李中勇 郭萬里 秦 君
?四川外語學(xué)院重慶第二外國語學(xué)校
(1)求C的方程;
①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.
思路1:此題涉及直線PQ與雙曲線相交,因此可以利用解析幾何常規(guī)處理方法,先從設(shè)直線著手.設(shè)出直線PQ的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理得出x1+x2,x1x2.以P,Q的坐標(biāo)為載體,根據(jù)直線PM,QM的斜率,可以利用直線方程的點斜式寫出PM,QM直線方程,聯(lián)立得出點M的坐標(biāo),進(jìn)而得出點M的軌跡方程.同時,可以用點差法研究AB中點N的軌跡.對照二者的軌跡方程,可以任意選擇①③?②或①②?③或②③?①.
思路2:從條件入手,不同的條件對應(yīng)不同的解法思路.
(2)參考新人教A版選擇性必修第一冊(2020年5月第1版)第128頁習(xí)題3.2拓廣探索第13題,根據(jù)直線PQ與雙曲線相交,并結(jié)合|MA|=|MB|,可以聯(lián)想到中點弦問題.
(3)參考新人教A版選擇性必修第一冊(2020年5月第1版)第68頁探究與發(fā)現(xiàn),根據(jù)①M在AB上,及③|MA|=|MB|,可以聯(lián)想到利用直線參數(shù)方程中t的幾何意義和傾斜角α來解決問題.
解法思維導(dǎo)圖如圖1所示.
圖1
解法1:軌跡探索.
(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.
圖2
設(shè)點M的坐標(biāo)為(xM,yM),則
設(shè)A(x3,y3),B(x4,y4),AB中點為N(x0,y0).
若選擇①②?③.
若選擇①③?②.
若點M,N重合,則k=kAB,所以PQ∥AB.
若選擇②③?①.
因為PQ∥AB,k=kAB,則M,N重合,所以M在AB上.
解法2:選擇①③?②,通過尋找點之間的關(guān)系,利用中點和斜率坐標(biāo)表示.
解法3:選擇①③?②,雙曲線的點差法與退化雙曲線(漸近線)的點差法相結(jié)合.
由題意,可設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),N為PQ的中點.
前面已經(jīng)由點差法得到kAB·kOM=3.
同理可得kPQ·kON=3.
即kAB·kOM=kPQ·kON
綜上可得kAB=kPQ,即PQ∥AB.
解法4:設(shè)M(x0,y0),則直線PM的方程為
即kAB=kPQ,所以PQ∥AB.
思考:在上述試題解法中,并沒有用到直線AB過雙曲線的右焦點F這一條件,因此直線AB不經(jīng)過雙曲線的焦點F,本題的結(jié)論依然成立.
圖3
(1)求Γ的方程;
(2)如圖3,過原點O作相互垂直的直線l1,l2分別交雙曲線于A,B兩點和C,D兩點,A,D在x軸同側(cè).設(shè)直線AD與漸近線分別交于M,N兩點,是否存在直線AD使M,N為線段AD的三等分點?若存在,求出直線AD的方程;若不存在,請說明理由.