崔 征

?湖北省宜昌市葛洲壩中學(xué)

夏詠芳

?湖北省宜昌市夷陵中學(xué)

圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)考查的一個(gè)熱點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是計(jì)算量較大，平時(shí)的復(fù)習(xí)備考不僅要掌握常規(guī)方法和基本技能技巧，還要注意歸納總結(jié)，對(duì)于特定的問(wèn)題，還要學(xué)習(xí)一些特定的方法.如果題目中出現(xiàn)兩直線斜率之和或者之積的條件時(shí)，常常可以利用齊次化的方法大大降低計(jì)算量.接下來(lái)我們一起看看2022年的幾道高考題是如何用齊次化的方法簡(jiǎn)化計(jì)算的.

[(x-2)+2]2-2[(y-1)+1]2=2.

整理雙曲線方程，得

[(x-2)+2]2-2[(y-1)+1]2=2，

即(x-2)2+4(x-2)-2(y-1)2-4(y-1)=0.

將雙曲線與直線方程聯(lián)立，構(gòu)造齊次式得

(x-2)2+4(x-2)[m(x-2)+n(y-1)]-2×(y-1)2-4(y-1)[m(x-2)+n(y-1)]=0，

兩邊同時(shí)除以(x-2)2，可得

(-2-4n)k2+(4n-4m)k+1+4m=0.

解得n=m，代入直線l，可得l的斜率為-1.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C，直線AB,AC分別與x軸交于M,N，當(dāng)|MN|=2時(shí)，求k的值.

橢圓方程可變形為x2+4[(y-1)+1]2=4，展開(kāi)得x2+4(y-1)2+8(y-1)=0，齊次化，可得

由Δ=-32n>0，得n<0.

直線lAB方程為y=t1x+1，直線lAC方程為y=t2x+1，則兩直線與x軸的交點(diǎn)分別為

點(diǎn)評(píng)：該題第(2)問(wèn)的主要線索是|MN|=2，我們可以把|MN|的長(zhǎng)度用AB,AC的斜率表示出來(lái)，但凡碰到有斜率之和或者斜率之積，或者斜率之差，都可以用這種齊次化的方式來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算.

圖1

(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；

(2)求|CD|的最小值.

其實(shí)不僅在2022年的高考中，齊次化能發(fā)揮重大作用，在往年的高考中不少圓錐曲線問(wèn)題都可以用齊次化大大地簡(jiǎn)化運(yùn)算，比如2020年山東卷中解析幾何大題也可以用齊次化法簡(jiǎn)化計(jì)算，讀者朋友不妨嘗試一下.關(guān)于齊次化，大家還需要注意一下幾點(diǎn)：

(1)如果圓錐曲線的題目里出現(xiàn)斜率之和或者斜率之積，或者斜率之差等條件，那么就可以嘗試用齊次化來(lái)解決.

(2)如果直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)在曲線外，曲線與直線聯(lián)立后往往不僅會(huì)剩下一次項(xiàng)，還會(huì)剩下常數(shù)項(xiàng)，這個(gè)時(shí)候也可以秉承齊次化的思想加以處理，將1平方就可以構(gòu)造出二次項(xiàng)了.

(3)齊次化的方法不僅可以解決與橢圓有關(guān)的定點(diǎn)定值問(wèn)題，同樣也適用于雙曲線和拋物線，在這里就不做過(guò)多的贅述了.