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        追本溯源:2022年新高考Ⅱ卷第21題解法探究

        2023-03-11 05:45:32李中勇郭萬里
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2023年3期
        關(guān)鍵詞:漸近線差法雙曲線

        李中勇 郭萬里 秦 君

        ?四川外語學(xué)院重慶第二外國語學(xué)校

        1 試題再現(xiàn)

        (1)求C的方程;

        ①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.

        2 第(2)問解法分析

        思路1:此題涉及直線PQ與雙曲線相交,因此可以利用解析幾何常規(guī)處理方法,先從設(shè)直線著手.設(shè)出直線PQ的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理得出x1+x2,x1x2.以P,Q的坐標(biāo)為載體,根據(jù)直線PM,QM的斜率,可以利用直線方程的點斜式寫出PM,QM直線方程,聯(lián)立得出點M的坐標(biāo),進(jìn)而得出點M的軌跡方程.同時,可以用點差法研究AB中點N的軌跡.對照二者的軌跡方程,可以任意選擇①③?②或①②?③或②③?①.

        思路2:從條件入手,不同的條件對應(yīng)不同的解法思路.

        (2)參考新人教A版選擇性必修第一冊(2020年5月第1版)第128頁習(xí)題3.2拓廣探索第13題,根據(jù)直線PQ與雙曲線相交,并結(jié)合|MA|=|MB|,可以聯(lián)想到中點弦問題.

        (3)參考新人教A版選擇性必修第一冊(2020年5月第1版)第68頁探究與發(fā)現(xiàn),根據(jù)①M在AB上,及③|MA|=|MB|,可以聯(lián)想到利用直線參數(shù)方程中t的幾何意義和傾斜角α來解決問題.

        解法思維導(dǎo)圖如圖1所示.

        圖1

        3 具體解法

        解法1:軌跡探索.

        (3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.

        圖2

        設(shè)點M的坐標(biāo)為(xM,yM),則

        設(shè)A(x3,y3),B(x4,y4),AB中點為N(x0,y0).

        若選擇①②?③.

        若選擇①③?②.

        若點M,N重合,則k=kAB,所以PQ∥AB.

        若選擇②③?①.

        因為PQ∥AB,k=kAB,則M,N重合,所以M在AB上.

        解法2:選擇①③?②,通過尋找點之間的關(guān)系,利用中點和斜率坐標(biāo)表示.

        解法3:選擇①③?②,雙曲線的點差法與退化雙曲線(漸近線)的點差法相結(jié)合.

        由題意,可設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),N為PQ的中點.

        前面已經(jīng)由點差法得到kAB·kOM=3.

        同理可得kPQ·kON=3.

        即kAB·kOM=kPQ·kON

        綜上可得kAB=kPQ,即PQ∥AB.

        解法4:設(shè)M(x0,y0),則直線PM的方程為

        即kAB=kPQ,所以PQ∥AB.

        4 思考與延伸

        思考:在上述試題解法中,并沒有用到直線AB過雙曲線的右焦點F這一條件,因此直線AB不經(jīng)過雙曲線的焦點F,本題的結(jié)論依然成立.

        圖3

        (1)求Γ的方程;

        (2)如圖3,過原點O作相互垂直的直線l1,l2分別交雙曲線于A,B兩點和C,D兩點,A,D在x軸同側(cè).設(shè)直線AD與漸近線分別交于M,N兩點,是否存在直線AD使M,N為線段AD的三等分點?若存在,求出直線AD的方程;若不存在,請說明理由.

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