馬英杰 陳櫝峣 趙 耿 曾 萍 郭 超

(北京電子科技學(xué)院 北京 100070)

0 引 言

圖像因其自身的一些固有特性導(dǎo)致部分傳統(tǒng)的加密算法不再適用?；煦鐖D像加密可行性好，具有廣闊的應(yīng)用前景。文獻(xiàn)[1]使用分?jǐn)?shù)階Chen超混沌在頻域上置亂，再設(shè)計(jì)超混沌S盒進(jìn)行代換，最后用雙向異或循環(huán)左移擴(kuò)散，從而達(dá)到了結(jié)合頻域與空域，置亂、代換、擴(kuò)散相統(tǒng)一的加密算法。文獻(xiàn)[2]提出了基于混沌系統(tǒng)以及Arnold變換的圖像加密算法，密鑰采用SHA- 256算法。文獻(xiàn)[3]提出基于分?jǐn)?shù)階Rossler混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，密鑰選取基于混沌系統(tǒng)的階數(shù)以及參數(shù)。文獻(xiàn)[4]提出基于分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，置亂后對圖像進(jìn)行擴(kuò)散，采取基于整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)相結(jié)合的擴(kuò)散方法。文獻(xiàn)[5]提出基于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)與DNA編碼相結(jié)合的彩色圖像加密算法，利用分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)和DNA序列加法運(yùn)算法則，對置亂后的DNA序列矩陣進(jìn)行加密處理。文獻(xiàn)[6]提出了一種基于分?jǐn)?shù)階Chen超混沌系統(tǒng)和DNA的壓縮感知圖像加密算法，利用四維分?jǐn)?shù)階Chen超混沌系統(tǒng)生成測量矩陣，通過全局置亂降低相鄰比特之間的相關(guān)性，對加擾后的二進(jìn)制序列和超混沌序列進(jìn)行DNA操作，提高了算法的效率。文獻(xiàn)[7]提出基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的雙混沌圖像加密算法，混沌系統(tǒng)結(jié)合傅里葉變換進(jìn)行明文隱藏，在空域和頻域完成置亂。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于三維Arnold-cat映射和Fisher-Yates洗牌算法的圖像加密方案，將一幅平面圖像分割成大小相等的多個切片，然后用三維混沌映射對圖像進(jìn)行三維表示，利用分?jǐn)?shù)階非線性微分方程組實(shí)現(xiàn)了混洗圖像像素強(qiáng)度值的擴(kuò)散。文獻(xiàn)[9]提出了一個量子三維Baker映射來擾亂圖像的三維量子表示，在置換圖像上實(shí)現(xiàn)廣義灰度碼，然后使用分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)生成的偽隨機(jī)序列進(jìn)行選擇位內(nèi)異或。文獻(xiàn)[10]針對Zhao提出的圖像加密算法進(jìn)行分析，僅對一幅圖像進(jìn)行選擇明文攻擊，就可以很容易地恢復(fù)出原始圖像和密鑰流，數(shù)學(xué)分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都證實(shí)了這種攻擊的可行性。

本文提出基于變形分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，密鑰生成采用明文圖像輸入以及SHA- 256算法，基于混沌序列的初始值和Arnold置亂的參數(shù)值的確立。加密階段分為頻域上的像素位置置亂和空域上的像素值替代。置亂過程使用非等長的帶參數(shù)的Arnold置亂，一方面解決了圖像長寬比例受限的問題，另一方面也避免了Arnold系統(tǒng)周期性帶來的影響。在圖像頻域上對低頻和高頻分量分別置亂增強(qiáng)了圖像的加密效果?；诨煦缧蛄械臄U(kuò)散方法采用異或運(yùn)算，置亂圖像的像素值以及預(yù)處理過的混沌序列相混合從而生成最終的加密圖像。

1 分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)

1.1 傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)

分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)是目前常用的一種混沌系統(tǒng)，其系統(tǒng)方程如式(1)所示。

(1)

式中：D表示分?jǐn)?shù)階微分；a、b、c為系統(tǒng)的控制參數(shù)；q1、q2、q3為分?jǐn)?shù)階的階次。當(dāng)a=10，b=45，c=8/3時，系統(tǒng)達(dá)到混沌態(tài)。

1.2 變形分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)

本文提出一種基于符號函數(shù)的變形分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)，其系統(tǒng)方程如式(2)所示。

(2)

式中：a、b、c、d是系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)a=15、b=0.5、c=27、d=3時，系統(tǒng)達(dá)到混沌態(tài)。初始值為[0.1,0.1,0.1]，系統(tǒng)的相圖如圖1所示。其中(a)-(d)分別為x-y、x-z、y-z、x-y-z方向上的相圖。

(a) (b)

(c) (d)圖1 變形分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)相圖

2 Arnold置換

2.1 傳統(tǒng)Arnold變換

經(jīng)典的二維Arnold映射如式(3)所示。

(3)

通常經(jīng)過一次Arnold變換的圖像其安全性還不夠高，因此一般采用多次置亂方法。然而傳統(tǒng)Arnold映射具有周期性特點(diǎn)，本文選擇的是有參數(shù)的Arnold映射，從而克服其周期性問題，如式(4)所示。

(4)

2.2 非等長Arnold變換

非等長Arnold變換可以針對任意尺寸的圖像進(jìn)行處理，如式(5)所示。

(5)

為了克服Arnold映射的周期性問題，對參數(shù)a、b、c、d進(jìn)行一定條件的約束：

a=1,b>0,c=kN(gcd(M,N))-1,d=1+bc

式中：b、k均可設(shè)置為密鑰，通過計(jì)算獲得c、d的值。則以上公式等價(jià)于：

(6)

其逆變換公式為：

(7)

3 算法設(shè)計(jì)

3.1 密鑰生成器

本文的密鑰生成采用明文圖像作為輸入，通過SHA- 256算法產(chǎn)生相應(yīng)的摘要信息。對生成的初始密鑰進(jìn)行分組處理，產(chǎn)生有利于后續(xù)不同階段加密的密鑰。因此將256位的密鑰流進(jìn)行分組，每組8位，產(chǎn)生32個分段密鑰，如式(8)所示。

K=k1,k2，…，k32

(8)

對密鑰流K進(jìn)行如下處理，通過式(9)產(chǎn)生置亂階段Arnold映射的參數(shù)值b1、k1、b2、k2，通過式(10)產(chǎn)生擴(kuò)散階段的混沌系統(tǒng)的初始值x0、y0、z0用于混沌序列的產(chǎn)生，通過式(11)對密鑰流的32位信息求和，用于后續(xù)混沌序列組合的選擇。

b1={(k1⊕k2)+(k2⊕k3)+(k3⊕k4)+(k4⊕k5)}mod 10

b2={(k6⊕k7)+(k7⊕k8)+(k8⊕k9)+(k9⊕k10)}mod 10

k1={(k11⊕k12)+(k12⊕k13)+(k13⊕k14)+(k14⊕k15)}mod 10

k2={(k16⊕k17)+(k17⊕k18)+(k18⊕k19)+(k19⊕k20)}mod 10

(9)

(10)

s=sum(k)

(11)

3.2 加密算法

本文算法首先將明文圖像作為輸入，通過密鑰生成器產(chǎn)生了后續(xù)置亂和擴(kuò)散階段的密鑰。然后將明文圖像進(jìn)行兩次離散小波變換，使用不同參數(shù)的非等長Arnold映射在頻域上分別置亂各分量，像素位置打亂后再進(jìn)行小波的逆變換，在圖像的空域上進(jìn)行像素值的替換，對圖像進(jìn)一步擴(kuò)散，從而得到最終的密文圖像，圖2展示了加密算法的功能流程。

圖2 加密算法功能流程

加密算法的步驟如下：

(1) 將M×N的彩色圖像進(jìn)行灰度處理得到原始圖像I。

(2) 將圖像I作為密鑰生成器的輸入，基于SHA- 256運(yùn)算生成64位的摘要值，轉(zhuǎn)化為256位的二進(jìn)制數(shù)，每8位分成一組，得到32位的密鑰流K=k1,k2,…,k32。根據(jù)式(9)進(jìn)行運(yùn)算，產(chǎn)生置亂階段的密鑰，根據(jù)式(10)和式(11)計(jì)算產(chǎn)生擴(kuò)散階段的密鑰。

(3) 將原圖像I進(jìn)行兩次DWT變換，得到低頻分量、水平分量、垂直分量、對角分量，如圖3所示。

(a) 低頻分量 (b) 水平分量

(c) 垂直分量 (d) 對角分量圖3 小波變換后得到的四種分量

(4) 將x0、y0、z0作為輸入，設(shè)置好混沌系統(tǒng)的參數(shù)值，取混沌系統(tǒng)的階次為0.995進(jìn)行迭代，舍棄前1 000項(xiàng)使產(chǎn)生的加密序列x、y、z達(dá)到混沌，最終得到三個長度為M×N/3的加密序列，通過式(12)對x、y、z進(jìn)行預(yù)處理，得到用于擴(kuò)散階段的三個混沌序列t1、t2、t3：

t1=mod(1 000×x,256)

t2=mod(1 000×y,256)

t3=mod(1 000×z,256)

(12)

變形分?jǐn)?shù)階混沌序列的生成及預(yù)處理的核心編程如下：

%變形分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)生成混沌序列

parameters=[15,0.5,27,3];

orders=[0.995,0.995,0.995];

Y0=[x0,y0,z0];

[T,Y]=xFOLorenz(parameters,orders,0.005*(ceil(M*N/3)+1 000),Y0);

x=Y(:,1);y=Y(:,2);z=Y(:,3);

%混沌序列預(yù)處理

tY=Y(1 001:ceil(M*N/3)+1 000,1:3);

t1=tY(:,1);t2=tY(:,2);t3=tY(:,3);

t1=mod(1 000*t1,256);

t1=uint8(t1);

t2=mod(1 000*t2,256);

t2=uint8(t2);

t3=mod(1 000*t3,256);

t3=uint8(t3);

(5) 使用b1、k1、b2、k2作為非等長Arnold的參數(shù)值對圖像像素位置置亂。使用b1、k1分別對第一層分解所得三個高頻分量進(jìn)行非等長Arnold置亂，使用b2、k2分別對第二層分解所得四個分量(包含低頻分量)進(jìn)行置亂。設(shè)置置亂迭代次數(shù)為10。通過式(13)計(jì)算得參數(shù)c：

c=kN(gcd(M,N))-1

(13)

(6) 置亂后的各分量均做DWT逆變換，產(chǎn)生置亂圖像A1。

(7) 擴(kuò)散階段混沌序列的選擇。不重復(fù)組合t1、t2、t3，存在6種情況：[t1,t2,t3]、[t1,t3,t2]、[t2,t1,t3]、[t2,t3,t1]、[t3,t1,t2]、[t3,t2,t1]，將它們從0-5進(jìn)行有序編號，使用步驟1中獲得的s進(jìn)行如下運(yùn)算，得到的值，將tk的值作為目標(biāo)編號，選取對應(yīng)組合的混沌序列。

tk=mod(s,6)

(14)

像素值替代的核心編程如下：

[m,n]=size(A1);

A1=uint8(round(A1));

tk=mod(s,6);

switch tk

case 0

t=[t1,t2,t3];

case 1

t=[t2,t3,t1];

case 2

t=[t3,t1,t2];

case 3

t=[t1,t3,t2];

case 4

t=[t3,t2,t1];

case 5

t=[t2,t1,t3];

end

(8) 使用以上產(chǎn)生的混沌序列，與置亂圖像A1進(jìn)行按位異或運(yùn)算，得到最終的加密圖像A。

3.3 解密算法

解密過程實(shí)質(zhì)上是加密的逆過程。具體步驟如下：

(1) 利用混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列，進(jìn)行正確的排列組合形成解密序列，將解密序列與加密圖像A進(jìn)行按位異或運(yùn)算，得到圖像B1。

(2) 將圖像B1進(jìn)行兩次DWT變換，產(chǎn)生圖像的低頻分量、水平分量、垂直分量和對角分量。

(3) 輸入非等長Arnold映射的參數(shù)值b1、k1、b2、k2，分別對四種分量進(jìn)行非等長Arnold逆運(yùn)算，逆變換公式如式(7)所示，設(shè)置迭代次數(shù)為10。

(4) 將置亂恢復(fù)后的各分量進(jìn)行DWT逆變換，得到最終解密圖像B。

4 性能分析

4.1 實(shí)驗(yàn)仿真

在MATLAB R2014b平臺編程實(shí)現(xiàn)提出算法的加密和解密，并進(jìn)行了性能仿真。實(shí)驗(yàn)采用大小為320×240的灰度圖像“test”作為原始圖像，如圖4(a)所示。加密時，改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)的階數(shù)均設(shè)置為0.995，參數(shù)a=15、b=0.5、c=27、d=3，初始值為[0.1,0.1,0.1]，Arnold映射的參數(shù)b1=0、b2=0、k1=0、k2=0，置亂迭代次數(shù)為10，圖4(b)展示的是加密圖像?？梢钥吹剑紙D像與加密圖像之間看不出任何聯(lián)系，具有較好的視覺效果。

(a) 原圖 (b) 加密圖圖4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.2 密鑰空間分析

密鑰空間由提出的圖像加密方案中所有可能的密碼密鑰組成。理論證明，密鑰空間至少應(yīng)大于2100才具有較高的安全級別[1]。對于本文提出的加密算法，密鑰由明文圖像的256位二進(jìn)制摘要值產(chǎn)生，因此能提供的密鑰空間為2256，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于應(yīng)該滿足的最小值。因此，本文算法具有能夠有效抵御暴力攻擊的能力。

4.3 直方圖分析

直方圖通過繪制每個灰度級別的像素?cái)?shù)來顯示圖像中不同像素值的分布。對明文圖像使用本文算法進(jìn)行加密，加密前和加密后圖像的直方圖如圖5所示。

圖5 明文圖像和密文圖像的直方圖

4.4 相關(guān)性分析

為了比較明文圖像和密文圖像中相鄰像素的相關(guān)性，分別抽取了5 000對像素，計(jì)算所選對的水平、垂直和對角方向上的相鄰像素的相關(guān)系數(shù)，如表1所示。

表1 明文圖像和密文圖像相鄰像素相關(guān)性比較

可以看出，使用改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)加密所得出的相關(guān)性系數(shù)比使用傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)的更接近于0。

4.5 差分攻擊分析

對于有效的加密方案，明文圖像的細(xì)微差異都將導(dǎo)致密文圖像的巨大變化。在差分攻擊階段，采用NPCR和UACI兩個指標(biāo)用于分析抵御選擇明文攻擊能力。NPCR和UACI的計(jì)算公式如下：

(15)

(16)

(17)

式中：W、H是圖像的寬度和高度；C1、C2為兩幅待比較的密文圖像。理想狀態(tài)下，RNPC=99.609%，IUAC=33.463%。首先使用本文的加密方案對原始明文圖像進(jìn)行加密，并獲得一個標(biāo)準(zhǔn)的密文圖像C1。然后將隨機(jī)抽取明文圖像的一個像素值加1處理得到一個新的明文圖像，不改變加密系統(tǒng)的任何參數(shù)值進(jìn)行加密得到新的密文圖像C2。最后將新的密文圖像C2與原有的密文圖像C1進(jìn)行比較，計(jì)算它們的NPCR和UACI值。重復(fù)以上操作四次，抽取四對像素值計(jì)算結(jié)果，結(jié)果如表2所示，在表3中將本文的仿真結(jié)果與其他幾篇文獻(xiàn)進(jìn)行了比較。

表2 加密圖像間不同像素點(diǎn)的NPCR和UACI(%)

表3 不同算法的NPCR和UACI比較(%)

5 結(jié) 語

本文提出一種基于變形分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，設(shè)計(jì)一個密鑰生成器，采用Hash算法將密鑰與明文圖像的摘要值緊密地關(guān)聯(lián)起來，優(yōu)化了算法抵御選擇明文攻擊的能力。在置亂階段，對明文進(jìn)行離散小波變換，將高頻與低頻分量的圖像使用不同的參數(shù)分別置亂。本文引入了非等長的帶參數(shù)的Arnold映射，一方面解除了加密對明文圖像的尺寸要求，另一方面避免了傳統(tǒng)Arnold映射的周期性影響導(dǎo)致的加密不成功。仿真結(jié)果表明，本文算法密鑰空間大、密鑰敏感性高、密文統(tǒng)計(jì)直方圖分布均勻、相鄰像素相關(guān)性低、信息熵接近于理想值、抗差分攻擊能力強(qiáng)，具有較高的安全性。