唐 莉，程世娟，張曉潔，蔣玉婷

(1.西南交通大學 數(shù)學學院， 成都 611756; 2.西南交通大學希望學院 基礎(chǔ)部， 成都 610400)

0 引言

科技的不斷進步和新型材料的不斷出現(xiàn)，使產(chǎn)品的壽命越來越長，這些高長壽命產(chǎn)品在正常試驗條件下在短時間內(nèi)的失效數(shù)據(jù)較少，這些小樣本攜帶的信息量不足以支撐傳統(tǒng)的統(tǒng)計分析。很多研究學者開始探索信息融合的方法，為小樣本可靠性評估提出了一些新的研究思路[1]。

王鳳飛等[2]通過融合歷史退化數(shù)據(jù)和失效壽命數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)多源信息融合可以提高剩余壽命預測的準確性。貝葉斯方法在信息融合計算方面有著廣泛應用，基于貝葉斯理論，賈祥等[3]融合不同的專家經(jīng)驗信息和壽命試驗數(shù)據(jù)來擴充可靠性信息；王博等[4]融合多類型研制試驗數(shù)據(jù)來評估航天閥門的可靠性；Papananias等[5]融合不同來源和制造階段的數(shù)據(jù)和信息來提高產(chǎn)品質(zhì)量。為了提高融合的精準度，有學者考慮在進行數(shù)據(jù)融合之前，先對信息源給予一個加權(quán)處理，比如，王保昌等[6]基于相關(guān)函數(shù)的多源信息融合方法實現(xiàn)了多個驗前分布的融合；文獻[7-10]分別采用自適應加權(quán)數(shù)據(jù)融合、利用指數(shù)衰減函數(shù)度量傳感器觀測值的相互支持程度、通過定義一致性和可靠性測度進行數(shù)據(jù)融合權(quán)值分配、提出一種基于最優(yōu)權(quán)值的數(shù)據(jù)加權(quán)融合等方法，實現(xiàn)了傳感器信息數(shù)據(jù)的加權(quán)融合。張金槐[11]提出了產(chǎn)品驗前信息和現(xiàn)場信息進行融合的可信度加權(quán)融合方法；Zhang等[12]提出了一種新的加權(quán)數(shù)據(jù)融合方法，該方法可以計算多組先驗數(shù)據(jù)的定量可信度。對先驗信息的加權(quán)融合有了較深研究后，邵松世等[13]采用似然權(quán)重系數(shù)對不同來源可靠性信息的可信程度進行了量化，再基于貝葉斯方法實現(xiàn)了多源先驗信息的融合及可靠性分析。

以上研究解決了多個先驗信息如何進行加權(quán)，再與現(xiàn)場信息進行融合的問題，但是其研究僅考慮了不同先驗分布的權(quán)重，對于多個不同信息源數(shù)據(jù)信息的變權(quán)融合研究甚少。Berger指出先驗分布對離群值有較好排除能力的理論[14]，以此理論作為準則，在考慮現(xiàn)場真實數(shù)據(jù)對先驗分布權(quán)重影響的情況下，實現(xiàn)各個信息源的權(quán)重分配，提出一種對多源異構(gòu)壽命數(shù)據(jù)信息進行變權(quán)融合的貝葉斯可靠性評估模型。

1 權(quán)重的確定

多源指試驗信息具有多種信息源，異構(gòu)指這些信息源的數(shù)據(jù)類型或特征等不一致，在統(tǒng)計學領(lǐng)域認為這類數(shù)據(jù)不屬于同一總體，簡稱多源異構(gòu)數(shù)據(jù)。下面討論獨立異構(gòu)的壽命信息如何進行加權(quán)融合。

假設(shè)信息源獲取數(shù)據(jù)的環(huán)境條件相同，并將這些數(shù)據(jù)信息看作是傳感器對同一物理量采集到的。記n1,n2,…,nN表示N個信息源分別所對應的樣本數(shù)，x(i)={xi1,xi2,…,xini},i=1,2,…,N表示第i個信息源下獨立同分布的樣本；并假設(shè)第N個信息源為現(xiàn)場試驗信息源獲取的真實現(xiàn)場數(shù)據(jù)。

1.1 各信息源權(quán)重的確定

根據(jù)各信息源獲取的數(shù)據(jù)信息x(i)={xi1,xi2,…,xini},i=1,2,…,N所反應的總體分布特征，選擇適合各信息源的分布類型，擬合得到分布Fi(θ;x)，求得各信息源的似然函數(shù)Li(x(i)|θ)，其似然函數(shù)的尾部梯度特征[15]可表示為：

(1)

由現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)x(N)=(xN1,xN2,…,xNnN)，求得其似然函數(shù)LN(x(N)|θ)的尾部梯度特征為：

(2)

若通過查閱資料等途徑獲得參數(shù)θ的先驗分布為φ(θ;u1,u2,…,uk)，其中u1,u2,…,uk為先驗分布中的超參數(shù)，當關(guān)于θ的先驗信息在其分布的尾部區(qū)域取值θ0時，即可得到上述各信息源的尾部梯度特征值τi(Li(x(i)|θ0)),i=1,2,…,N和τN(LN(x(N)|θ0))，比較各信息源和現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)的尾部梯度特征值的絕對值差可得

hi=|τN(LN(x(N)|θ0))-τi(Li(x(i)|θ0))|,

i=1,2,…,N

(3)

當信息源的尾部特征和現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)的尾部特征越靠近時，說明此信息源和現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)越相似，信息源的可信度也越高，所占的權(quán)重也應該更高。即各信息源和現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)的尾部梯度特征值的絕對值誤差越小，此信息源數(shù)據(jù)信息所占的權(quán)重越大。故各信息源的權(quán)重可確定為：

(4)

2 確定各信息源的先驗信息

2.1 有先驗分布的情形

(5)

i=1,2,…,N

(6)

2.2 無先驗分布的情形

若無關(guān)于參數(shù)θ的任何先驗信息，根據(jù)Fisher信息陣的理論知識[16]，基于第i個信息源的數(shù)據(jù)信息x(i)=(xi1,xi2,…,xini),i=1,2,…,N得到其概率分布fi(x;θ)，得似然函數(shù)為：

計算出參數(shù)θ(單參數(shù)情形)的Fisher信息陣：

因此，單參數(shù)場合下的無信息先驗密度函數(shù)為：

(7)

3 基于貝葉斯變權(quán)融合的可靠性分析

結(jié)合前文獲取的各信息源權(quán)重εi和先驗分布φi(θ|x(i)),i=1,2,…,N，以及第N個現(xiàn)場信息源壽命數(shù)據(jù)關(guān)于參數(shù)θ的似然函數(shù)LN(x(N)|θ)，采用貝葉斯估計法[17]，考慮對各信息源數(shù)據(jù)信息估計的先驗分布進行加權(quán)處理，并且將通過現(xiàn)場試驗獲得的信息融合到先驗信息的估計中，得到一個更客觀、合理的先驗分布，再以現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)作為樣本信息。最終，得到N個信息源數(shù)據(jù)信息融合后，關(guān)于參數(shù)θ的聯(lián)合后驗密度為：

φ1,2,…,N(θ|x(1),x(2),…,x(N))=

(8)

(9)

(10)

4 仿真分析

表1 不同信息源數(shù)據(jù) 年

采用2種變權(quán)方式：

表2 3個信息源先驗分布的參數(shù)估計結(jié)果

根據(jù)式(1)和式(2)，計算得到A、B、C信息源的尾部梯度特征分別為：

τA=41.37，τB=36.48，τC=τ0=3.33

在參數(shù)μ的先驗正態(tài)分布的尾部3σ域內(nèi)取值μ0=32.65時，根據(jù)式(3)和式(4)，獲取各信息源的權(quán)重占比(見表3)分別為：

εA=0.23，εB=0.27，εC=0.50

根據(jù)式(8)，可以寫出3源樣本數(shù)據(jù)變權(quán)融合后，關(guān)于平均壽命參數(shù)μ的后驗密度為：

φA,B,C(μ|x(1),x(2),x(3))=

由式(9)，得到在平方損失函數(shù)下，產(chǎn)品的平均壽命為：

2) 假設(shè)僅對A、B 2個信息源(不考慮現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)對參數(shù)μ先驗信息的影響)進行加權(quán)融合，同理求解，得到A、B信息源的權(quán)重占比為：

此時的后驗密度為：

表3 不同加權(quán)方式的權(quán)重結(jié)果

為驗證各組壽命數(shù)據(jù)經(jīng)過變權(quán)實現(xiàn)融合所得到的融合結(jié)果，相較于等權(quán)融合而言，更具真實有效性，此處使用相同數(shù)據(jù)，采用貝葉斯理論進行3源等權(quán)融合[18]，可得到3源等權(quán)融合后的后驗分布為：

表4 3種不同融合方式獲取參數(shù)的檢驗結(jié)果

利用表1—4中的數(shù)據(jù)及參數(shù)估計的檢驗結(jié)果可知，通過極大似然法得到A、B、C源的平均壽命分別為11.78、10.60、13.11年，在3源加權(quán)、僅對A、B信息源加權(quán)和3源等權(quán)的3種變權(quán)情況下，進行數(shù)據(jù)融合，獲取融合后的平均壽命分別為12.81、12.15、10.87年，說明3源加權(quán)融合的評估結(jié)果更客觀合理，驗證了加權(quán)融合方法的有效性、合理性。

3源信息均變權(quán)進行融合后，得到產(chǎn)品的總體失效密度函數(shù)為：

可靠度函數(shù)的貝葉斯估計為：

式中：Φ(·)為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)。在3種不同變權(quán)融合方式情形下，得到融合前后的可靠度函數(shù)曲線，如圖1所示。

圖1 3源數(shù)據(jù)在不同加權(quán)融合情況下的可靠度函數(shù)曲線

通過圖1發(fā)現(xiàn)3源均變權(quán)和僅對A、B變權(quán)，2種融合方式得到的可靠度函數(shù)結(jié)果，介于3源等權(quán)融合和C源現(xiàn)場數(shù)據(jù)融合結(jié)果之間，并且3源均變權(quán)的結(jié)果更靠近C源現(xiàn)場數(shù)據(jù)的結(jié)果，可知變權(quán)融合效果優(yōu)于等權(quán)，3源均變權(quán)的融合效果優(yōu)于僅對A、B信息源變權(quán)，3源變權(quán)融合后的分布總體明顯更接近真實現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)的分布總體。因此，將現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)融入先驗信息，考慮對各信息源權(quán)重占比的影響，使得利用貝葉斯方法做數(shù)據(jù)融合估計時，先驗信息中含有更全面、更客觀的參數(shù)信息，能更科學合理地評估產(chǎn)品的可靠性。

5 結(jié)論

針對小樣本數(shù)據(jù)，提出了基于貝葉斯理論進行多源壽命數(shù)據(jù)變權(quán)融合的可靠性評估模型，獲得產(chǎn)品的壽命分布信息及可靠性特性。仿真結(jié)果表明，該模型簡單易操作，考慮了現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)對參數(shù)先驗和各信息源權(quán)重占比的影響，可以提高評估精準度。從信息論的角度而言，利用各種途徑獲取的信息數(shù)據(jù)，避免資源浪費，能夠得到對產(chǎn)品更科學合理的可靠性評估分析結(jié)論，在統(tǒng)計決策方面也有更好的穩(wěn)健性，為產(chǎn)品后續(xù)的預測研究奠定了基礎(chǔ)。