于海龍 楊美林 付冬雪 于 邈

?北京市懷柔區(qū)第一中學

2022年高考數(shù)學北京卷在秉承以往穩(wěn)定的基礎上，題型出現(xiàn)了適當變化，比較有挑戰(zhàn)性，也增加了難度.試卷與往年相比，重視考查基本知識與基本方法，重點考查主干知識與核心概念的同時在創(chuàng)新上下足功夫，設置了很多創(chuàng)新和思維深刻的問題，考查學生的創(chuàng)新能力以及解決問題的能力.

1 2022年北京高考試卷特點

(1)試題結(jié)構(gòu)總體穩(wěn)定，有適當調(diào)整

相對2021年，試題結(jié)構(gòu)保持整體穩(wěn)定，知識點的覆蓋與2021年基本一致，各章節(jié)所占的分數(shù)比也與2021年基本相同.在穩(wěn)定的基礎上北京試題也做了一定的調(diào)整：第一，試題起步相對2021年略顯提高，涉及的知識點增多.如第1題，打破了以往直接求交集、并集的形式，增加了求補集的環(huán)節(jié)；第2題在解復數(shù)方程的基礎上增加了求復數(shù)模的環(huán)節(jié)，對基礎差的學生有一定影響.第二，立體幾何難度略有增加.由于2022年沒有考查三視圖(2021年的第4題)，因而在第9題考查了立體幾何的綜合題，難度增加較大；同時立體幾何解答題雖然和2021年相同，依舊作為第二個解答題，但是以劣構(gòu)形式出現(xiàn)，載體也從正方體轉(zhuǎn)變?yōu)槿庵?，學生有些不適應.第三，導數(shù)解答題相對以往的函數(shù)零點問題、最值問題轉(zhuǎn)變?yōu)殡p變量的不等式證明問題，題目有一定的創(chuàng)新，有利于對學生能力素養(yǎng)的考查.

(2)注重基本知識與基本方法的考查

2022年北京高考數(shù)學試題,突出對主干知識的重點考查，基礎題占比70%左右，考查學生基礎知識與基本方法的掌握情況，以及學生的理性思維能力.本套試題選擇題的前六道題依次考查了集合的運算、復數(shù)的運算、直線與圓、函數(shù)性質(zhì)與運算、三角函數(shù)的單調(diào)性，以及以數(shù)列為背景的充要條件問題；填空題的前三道題依次考查了函數(shù)的定義域、雙曲線的性質(zhì)、三角函數(shù)的零點與函數(shù)值；解答題依次考查了解三角形、立體幾何、概率統(tǒng)計、直線與橢圓、導數(shù)、數(shù)列的綜合應用.試題體現(xiàn)了數(shù)學知識考查的全面性、基礎性和綜合性，注重了“四基”(數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗)的考查.

(3)關注數(shù)學本質(zhì)，考查核心素養(yǎng)

試題以能力立意，強調(diào)方法與數(shù)學本質(zhì)的考查，出題方式靈活，突出數(shù)學學科素養(yǎng).第6題、第15題、第20題重點考查了學生解決問題的能力，對學生分析問題以及知識的應用能力要求相對較高，充分發(fā)揮了甄別學生能力的作用.

題1(北京卷，6)設{an}是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“{an}為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0，當n>N0時，an>0”的( ).

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

本題是一道以數(shù)列為背景的充要條件問題，屬于中檔題，考查學生對遞增數(shù)列定義的理解.當?shù)炔顢?shù)列{an}為遞增數(shù)列，則有公差d>0，通項公式為單調(diào)遞增的一次函數(shù)類型，必存在正整數(shù)N0，當n>N0時，an>0，滿足“充分性”；反過來，存在正整數(shù)N0，當n>N0時，an>0，若d<0，則會出現(xiàn)從某項開始以后各項均為負數(shù)不符合題目條件的情況，故d>0，即數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，滿足“必要性”.因此選擇：C.

題2(北京卷，15)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和Sn滿足an·Sn=9(n=1,2,……)給出下列四個結(jié)論：

①{an}的第2項小于3；②{an}為等比數(shù)列；

其中所有正確結(jié)論的序號是.

以上兩個數(shù)列問題，考查學生對知識的理解和遷移，關注數(shù)列的相關概念，并以概念為核心進行整理、分析、構(gòu)造，從而最終解決問題，強化了對“四基”的考查.

(4)注重基本思想，突出對數(shù)學思想方法的考查

北京卷基于數(shù)學課標，有效檢測學生對數(shù)學基礎知識和基本思想方法的掌握情況.

A.[-5,3] B.[-3,5]

C.[-6,4] D.[-4,6]

本題考查向量數(shù)量積的最值問題，出現(xiàn)在填空題的壓軸位置，屬于難題.該題體現(xiàn)的是化歸與轉(zhuǎn)化思想，從平面幾何切入，研究向量的數(shù)量積問題.學生可以用坐標法、向量數(shù)量積的幾何意義來解決.考查學生對通法的應用和對數(shù)學本質(zhì)的理解.

①坐標法：

如圖1，以點C為坐標原點，以CA,CB分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，可知C(0,0),A(3,0),B(0,4).

圖1

②應用數(shù)量積的幾何意義：

以上兩種方法都是解決向量問題的基本方法.坐標法，避免復雜的邏輯推理，借助坐標運算簡化問題，降低思維的難度.幾何法，通過向量的線性運算、數(shù)量積的幾何意義來解決問題.這兩種方法也體現(xiàn)了向量概念的本質(zhì)，集數(shù)與形于一身，既有大小又有方向，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，實現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化.

(5)聯(lián)系生活，突出考查運用數(shù)學知識解決問題的能力

圖2

題4(北京卷，7)在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻.圖2描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是( ).

A.當T=220，P=1 026時，二氧化碳處于液態(tài)

B.當T=270，P=128時，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當T=300，P=9 987時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當T=360，P=729時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

本題的背景是“冰絲帶”國家速滑館，場館采用二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，碳排放趨近于零，試題取材源于社會，源于真實情境，考查學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

(6)突出綜合與創(chuàng)新，注重關鍵能力的培養(yǎng)

北京高考導數(shù)解答題常常創(chuàng)新問題情境，題目靈活多變，特色鮮明，對學生的創(chuàng)新思維能力有較高的要求.

題5(北京卷第20題第Ⅲ問)已知函數(shù)f(x)=exln(1+x).證明：對任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t).

本題屬于導數(shù)的綜合問題，證明雙變量的不等式恒成立，綜合性較強，考查了學生的綜合能力，要求較高.可從以下幾點切入.

切入點一：代數(shù)維度.

通法處理.通過移項構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)的最值問題.考慮到本題的不等式中有兩個變量，兩側(cè)均有相同的變量，故需要選擇其中一個為主元，令m(s)=f(s+t)-f(s)-f(t)，通過導數(shù)證明m(s)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，再由s>0,得m(s)>m(0)，即f(s+t)-f(s)-f(t)>f(0+t)-f(0)-f(t)=-f(0)=0，完成證明.

切入點二：幾何維度.

關注函數(shù)本身蘊含的結(jié)構(gòu)上的特征(縱坐標之差)，通過調(diào)整結(jié)構(gòu)進行等價轉(zhuǎn)化，進而構(gòu)造函數(shù).將證原不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x+t)-f(x)，則只需證明F(s)>F(0)即可.

切入點三：數(shù)形結(jié)合維度.

第20題第Ⅲ問突出綜合能力的考查.近年來對于函數(shù)與導數(shù)高考題的命制，我們發(fā)現(xiàn)北京卷導數(shù)題題干簡潔、大氣，問題設計巧妙；各小問之間往往呈現(xiàn)關聯(lián)性，由淺入深，由易到難；重點考查導數(shù)的基礎知識和基本思想，突出考查導數(shù)的本質(zhì).在研究導數(shù)問題的過程中，要注意關注問題的連貫性，要會借助上一問的結(jié)論解決下一問，分析條件和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，尋求解題思路，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)解決問題.

2 2023年北京數(shù)學學科高考備考建議

通過以上2022年北京試卷特點的分析，筆者對2023年的高考備考有以下想法：

(1)突出教材與課標地位，依綱據(jù)本，落實“四基”

北京高考題始終堅持注重基礎、突出考查高中數(shù)學主干知識的優(yōu)良傳統(tǒng)，數(shù)學核心素養(yǎng)與基礎知識和主干知識密不可分.對比2022年與2021年北京高考試卷，發(fā)現(xiàn)它們在知識點的分布、章節(jié)知識的占比上高度一致.因此，在教學中應突出“四基”，對重點內(nèi)容與方法進行不斷強化.

(2)關注知識的生成，重視通性通法的教學

北京卷中的一些常規(guī)題，如2022年的第1題集合的交集、第2題復數(shù)運算、第3題直線與圓位置關系、第5題三角函數(shù)單調(diào)性、第8題二項式定理、第11題函數(shù)的定義域、第12題雙曲線的漸近線、第13題三角函數(shù)的零點，以及前三個解答題中的解三角形、立體幾何證明與計算、概率統(tǒng)計等題，方法相對單一，基本依靠通法可以解決.從題目來看，關注知識的生成，重視通性通法的教學，對學生拿到基礎分數(shù)意義重大.

(3)重視數(shù)學思想的培養(yǎng)，提升學科素養(yǎng)

北京卷中的試題相對靈活，立意新，數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想方法應用較多，考查學生綜合應用知識的能力.新課程中，學生學習基礎知識的過程中獲得的數(shù)學思想方法是形成能力與核心素養(yǎng)的基礎和關鍵，教學中只有不斷滲透，讓學生感受結(jié)論與方法的形成過程，才能使學生逐步體會、理解并應用數(shù)學思想方法解決問題.

(4)注重學生綜合能力的培養(yǎng)

對數(shù)學綜合能力的考查，強調(diào)探究性、綜合性、應用性.2022年北京高考題中有些題突出能力立意，堅持素質(zhì)導向.如，選擇題第9題的立體幾何問題，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題；第10題需要將向量數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題或向量數(shù)量積的幾何意義問題；第20題的第Ⅲ問，需要將不等式的證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，或構(gòu)造函數(shù)應用函數(shù)單調(diào)性、不等式性質(zhì)等解決問題.試卷中，部分試題還涉及到數(shù)學建模思想，對試題考查內(nèi)容的背景及本質(zhì)要求較高.因此,在對學生綜合能力的培養(yǎng)上，不要局限于知識本身的綜合，更重要的是知識與方法之間的綜合，將綜合能力的提升貫穿于整個教學過程，形成系統(tǒng)方法.