申永強(qiáng)

（冀中能源股份有限公司 東龐礦，河北 邢臺(tái) 054201）

0 引 言

煤礦對(duì)應(yīng)煤層原煤浮沉基元灰分與密度的線性回歸方程可以應(yīng)用于該礦選煤廠實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)核對(duì)；在對(duì)原煤分組入洗確保最大產(chǎn)率時(shí)，也可使用線性回歸方程對(duì)等基元灰分的分選密度進(jìn)行預(yù)測(cè)；分配曲線的繪制也要用到平均密度，而分配曲線廣泛地用于分選設(shè)備的評(píng)價(jià)和產(chǎn)品的預(yù)測(cè)優(yōu)化。因此，平均密度的精確計(jì)算非常重要，一般情況下都是借助于計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行精確計(jì)算，復(fù)雜繁瑣。本文提供了一種借助Excel完成平均密度精確計(jì)算的簡(jiǎn)便方法。

1 平均密度精確計(jì)算公式變形

根據(jù)《評(píng)定煤用重選設(shè)備工藝性能的計(jì)算機(jī)算法》的規(guī)定，遵循質(zhì)量守恒原理，平均密度的計(jì)算可以按照如下公式進(jìn)行精確計(jì)算：

通過對(duì)平均密度計(jì)算公式的變形，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)計(jì)算問題，即密度曲線數(shù)學(xué)模型的建立和數(shù)值積分的計(jì)算。

2 密度曲線數(shù)學(xué)模型的建立

以東龐2號(hào)煤原煤50～0.5 mm粒度級(jí)浮沉試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用改進(jìn)的LOGITISC、雙曲正切、復(fù)合雙曲正切三種模型進(jìn)行擬合，選擇擬合誤差最小的模型作為浮物累計(jì)產(chǎn)率與密度函數(shù)關(guān)系，求導(dǎo)獲得的表達(dá)式。

2.1 浮物累計(jì)產(chǎn)率與密度函數(shù)關(guān)系的獲得

東龐2號(hào)煤原煤50～0.5 mm粒度級(jí)浮沉數(shù)據(jù)見表1。

表1 東龐2號(hào)煤原煤50～0.5mm粒度級(jí)浮沉組成Table 1 Composition of 50～0.5 mm particle size grade float and sink of Dongpang No.2 coal

利用excel中規(guī)劃求解功能，獲得各種模型的參數(shù)和擬合誤差[3]，擬合過程不再敘述。密度曲線模型見表2。

表2 密度曲線模型Table 2 Density curve model

雙曲正切模型的擬合誤差最小為0.40，滿足《評(píng)定煤用重選設(shè)備工藝性能的計(jì)算機(jī)算法》的規(guī)定，故浮物累計(jì)產(chǎn)率與密度關(guān)系的表達(dá)式為：

對(duì)式（2）求導(dǎo)獲得的表達(dá)式：

將式（3）的表達(dá)式代入式（1）中，獲得平均密度的計(jì)算公式：

式（2）式（3）式（4）中，a=-381.470 36；b=382.098 80；c=5.805 19；d=0.668 83。

至此，將平均密度的計(jì)算公式轉(zhuǎn)化為以密度為變量的定積分函數(shù)。

2.2 常用模型函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

為了方便獲得平均密度變形公式的表達(dá)式，將選煤上常用數(shù)學(xué)模型函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行匯總，見表3。

表3 常用模型函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)Table 3 Derivative functions of common model functions

3 平均密度的確定

各密度級(jí)平均密度確定包括中間密度級(jí)和端部密度級(jí)。而端部密度級(jí)平均密度可以通過中間各密度級(jí)的平均密度對(duì)平均灰分的線性回歸方程外推獲得[4]，計(jì)算較為簡(jiǎn)單，因此本文不再做端部密度平均密度的計(jì)算部分。

由于中間密度級(jí)的平均密度的精確計(jì)算公式式（4）中包含有積分項(xiàng)，用Excel直接計(jì)算較為困難，故利用數(shù)值積分計(jì)算方法[5]：只利用有限個(gè)節(jié)點(diǎn)和函數(shù)在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值的四則運(yùn)算，近似計(jì)算出平均密度，進(jìn)而再借助Excel工具實(shí)現(xiàn)平均密度的精確計(jì)算。

關(guān)于數(shù)值積分計(jì)算的方法較多，本文采用計(jì)算較為簡(jiǎn)單的三點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式進(jìn)行近似計(jì)算，具有5次代數(shù)精度。

3.1 一般有限區(qū)間的三點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式

對(duì)于一般有限區(qū)間[a,b]，三點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式：余項(xiàng)為：

式中：xi和Ai分別為高斯點(diǎn)和高斯系數(shù),η∈(-1,1)。其中，余項(xiàng)的實(shí)質(zhì)為近似計(jì)算的誤差。

高斯-勒讓德求積公式一般表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)槿c(diǎn)高斯-勒讓德求積公式，高斯點(diǎn)和高斯系數(shù)通過查表獲得。常用的高斯點(diǎn)和高斯系數(shù)見表4。

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3.2 中間密度級(jí)平均密度的e xce l表格計(jì)算過程

為了方便理解計(jì)算，將所有步驟按表5格式在Excel中依次輸入數(shù)據(jù)。

表5 高斯積分法平均密度計(jì)算表Table 5 Gauss integral method average density calculation table

（1）取中間各個(gè)密度級(jí)的下限和上限，分別放入第2、3列；計(jì)算（b-a）/2和（b+a）/2的值，分別放入第4、5列。

（2）從表4中選取A0、X0和A1、X1和A2、X2的值，分別放入第6、7列和第10、11列和第14、15列。

（3）分別計(jì)算當(dāng)i=0、1、2時(shí)的值，作為t0、t1、t2，放入第8、12、16列。

（4）在第9、13、17列分別輸入以t0、t1、t2單元格為變量的目標(biāo)函數(shù)——式（4）積分項(xiàng)中的被積函數(shù)。其中a=-381.470 35、b=382.098 80、c=5.805 19、d=0.668 83，ti為變量。

（5）分別計(jì)算當(dāng)i=0、1、2時(shí)的值，作為∑0、∑1、∑2，放入第18、19、20列；并計(jì)算∑0+∑1+∑2的值，放入第21列。

（6）各密度級(jí)的產(chǎn)率從表2中選取雙曲正切列的數(shù)據(jù)，計(jì)算yi-yi-1的值，放入第22列；并計(jì)算(yi-yi-1)/(∑0+∑1+∑2)的值，放入第23列，即為平均密度。

3.3 高斯求積公式計(jì)算平均密度的誤差分析

在對(duì)三點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式近似計(jì)算獲得的平均密度的值進(jìn)行誤差分析時(shí)，雖然可以對(duì)式（7）所示的余項(xiàng)的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，但計(jì)算難度較大，較為復(fù)雜，且計(jì)算機(jī)編程計(jì)算結(jié)果的精度較高。故本文以計(jì)算機(jī)編程計(jì)算結(jié)果為真值，對(duì)高斯法計(jì)算平均密度進(jìn)行誤差分析，見表6。為了方便進(jìn)行誤差分析，增加表5中平均密度列所數(shù)據(jù)小數(shù)點(diǎn)后保留的位數(shù)，并列于表6中。

續(xù)表

表6 高斯法計(jì)算平均密度誤差分析Table 6 Gauss method to calculate the average density error analysis

從表6可以看出，高斯法計(jì)算結(jié)果中，1.4～1.45和1.45～1.6密度級(jí)平均密度的計(jì)算誤差最小，其次是1.3～1.4和1.5～1.6密度級(jí)，而1.6～1.8密度級(jí)計(jì)算誤差最大，絕對(duì)誤差停留在小數(shù)點(diǎn)后第四位。

從一般有限區(qū)間的三點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式余項(xiàng)的表達(dá)式也可以得出，密度級(jí)越寬，高斯法計(jì)算誤差越大。

4 結(jié) 論

（1）借助Excel計(jì)算工具，運(yùn)用三點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式，可以較為精確地獲得各密度級(jí)的平均密度。

（2）該方法利用Excel可以完成所有計(jì)算，既簡(jiǎn)單精度又高，密度級(jí)范圍為0.2 g/L時(shí)，絕對(duì)誤差停留在小數(shù)點(diǎn)后第四位，密度級(jí)范圍為0.1 g/L時(shí)，絕對(duì)誤差停留在小數(shù)點(diǎn)后第六位，可以滿足實(shí)際使用要求。