張永強，李爽，馬金龍

(河北科技大學信息科學與工程學院，石家莊 050018)

流行病伴隨著人類社會的發(fā)展，如SARS、中東呼吸綜合征等尤其新型冠狀肺炎，超過200個國家和地區(qū)先后出現(xiàn)疫情，表現(xiàn)出大流行特征[1]。由此可見流行病嚴重地威脅著人類的生命與安全，給人類社會造成了極大的危害。

大多數(shù)經(jīng)典的流行病傳播模型都未考慮交通流的驅(qū)動，假設如下：在每一個時間步，每個節(jié)點的傳染性與該節(jié)點的度成正比[2]，即被感染的節(jié)點會以相等的概率將流行病傳播到其所有鄰居節(jié)點。然而，對于真實的網(wǎng)絡，交通流是影響流行病傳播的重要因素。例如，在全球航空網(wǎng)絡中，如果人們沒有在城市之間進行相關的旅行活動，流行病就不可能在不同的地理區(qū)域之間傳播[3]。在社交網(wǎng)絡中，如果沒有蚊蟲叮咬，典型的登革熱流行病就不會在人群中傳播[4]。在上述傳播過程中，網(wǎng)絡中節(jié)點的傳染性與節(jié)點度沒有直接關系，而與交通流有關。這種耦合的傳播過程被稱為基于交通流的流行病傳播[5]。近年來，復雜網(wǎng)絡理論和路由算法被廣泛應用于交通運輸網(wǎng)絡[6-7]上和節(jié)點的能耗問題[8-9]中，而針對交通流驅(qū)動的流行病傳播動力學的研究相對較少。

Meloni等[10]提出了基于交通流的易感-感染-易感(susceptible-infected-susceptible，SIS)流行病傳播模型，發(fā)現(xiàn)流行病閾值不再取決于節(jié)點的度，而是直接取決于交通流。王亞奇等[11]在基于交通流的易感-感染(susceptible-infected，SI)流行病傳播模型上提出了一種改進的熟人免疫機理，結(jié)果表明：對網(wǎng)絡實施目標免疫能夠有效抑制流行病的傳播。Yang等[12-13]觀察到可以通過本地路由策略和有效路由協(xié)議策略控制流行病的傳播。Yang等[14-15]提出了一種通過去除網(wǎng)絡中部分邊來控制基于交通流的流行病傳播的方法，并研究了冪律度分布對基于交通流的流行病傳播的影響。鄭國慶等[16]在兩層星型網(wǎng)絡上建立了一個新的有效度流行病模型，研究發(fā)現(xiàn)切斷邊界與中心的傳播途徑以及免疫中心節(jié)點對降低發(fā)病率最有效。Chen等[17]在交通流驅(qū)動的流行病傳播上研究了異質(zhì)感染率的影響，發(fā)現(xiàn)當感染率與節(jié)點度呈負相關時，可以有效地抑制流行病的蔓延。Jing等[18]研究了交通流分配策略對多層網(wǎng)絡中流行病傳播的影響，發(fā)現(xiàn)通過調(diào)整某一層的路由分配和增加某一層的平均連通性都可以有效地抑制流行病的傳播。多重結(jié)構(gòu)[19-21]對流行病傳播的影響也開始受到關注。

研究表明，網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)特征[14,16,19-21]和交通流的路由策略[12-13,18]都會影響流行病的傳播。其中，改變路由策略不需要對網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)進行重構(gòu)，相比于改變網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)特征成本較低、使用方便。鑒于此，研究不同的路由策略對基于交通流的流行病傳播動力學的影響。

1 模型

1.1 網(wǎng)絡模型

由于很多真實網(wǎng)絡(如互聯(lián)網(wǎng)、電話網(wǎng)絡和運輸網(wǎng)絡)具有無標度特性[22]，因此使用Barabási-Albert(BA)模型[23]來生成網(wǎng)絡模型。BA無標度網(wǎng)絡模型的生成算法步驟如下。

步驟1初始網(wǎng)絡。給定m0個原始節(jié)點，m0個節(jié)點可以是孤立的，也可以是全連通的。

步驟2增長網(wǎng)絡。每個時間步內(nèi)都有一個具有m條邊的新節(jié)點加入網(wǎng)絡中，其中m≤m0。

步驟3連接規(guī)則。每個增加的新節(jié)點連接到已有節(jié)點w的概率與節(jié)點w的度成正比。

(1)

圖1 BA無標度網(wǎng)絡的演化過程

1.2 基于交通流的SI流行病傳播模型

以SI模型[24]為研究對象，研究基于交通流的流行病傳播過程。基于交通流的SI流行病傳播模型與傳統(tǒng)的SI流行病傳播模型不同：節(jié)點被感染的概率不僅與流行病的傳染率β有關，還與網(wǎng)絡中的交通流量有關。在基于交通流的流行病傳播模型中，數(shù)據(jù)包傳輸過程如下：在規(guī)模為N的網(wǎng)絡中，每個時間步產(chǎn)生λN個新數(shù)據(jù)包，它們隨機選擇源節(jié)點和目的節(jié)點。數(shù)據(jù)包存儲在節(jié)點隊列中，隊列采用先進先出(first-in-first-out)的原則，節(jié)點接受和轉(zhuǎn)發(fā)數(shù)據(jù)包的能力不受限制。數(shù)據(jù)包按照既定的路由策略進行傳輸，一旦到達目的節(jié)點，就會從網(wǎng)絡中移除。當易感節(jié)點收到來自感染節(jié)點的數(shù)據(jù)包時，該節(jié)點被感染的概率為β。最初，通常假設一部分節(jié)點受到感染。圖2描述了基于交通流的SI流行病傳播模型的傳播過程。

圖2 基于交通流的SI流行病傳播模型的傳播過程

由于無標度網(wǎng)絡中每個節(jié)點的度并不相同，因此度為v的節(jié)點組中被感染節(jié)點的密度為ρv(t)=Iv(t)/Nv。其中，Nv是度為v的節(jié)點數(shù)量，Iv(t)是t時刻度為v的被感染節(jié)點數(shù)量。根據(jù)平均場理論[25]，得出基于交通流的SI流行病傳播模型的反應速率方程為[26]

(2)

在不考慮節(jié)點之間的度相關性和約定P(v)為節(jié)點度分布函數(shù)的情況下，Θ(t)的表達式為

(3)

在初始傳播階段，感染節(jié)點所占比例較小，因此可以忽略感染節(jié)點密度(ρ)平方項的時間復雜度O(ρ2)，將式(2)簡化為

(4)

將式(3)代入式(4)得

(5)

由式(5)可得

Θ(t)=Θ(0)e1/τ

(6)

(7)

式(7)中：τ為流行病爆發(fā)的時間尺度。

由式(7)可知，τ與傳染率β和每個時間步生成的數(shù)據(jù)包數(shù)目λN成反比。

2 策略分析與仿真

分析3種路由策略對基于交通流的流行病傳播動力學的影響，路由策略包括內(nèi)容如下。

(1)有效路徑(efficient path, EP)路由策略[27]。研究發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡中度值大的節(jié)點容易成為擁塞的瓶頸節(jié)點，所以將網(wǎng)絡中節(jié)點的度值作為路由選擇的代價函數(shù)。例如，從節(jié)點i到節(jié)點j的路徑為P(i→j):=i≡x1,x2,…,xn≡j，其代價函數(shù)為

(8)

式(8)中：k(xl)為節(jié)點xl的度；α為可調(diào)參數(shù)，α=1是EP路由策略的最優(yōu)參數(shù)值。

(2)最短路徑(shortest path,SP)路由策略[28]。數(shù)據(jù)包選擇多條路徑中邊數(shù)最少的那一條路徑作為傳輸路徑。當式(8)中的α=0時，EP路由策略恢復為SP路由策略。

(3)概率路徑(probability path,PP)路由策略[29]。為了能夠更加有效的發(fā)揮中心節(jié)點傳輸數(shù)據(jù)包的能力，減少數(shù)據(jù)包在路由路徑上等待時間的概率，提出了PP路由策略，可表示為

(9)

使路由函數(shù)R[α,P(i→j)]取得最大值的路徑就是概率路由路徑P*(i→j)。

(10)

然后，在BA無標度網(wǎng)絡上對不同路由策略下基于交通流的SI流行病傳播模型進行仿真實驗。設定BA網(wǎng)絡的平均度為=10，節(jié)點的處理能力為無窮大。在這種情況下，網(wǎng)絡中不會出現(xiàn)交通流擁塞。將初始感染節(jié)點的密度設置為ρ0=0.1。

圖3(a)、圖4(a)和圖5(a)分別展示了在N=400、1 200、2 000的網(wǎng)絡規(guī)模中，SP路由策略下感染節(jié)點密度ρ(t)與數(shù)據(jù)包生成率λ的對應關系。圖3(b)、圖4(b)和圖5(b)分別展示了在N=400、1 200、2 000的網(wǎng)絡規(guī)模中，PP路由策略下感染節(jié)點密度ρ(t)與數(shù)據(jù)包生成率λ的對應關系。圖3(c)、圖4(c)和圖5(c)分別展示了在N=400、1 200、2 000的網(wǎng)絡規(guī)模中，EP路由策略下感染節(jié)點密度ρ(t)與數(shù)據(jù)包生成率λ的對應關系。其中傳染率β=0.1。從圖3～圖5中可以看出，在這3種路由策略下，不同的網(wǎng)絡規(guī)模中，感染節(jié)點的密度ρ(t)都隨著數(shù)據(jù)包生成率λ的增加而增加。這是因為當網(wǎng)絡中傳輸?shù)臄?shù)據(jù)包數(shù)量增加時，就會把流行病傳播給更多的節(jié)點，這顯然與傳統(tǒng)的SI流行病傳播模型不同。該仿真結(jié)果證明了式(7)中的結(jié)論：在確定β和N的情況下，流行病的傳播隨著λ的增加而變快。因此，在流行病爆發(fā)時控制交通流量可以有效地提高流行病的爆發(fā)閾值，抑制流行病的傳播。

表示感染節(jié)點密度的范圍是[0, 0.2)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.2, 0.3)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.3, 0.4)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.4, 0.5)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.5, 0.6)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.6, 0.7)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.7, 1]

表示感染節(jié)點密度的范圍是[0, 0.2)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.2, 0.3)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.3, 0.4)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.4, 0.5)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.5, 0.6)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.6, 0.7)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.7, 1]

表示感染節(jié)點密度的范圍是[0, 0.2)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.2, 0.3)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.3, 0.4)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.4, 0.5)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.5, 0.6)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.6, 0.7)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.7, 1]

圖6(a)、圖7(a)和圖8(a)分別展示了在N=400、1 200、2 000的網(wǎng)絡規(guī)模中，SP路由策略下感染節(jié)點密度ρ(t)與傳染率β的對應關系。圖6(b)、圖7(b)和圖8(b)分別展示了在N=400、1 200、2 000的網(wǎng)絡規(guī)模中，PP路由策略下感染節(jié)點密度ρ(t)與傳染率β的對應關系。圖6(c)、圖7(c)和圖8(c)分別展示了在N=400、1 200、2 000的網(wǎng)絡規(guī)模中，EP路由策略下感染節(jié)點密度ρ(t)與傳染率β的對應關系。其中數(shù)據(jù)包生成率λ=0.1。從圖6～圖8中可以看出，在這3種路由策略下，不同的網(wǎng)絡規(guī)模中，感染節(jié)點的密度ρ(t)都隨著傳染率β的增加而增加。這說明流行病傳播不僅與交通流有關，還與流行病自身固有屬性有關。因此，在制定有關流行病傳播的防控策略時，要進行綜合考慮。該仿真結(jié)果驗證了式(7)中的結(jié)論：在確定λ和N的情況下，β的增加會導致流行病的傳播閾值降低。

表示感染節(jié)點密度的范圍是[0, 0.2)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.2, 0.3)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.3, 0.4)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.4, 0.5)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.5, 0.6)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.6, 0.7)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.7, 1]

表示感染節(jié)點密度的范圍是[0, 0.2)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.2, 0.3)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.3, 0.4)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.4, 0.5)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.5, 0.6)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.6, 0.7)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.7, 1]

表示感染節(jié)點密度的范圍是[0, 0.2)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.2, 0.3)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.3, 0.4)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.4, 0.5)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.5, 0.6)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.6, 0.7)；表示感染節(jié)點密度的范圍是[0.7, 1]

圖9的仿真實驗結(jié)果(以N=1 200的網(wǎng)絡規(guī)模為例)證明了上述結(jié)論，可以看出，在SP路由策略、PP路由策略和EP路由策略中，EP路由策略下被感染的數(shù)據(jù)包在節(jié)點上的分布最均勻，即交通范圍更廣。而PP路由策略下被感染的數(shù)據(jù)包在節(jié)點上的分布最集中，即交通范圍更小。所以得出結(jié)論：相比于SP路由策略，PP路由策略會抑制流行病的傳播，而EP路由策略會加速流行病的傳播。

圖9 不同路由策略下被感染的數(shù)據(jù)包在節(jié)點上的分布情況

3 結(jié)論

基于交通流的流行病傳播與其數(shù)據(jù)包進行傳輸時采用的路由策略密切相關。研究了3種路由策略對基于交通流的流行病傳播的影響，發(fā)現(xiàn)相比于SP路由策略，PP路由策略可以有效地抑制流行病的傳播，而EP路由策略則會加速流行病的傳播，仿真結(jié)果在不同的網(wǎng)絡規(guī)模上具有魯棒性。除此之外，還發(fā)現(xiàn)在不同的路由策略下，減少交通流量和降低傳染率可以有效地抑制流行病的傳播。因此，當流行病爆發(fā)時，在交通流和傳染率一定的情況下，可以通過調(diào)整路由策略來抑制流行病的傳播。這些研究結(jié)果對在突發(fā)公共衛(wèi)生事件下，交通管理部門有針對性地制定防控策略，保障基本民生，穩(wěn)定經(jīng)濟運行具有一定指導意義。