm+2×0.1 mm=1.02 cm。

(4)滑塊從光電門運(yùn)動(dòng)到停止,根據(jù)牛頓第二定律得μmg=ma,根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度和位移的關(guān)系得v2=2ax,整理得,結(jié)合圖像得斜率解得

答案：(1)1.02 (2)(4)