林 飛，史國(guó)強(qiáng)

（1.杭州市勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，浙江 杭州 310012）

CPIII 高程控制網(wǎng)是CPIII 三維控制網(wǎng)中的重要一環(huán)，相對(duì)精度很高，主要為了滿足高鐵及城市軌道交通對(duì)鋪軌施工的高要求，在高鐵CPIII高程網(wǎng)的外業(yè)施測(cè)中，目前采用最多的以及精度最高的方法主要是矩形法[1]。如圖1所示，圖中的實(shí)心箭頭主要表示高差的傳遞方向。通過對(duì)矩形法的精度估算，可以認(rèn)為無(wú)論在縱向、橫向還是對(duì)角方向，其中任意相鄰CPIII高程點(diǎn)的高差中誤差均具有較高的精度，完全能夠滿足軌道控制網(wǎng)CPIII 建網(wǎng)精度的要求。而在城市軌道交通的CPIII 高程網(wǎng)外業(yè)施測(cè)中，目前主要用的方法是三角高程測(cè)量。傳統(tǒng)的水準(zhǔn)網(wǎng)平差一般都是通過最小二乘法求取，然而因?yàn)樽钚《斯烙?jì)不具備抗粗差的能力，如果測(cè)量數(shù)據(jù)中存在粗差，則計(jì)算結(jié)果將會(huì)受到嚴(yán)重的影響，其估計(jì)值會(huì)因?yàn)榇植畹挠绊懚鴩?yán)重偏離正確值。因此本文研究的目的，主要是引入Huber 函數(shù)的穩(wěn)健估計(jì)到CPIII 高程網(wǎng)平差中進(jìn)行粗差探測(cè)，并結(jié)合數(shù)據(jù)探討調(diào)和系數(shù)的變化對(duì)Huber 法的具體影響。

圖1 矩形法示意圖

1 穩(wěn)健估計(jì)原理

M 估計(jì)是穩(wěn)健估計(jì)的一種，又叫做極大似然估計(jì)，穩(wěn)健估計(jì)在測(cè)量中也被稱作抗差估計(jì)，其正是鑒于最小二乘法對(duì)粗差的敏感性而被提出的，主要用來消除或減弱粗差對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響[2]。其核心思想是，在無(wú)法避免粗差影響的情況下，通過構(gòu)造合理的估計(jì)方法來盡可能減少粗差對(duì)參數(shù)的估值的不良影響，得出最優(yōu)或接近最優(yōu)的參數(shù)估值[3-4]。穩(wěn)健估計(jì)基本可以分為三類，即M估計(jì)、L估計(jì)和R估計(jì)[5]。它是經(jīng)典的極大似然估計(jì)的推廣，易于程序?qū)崿F(xiàn)，所以本文主要探討的是M估計(jì)。

設(shè)L1，L2，…，Ln為觀測(cè)樣本，且L1，L2，…，Ln之間相互獨(dú)立；X為待估參數(shù)。Li的分布密度為f(li，X^)，則其極大似然估計(jì)準(zhǔn)則為：

通過選擇合適的ρ函數(shù)或φ函數(shù)，再利用式（3）或式（4）來計(jì)算參數(shù)X的估值，即M估計(jì)[6]。

由上述可知ρ函數(shù)的重要性，一個(gè)ρ函數(shù)就定義了一個(gè)M估計(jì)。為此，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者們提出了很多可供選擇的ρ函數(shù)，常用的ρ函數(shù)主要有Huber 法、L1-L2法、丹麥法、IGG方案以及Fair法等[7]，本文主要研究的是Huber法，其ρ函數(shù)為：

2 算例分析

2.1 概 況

選取某項(xiàng)目的一段CPIII高程網(wǎng)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)如表1所示，其中153H21 點(diǎn)為線上水準(zhǔn)已知點(diǎn)，起算高程為514.289 6 m，選取10 個(gè)CPIII 點(diǎn)，以測(cè)段距離來定權(quán)，取1 km為單位權(quán)觀測(cè)。

由水準(zhǔn)觀測(cè)線路可先確定各CPIII 點(diǎn)的初始高程值，將表1 的數(shù)據(jù)及起算點(diǎn)高程值編輯到程序可以讀取的txt文本中，然后用所編程序進(jìn)行解算。取未加粗差的經(jīng)典最小二乘法的計(jì)算結(jié)果作為正確值。

表1 原始觀測(cè)數(shù)據(jù)

2.2 加入一個(gè)粗差時(shí)不同系數(shù)的影響

為方便討論問題，在原觀測(cè)數(shù)據(jù)的線路L4中加入10 mm（遠(yuǎn)大于兩倍中誤差）的粗差，即觀測(cè)高差變成0.186 34 m，在一個(gè)粗差的情況下，分別取系數(shù)為1、1.5、1.8、2、2.5 時(shí)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。首先是不同系數(shù)下的Huber 法以及最小二乘法計(jì)算的殘差V的對(duì)比，如表2所示。

表2 不同系數(shù)情況下Huber法計(jì)算的殘差V的對(duì)比/mm

不同系數(shù)下的Huber 法以及最小二乘法計(jì)算的高程值與正確值之差如表3所示。

表3 不同系數(shù)Huber法計(jì)算的高程值與正確值之差的對(duì)比/mm

由表2和表3可以看出：

1）在加入一個(gè)粗差的情況下，系數(shù)取1.5、1.8和2的計(jì)算結(jié)果是一致的。

2）在系數(shù)不超過2的前提下，Huber法殘差V中所體現(xiàn)的粗差大小和位置，與實(shí)際所添加的粗差大小和位置十分吻合，充分說明穩(wěn)健估計(jì)良好的粗差探測(cè)能力，而最小二乘法以及系數(shù)取為2.5時(shí)的Huber法的殘差陣無(wú)法看出實(shí)際添加的粗差的位置和大小。

3）當(dāng)有一個(gè)粗差時(shí)，最小二乘法以及系數(shù)取為2.5時(shí)，Huber法的計(jì)算結(jié)果已偏離了正確值，而系數(shù)值取小于等于2 時(shí)，計(jì)算結(jié)果都與正確值相差很小，此時(shí)Huber法的抗粗差效果不受影響。

綜上可知，當(dāng)加入一個(gè)粗差時(shí)，Huber 法的調(diào)和系數(shù)在小于等于2的情況下最優(yōu)。

2.3 加入兩個(gè)粗差時(shí)不同系數(shù)的影響

為方便討論問題，再在原始數(shù)據(jù)線路L8 上加入10 mm的粗差（遠(yuǎn)大于兩倍中誤差），然后分別取調(diào)和系數(shù)的值為0.5、1、1.5、1.8、2、2.5時(shí)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

不同系數(shù)下的計(jì)算高程值與正確值之差如表4所示。

表4 不同系數(shù)Huber法計(jì)算的高程值與正確值之差的對(duì)比/mm

不同系數(shù)時(shí)所求得的殘差V如表5 所示。由表4和表5可以得出以下結(jié)論：

表5 不同系數(shù)情況下Huber法計(jì)算的殘差V 的對(duì)比/mm

1）在加入一個(gè)粗差的情況下，系數(shù)取1.8、2 和2.5的計(jì)算結(jié)果是一致的。

2）當(dāng)系數(shù)取大于1.5 的時(shí)候，Huber 法的計(jì)算結(jié)果偏離了正確值，而系數(shù)值取小于等于1.5 時(shí)得計(jì)算結(jié)果都與正確值相差很小。

3）當(dāng)系數(shù)不超過1.5 時(shí)，Huber 法的殘差V所體現(xiàn)出的粗差大小和位置，與實(shí)際所添加的粗差大小和位置十分吻合，而系數(shù)大于1.5時(shí)的Huber法的殘差陣無(wú)法看出實(shí)際添加的粗差的位置和大小

因此，當(dāng)加入兩個(gè)粗差時(shí)，Huber 法的調(diào)和系數(shù)的取值在小于等于1.5的情況下最優(yōu)。

3 結(jié) 論

綜合加入一個(gè)粗差和2 個(gè)粗差這2 種情況下的結(jié)果分析，可以得出結(jié)論，調(diào)和系數(shù)的取值范圍會(huì)極大的影響Huber 法的抗粗差性，且調(diào)和系數(shù)的取值在小于等于1.5 的情況下是最優(yōu)的。在調(diào)和系數(shù)取值合適的情況下，Huber法具有優(yōu)良的抗粗差性。

本文研究粗淺，相信在今后的發(fā)展中，以Huber法為代表的穩(wěn)健估計(jì)各選權(quán)迭代法必將在測(cè)繪領(lǐng)域得到更加廣泛的應(yīng)用。