匡 嬋,鄭海濤,趙宜嬋,韋洪雷

(西南交通大學 數(shù)學學院， 成都 611730)

0 引言

隨著信息技術的迅猛發(fā)展和大數(shù)據(jù)時代的到來，以環(huán)境、交通、金融、醫(yī)療等為代表的多個領域產(chǎn)生大量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)中蘊含著豐富的時空信息。例如醫(yī)學成像數(shù)據(jù)[1]、環(huán)境監(jiān)測衛(wèi)星遙感數(shù)據(jù)[2-3]、國家環(huán)境信息中心數(shù)據(jù)集NCEI(national centers for environmental information)等。針對不同類型的時空數(shù)據(jù)，需要找到合適的表達來描述數(shù)據(jù)反映出的各項信息。而采用合適的模型來對不同類型的時空數(shù)據(jù)進行分析，會提高對時空特性探究的準確度，以及對數(shù)據(jù)變化趨勢有更真實的描述，這對時空數(shù)據(jù)的應用發(fā)展有著重要的意義。

近年來，國內(nèi)外關于不同類型時空數(shù)據(jù)的應用研究都是比較頻繁的。例如，Cabrera等[4]通過廣義加性混合模型建立時空數(shù)據(jù)模型來觀察天氣和登革熱傳播之間的復雜關系，這項研究匯集了來自不同來源的大型數(shù)據(jù)集，包括委內(nèi)瑞拉衛(wèi)生部，還包括美國國家航空航天局提供的遠程衛(wèi)星氣候數(shù)據(jù)。再例如，Ghosh等[5]提出了一個端到端的交通關聯(lián)規(guī)則挖掘框架，通過分析城市的出租車出行軌跡，有助于提取城市交通動態(tài)，此研究使用NYC綠色和黃色出租車跟蹤、羅馬出租車數(shù)據(jù)集和舊金山出租車數(shù)據(jù)集的真實GPS跟蹤數(shù)據(jù)集，屬于軌跡數(shù)據(jù)類。而許熳靈等[6]也同樣使用軌跡數(shù)據(jù)，他們基于智能交通卡數(shù)據(jù)，以南京市為例，通過建立一種季節(jié)性差分自回歸移動平均模型，解釋了不同種類的天氣因素(如降雨、氣溫、相對濕度、風速等)對地鐵客流量時空分布的影響程度。

對于收集到的一些海量的、有噪聲的數(shù)據(jù)進行平滑處理是了解其時空特征的關鍵。例如，對于NARCCAP(the North American regional climate change assessment program)[7-8]這樣的大規(guī)模時空數(shù)據(jù)集，F(xiàn)rench等[9]提出了一種平滑處理方法STSS(spatio-temporal sandwich smoother)。在2013年Xiao等[10]提出的OSS(the original sandwich smoother)的基礎上，發(fā)展了一種懲罰樣條方法來表示具有主光滑成分的連續(xù)時空數(shù)據(jù)，分別對空間和時間維度采用不同的基函數(shù)來進行處理，他們還用模擬和實際數(shù)據(jù)證明了此方法的實用性。French等提出的STSS模型不僅能在保留數(shù)據(jù)時空特性下對數(shù)據(jù)做平滑處理，還具有高效的計算效率。而NCEI收集到的數(shù)據(jù)集不僅具有大規(guī)模的特性，還包含各種不同的信息變量。針對呈現(xiàn)出多維信息的時空數(shù)據(jù)，需要合適的表達來描述這類時空數(shù)據(jù)的特征。

French等提出的STSS模型能在時間、空間上捕捉到關鍵特征，但當協(xié)變量對響應有影響且有周期特征時，STSS模型還是不能很好地解釋數(shù)據(jù)的變化。因此，引入了協(xié)變量函數(shù)和周期函數(shù)。協(xié)變量函數(shù)用來描述各種信息變量對響應變量的影響，而周期函數(shù)用來補償解釋數(shù)據(jù)的周期性。利用STSS模型關于基函數(shù)和懲罰函數(shù)的運用，可以對大規(guī)模數(shù)據(jù)進行平滑處理；同時還伴隨著協(xié)變量和周期性對觀察變量的影響。關于協(xié)變量函數(shù)使用的是常見的多元線性模型，而周期函數(shù)則考慮了不同周期長度的描述，這樣能探究出數(shù)據(jù)更真實的周期變化。為了更好地處理上述類型的時空數(shù)據(jù)，提出的模型不只是單一地討論數(shù)據(jù)的時空結構，也可以觀測其相關信息對數(shù)據(jù)變化的影響，還包括探測數(shù)據(jù)變化是否具有一定的周期性，這樣的結合使得所提的模型能更全面、更貼合實際地描述時空數(shù)據(jù)的結構和變化。

論文的結構如下：第1節(jié)介紹了所提出的改進模型，包括模型的表達形式和參數(shù)估計方法；第2節(jié)利用蒙特卡洛的方法對所提出的模型進行了模擬研究；第3節(jié)將改進模型應用于實際時空數(shù)據(jù)集，并對分析結果進行了討論；第4節(jié)對所提出的方法進行了總結。

1 模型介紹

對于一些數(shù)據(jù)集，它們收集的區(qū)域范圍廣，統(tǒng)計年份長，呈現(xiàn)出大規(guī)模的數(shù)據(jù)集，還包含著多種信息變量，并且數(shù)據(jù)變化存在明顯的周期性。而期望能在對數(shù)據(jù)做平滑處理的同時，還能觀察一些相關因素對數(shù)據(jù)的影響和數(shù)據(jù)的周期變化情況，因此在French等提出的STSS模型基礎上，引入了協(xié)變量函數(shù)和周期函數(shù)。關于描述協(xié)變量與響應變量之間的關系使用的是常見的多元線性模型，周期函數(shù)則也考慮了不同周期長度的描述。下面是關于模型的具體介紹。

1.1 模型表達

假設在某個區(qū)域內(nèi)觀測到n1個不同地點和n2個不同時間的響應，用數(shù)學模型可表示成

yij=y(xij;si,tj)=

f(xij)+d(tj)+z(si,tj)+ε(si,tj)，

i=1,2，…,n1,j=1,2，…,n2

(1)

其中：y是響應變量，f(x)是有關影響y的協(xié)變量x的函數(shù)，d(t)是關于時間t的周期函數(shù)，z(s,t)是考慮成空間位置s和時間t對y的一個影響，誤差過程ε(s,t)滿足Ε(ε(s,t))=0，Ε(ε2(s,t))=σ2。如上文所述，考慮f(x)是關于x的多元線性函數(shù)，z(s,t)則是使用STSS模型的方法，即空間基函數(shù)和時間基函數(shù)的張量積，令

其中：p是協(xié)變量的個數(shù)，C是一個由周期函數(shù)構成的矩陣，殘差εij=ε(si,tj),1≤i≤n1,1≤j≤n2，這里的周期函數(shù)d(t)可以采用如下形式：

(2)

其中：α1,α2,…,α2k-1,α2k是函數(shù)的系數(shù)，2k是周期函數(shù)的個數(shù)，m1,m2,…,mk取值為正整數(shù)。在應用于實際數(shù)據(jù)的時候，可以綜合考慮周期呈半年、季度以及月度等的變化來確定k和m1,m2,…,mk的取值，以便觀察數(shù)據(jù)更真實的周期性。則周期函數(shù)矩陣也可以表示成

則上述數(shù)學模型(1)可以表示成矩陣的形式：

y=Xβ+Cα+Bθ+ε

(3)

式(3)中，基函數(shù)的張量積B=B2?B1，其中B1、B2分別是關于空間和時間的基函數(shù)矩陣，具體形式如下：

其中：rk(si),1≤k≤c1,1≤i≤n1是描述空間的徑向基函數(shù)，bl(tj),1≤l≤c2,1≤j≤n2是描述時間的B樣條基函數(shù)。

這里采用的徑向基函數(shù)是Wendlend協(xié)方差函數(shù)[11]，基本形式為：

其中：k=1,2,…,c1，h=|ki-s|是空間中2點之間的距離，ki,i=1,2,…,c1表示空間節(jié)點，N是多項式階數(shù)，φ是函數(shù)的支撐(也稱帶寬參數(shù))，aj,j=1,2,…,N為一組非零系數(shù)。關于Wendland協(xié)方差函數(shù)的更多細節(jié)可以在文獻[11-12]中找到。采用的B樣條基函數(shù)的一個遞歸定義[13-14]如下，設τ0≤τ1≤…≤τM為一組時間節(jié)點，記第i個d次B樣條基函數(shù)為Bi,d(t)，定義

其中i=0,1,…,M-1。當節(jié)點數(shù)M和次數(shù)d確定時，得到一組B樣條基bl(t),1≤l≤c2，其中c2=M+d+1。

1.2 參數(shù)估計

在給定的懲罰參數(shù)λ1、λ2下，關于上述模型(3)的目標函數(shù)可表示為：

(4)

其中

λ1λ2(Dm)TDm?(Sm)TSm

其中#{Ni}為近鄰集Ni元素的個數(shù)；當m≥2時，定義

則依次計算出Sm的每一行元素。關于空間差分矩陣更多的運用細節(jié)可以在French等的文章中找到。懲罰參數(shù)λ1、λ2可通過廣義交叉驗證[15-17]的方法進行選擇。

令參數(shù)

q是周期函數(shù)系數(shù)的個數(shù)，根據(jù)1.1小節(jié)的描述可知q=2k，則上述目標函數(shù)(4)可以轉化為以下形式：

(B,X,C)Ty

2 模擬研究

根據(jù)所提出的模型隨機生成數(shù)據(jù)，然后進行多次模擬，來觀察其參數(shù)估計的結果、模型擬合的效果以及模型殘差的分析結果，模擬設置如下：

1) 樣本容量n=n1×n2×n3，n1、n2是關于空間位置的樣本大小(一共有n1×n2個空間位置)，n3是時間長度的樣本大小。模擬取5×5個空間點，分小樣本n=5×5×50、中樣本n=5×5×200和大樣本n=5×5×500。

3) 根據(jù)2得到空間維和時間維的基函數(shù)矩陣B1、B2和差分矩陣Sm、Dm；確定周期函數(shù)矩陣，模擬將周期矩陣設置為：

由上述的模擬設置，在不同的樣本容量和標準差的情況下，各進行了1 000次的重復模擬，最后取每個參數(shù)估計結果的均值。與參數(shù)模擬取值的比較如表1—3所示，從估計結果看，取不同大小的樣本容量以及不同的標準差，得到的估計值與模擬取值相差都比較小。模擬數(shù)據(jù)的周期函數(shù)系數(shù)僅α1、α2取值不為零，其余的周期系數(shù)均取值為零，而其余的周期函數(shù)系數(shù)α3、α4、α5和α6的估計都非常接近于0，則可以說明周期項得到的估計結果與模擬數(shù)據(jù)周期項也非常相近，即可以說明提出的模型能反映數(shù)據(jù)的真實周期變化。參數(shù)估計結果的均方差(MSE)如表1—3括號中的數(shù)值所示，表中數(shù)據(jù)顯示隨著樣本容量的增加均方差在逐漸減小，而隨著標準差取值的增加均方差也在增加，其各均方差值也都比較小，表示參數(shù)估計結果的波動比較小。

表1 小樣本模擬數(shù)據(jù)參數(shù)估計結果

表2 中樣本模擬數(shù)據(jù)參數(shù)估計結果

表3 大樣本模擬數(shù)據(jù)參數(shù)估計結果

任意選取一個空間位置，在3種樣本大小和3種標準差的情況下，分別觀察模型的擬合效果。圖1是同一空間位置的觀測值與擬合值，其中紅色實線為觀測值，綠色虛線為擬合值。如圖1所示，可以看到圖中的擬合效果都是比較好的，而隨著標準差取值的增加會使得其擬合值與觀測值之間的差變大。從任一位置的擬合圖形可以看到，不管是小樣本、中樣本還是大樣本，其模型的擬合效果都是非常好的，隨著標準差取值的增加，觀測值的波動會稍微變大，而擬合值會相對平滑一些。此外，還對任一空間位置進行了殘差分析，結果顯示不同樣本不同標準差情況下的殘差都呈現(xiàn)出非常好的隨機性和正態(tài)性。各種殘差圖形以及正態(tài)性檢驗結果如圖2—4和表4所示，表4中顯示檢驗的P值均大于0.05，可判斷殘差服從正態(tài)分布。也就意味著所提出的改進模型有較好的適用性，下面通過實際數(shù)據(jù)的應用來證實模型的實用性。

圖1 3種樣本容量不同標準差下的擬合圖

圖2 3種樣本容量不同標準差下的殘差圖

圖3 3種樣本容量不同標準差下的殘差Q-Q圖

圖4 3種樣本容量不同標準差下的殘差直方圖

表4 殘差的正態(tài)性檢驗(Kolmogorov-Smirnov)結果

3 案例分析

在這一節(jié)中將用上述改進的模型應用于實際時空數(shù)據(jù)，并與STSS模型做比較。實際應用的時空數(shù)據(jù)是由NCEI收集的數(shù)據(jù)集。隨機選取美國的Colorado州中57個站點的月平均溫度(華氏度)數(shù)據(jù)，將此作為待觀測的響應變量，其中各個站點的空間位置由經(jīng)緯度表示，時間長度為從2000年1月到2020年12月，形成了252個月份內(nèi)在57個空間位置觀測到的時間序列，總共有14 364個響應值。圖5中的黑色圓點表示各個站點的位置。其余的信息變量還包括各個站點的海拔和月降水量，將這2個信息變量作為待觀測數(shù)據(jù)的協(xié)變量。

現(xiàn)在考慮將改進的模型應用于這些數(shù)據(jù)。在關于基函數(shù)的處理上，空間維度使用2種不同分辨率下的Wendland協(xié)方差函數(shù)，分別使用4節(jié)點和20節(jié)點(共24個節(jié)點)，每個分辨率的節(jié)點位置在圖5(b)中用不同顏色和形狀的符號表示，采用m=2階的空間差分懲罰；時間維數(shù)使用了12個B樣條基函數(shù)。為了能更準確地抓住數(shù)據(jù)的真實周期變化，這里考慮設置周期函數(shù)的個數(shù)為q=16和正整數(shù)取值(m1,m2,…,m8)=(2,4,6,8,10,12,24,36)。

圖5 Colorado州中57個站點的位置

表5 周期函數(shù)參數(shù)估計結果

接下來將觀察模型的擬合效果和殘差分析。圖6是選取的任一站點位置的擬合圖，圖中紅色實線為月平均溫度的真實觀測值，綠色虛線為擬合值。從圖6可以看到2條線非常貼合，說明模型的擬合效果是很不錯的。圖7是整體殘差的相關圖形，圖7 (a)是整體殘差圖，圖7 (b)是殘差直方圖，殘差圖中的數(shù)值大致均勻分布在零均值線上下，從圖7可以看到,整體殘差的隨機性和正態(tài)性都表現(xiàn)得很好，說明模型適用于實際時空數(shù)據(jù)。

圖6 任一站點位置的擬合圖

圖8 觀測到的月平均溫度(華氏度)和擬合值的散射圖

表6是2個模型的均方差比較，從表中數(shù)值可以看出，改進模型的均方差比STSS模型小很多，說明改進的模型要比STSS模型更適合于時空數(shù)據(jù)。圖8分別是2個模型的擬合數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù)的散射圖，其中圖8(a)是STSS模型，圖8 (b)是本文模型的散射圖，顯示了變量之間期望的線性關系，可以看到改進的模型比STSS模型能更完整地捕獲原始月平均溫度數(shù)據(jù)的總體模式。

表6 模型的均方差

French等提出的STSS模型具有高效的計算效益和很好的數(shù)據(jù)結構捕獲效益，但也提到在應用STSS模型時，會因為模型中的一些調(diào)整參數(shù)的不同設置導致模型得到的結果存在差異。例如，基函數(shù)的節(jié)點數(shù)，太少會導致擬合結果過于平滑，但節(jié)點數(shù)太多又會使得基函數(shù)的參數(shù)增多從而使得計算量增大；再比如，帶寬參數(shù)φ的選擇，F(xiàn)rench等建議至少是每個節(jié)點與其近鄰點之間最大距離的2倍，但φ太大也會導致計算不穩(wěn)定，因為生成的基函數(shù)矩陣將具有高度相關的列。還有基函數(shù)的階數(shù)、差分矩陣的階數(shù)m，等等。也就是說，在應用于實際時空數(shù)據(jù)的時候，有時會因為一些原因使得模型的這些調(diào)整參數(shù)不一定取到最合適的數(shù)值，這樣會很容易降低模型的使用效益，也會減少模型的實用性。而從圖8(a)和圖8(b)的對比結果可以看到，提出的改進模型會大大減少這種情況對結果產(chǎn)生的影響，能在一定程度上有效地保證模型的使用效益，從而確保模型的實用性。

4 結論

在French等提出的STSS模型基礎上進行了改進，使其更適用于包含多維信息的大規(guī)模時空數(shù)據(jù)。在STSS模型上引入了協(xié)變量函數(shù)和周期函數(shù)，協(xié)變量函數(shù)描述各信息變量對觀察變量的影響，周期函數(shù)描述數(shù)據(jù)的周期性。其中關于協(xié)變量與觀察變量之間的關系使用的是常見的多元線性模型，而周期函數(shù)則考慮了不同周期長度的描述。與STSS模型相比，所提的改進模型既能在保留時空結構下對數(shù)據(jù)做平滑處理，還可以觀測其相關因素對數(shù)據(jù)的影響，探測數(shù)據(jù)變化的周期性。然后通過模擬實驗和NCEI收集的實際時空數(shù)據(jù)應用驗證了改進模型的適用性和實際性。

模擬研究結果表明，改進的模型呈現(xiàn)較好的擬合效果，而隨著數(shù)據(jù)標準差取值的增加，觀測值的波動稍微變大，模型的擬合更趨于平滑。此外，模型的殘差在各種情況下都呈現(xiàn)良好的正態(tài)性，即顯示了改進的模型有很好的適用性。將改進的模型應用于實際時空數(shù)據(jù)，分析結果呈現(xiàn)了良好的擬合效果，顯示了改進模型的優(yōu)良性。與STSS模型進行對比，改進的模型比STSS模型能更完整地捕獲原始數(shù)據(jù)的整體變化。