林 柔，趙 敏，張金璐

(溫州大學(xué)數(shù)理學(xué)院，浙江 溫州 325035)

動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)際上會(huì)受隨機(jī)因素的影響，隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)（Random Dynamical Systems, RDS）引起了廣泛研究，如自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的隨機(jī)吸引子[1-4]、非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)（Non-autonomous Random Dynamical Systems, NRDS）的隨機(jī)拉回吸引子[5-8]和隨機(jī)一致吸引子[9].這些吸引子吸引軌道的速度可能很慢，維數(shù)可能是無窮維的，不利于數(shù)值估計(jì)和應(yīng)用.為解決這些問題，有學(xué)者研究了RDS 的隨機(jī)指數(shù)吸引子的存在性[10-15]，該吸引子指數(shù)率吸引隨機(jī)集且分形維數(shù)有限.Shirikyan 等在文獻(xiàn)[10]中研究了自治RDS 的隨機(jī)指數(shù)吸引子的存在性.Zhou 在文獻(xiàn)[11]中給出了NRDS 的隨機(jī)指數(shù)吸引子存在性條件并應(yīng)用于一階格點(diǎn)系統(tǒng).Han 等在文獻(xiàn)[12]中給出了NRDS隨機(jī)一致指數(shù)吸引子的存在性準(zhǔn)則并應(yīng)用于一階格點(diǎn)系統(tǒng).

非線性Schr?dinger 方程可以描述微觀粒子的狀態(tài)隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是量子力學(xué)中基本方程之一，廣泛應(yīng)用于固體物理與核物理等領(lǐng)域[16].本文主要考慮?N上帶擬周期外力和可乘白噪聲的Schr?dinger 格點(diǎn)系統(tǒng)（1）的隨機(jī)一致指數(shù)吸引子的存在性.

其中，i 表示虛數(shù)單位；σ∈Tl，σ～(t) =(xt+σ)mod( Tl)∈Tl，x=(x1, …,xl)∈Rl是固定向量，x1, … ,xl是有理獨(dú)立的；a,b∈R；A是線性耦合算子，A=A1+A2+ …+AN，(A ju)k=2u(k1,k2,…,kN)-u(k1,…,kj-1,…,kN)-u(k1,…,kj+1,…,kN)，j= 1,…,N；k=(k1,k2, …,kN)∈?N，λk> 0，u k,gk∈C,表示uk的模長，∈ R.W(t)是概率空間( Ω, F, P)上的雙邊實(shí)值維納過程，其中Ω={ω∈C( R , RN):ω(0) =0}.F 是Ω 的緊開拓?fù)湔T導(dǎo)的Borel-σ代數(shù)，P為F 上的維納測度[1].對(duì)?ω∈Ω，W(t,ω)=ω(t).u k?W˙表示Stratonovich 意義下的隨機(jī)項(xiàng).

當(dāng)系統(tǒng)（1）中k∈?N，即N= 1時(shí)，對(duì)于自治確定性系統(tǒng)（1）（gk(σ(t))=gk∈R,a=b= 0），Karachalios 等在文獻(xiàn)[17]中證明了其全局吸引子的存在性，周盛凡等在文獻(xiàn)[18]中進(jìn)一步證明了其指數(shù)吸引子的存在性，Chen 等在文獻(xiàn)[19]中得到了其帶時(shí)滯項(xiàng)時(shí)全局吸引子的存在性.對(duì)于非自治確定性系統(tǒng)（1）（gk(σ(t))=g k(t)∈C,a=b= 0），周盛凡等在文獻(xiàn)[20]中證明了其拉回指數(shù)吸引子和一致指數(shù)吸引子的存在性.對(duì)于自治隨機(jī)系統(tǒng)（1）（gk(σ(t))=gk∈R,a∈R,b= 0），崔紅珍等在文獻(xiàn)[4]中證明了其隨機(jī)吸引子的存在性.對(duì)于非自治隨機(jī)系統(tǒng)（1）（gk(σ(t))=g k(t)∈C,a∈R,b= 0），江旭瑩等在文獻(xiàn)[13]中證明了其隨機(jī)指數(shù)吸引子的存在性.對(duì)于非自治隨機(jī)系統(tǒng)（1），Zhang 等在文獻(xiàn)[15]中證明了其隨機(jī)一致指數(shù)吸引子的存在性.當(dāng)系統(tǒng)（1）中k∈?N(N≥2)時(shí)，對(duì)于自治確定性系統(tǒng)（1），Karachalios 等在文獻(xiàn)[21]中證明了其全局吸引子的存在性.對(duì)于受到非線性噪聲擾動(dòng)的系統(tǒng)，Wang 等在文獻(xiàn)[8]中證明了其弱拉回隨機(jī)吸引子的存在性.對(duì)于 ?N(N≥2)上系統(tǒng)（1）的隨機(jī)一致指數(shù)吸引子未見任何研究.

本文結(jié)合文獻(xiàn)[12]來證明系統(tǒng)（1）在 ?N(N≥2)上存在隨機(jī)一致指數(shù)吸引子，得到該吸引子的分形維數(shù)上界，該上界與N有關(guān).

1 系統(tǒng)（1）的隨機(jī)一致指數(shù)吸引子

系統(tǒng)（1）可以寫成如下等價(jià)的向量形式：

為了方便，在下文中將Ω～ 記為Ω.

2）對(duì)任意ω∈Ω，

其中， Γ ()· 是Gamma 函數(shù)，E 表示期望.

對(duì)（1）中的kλ，gk，f，a作如下的假設(shè)：

其中，D是 ?2的隨機(jī)有界集.

接下來證明連續(xù)余圈φ的D-隨機(jī)一致指數(shù)吸引子的存在性.

2 一致吸收集

其中，

3 解在 ? 2中的尾估計(jì)

對(duì)任意ω∈Ω，令T*(ω)=T(ω,B0)，記：

其中，π 是由φ和?生成的斜積余圈.

其中γ1,I在下文中給出.

在[0,t] 上對(duì)（12）式應(yīng)用Gronwall 不等式，結(jié)合（9）式，有：

4 隨機(jī)一致指數(shù)吸引子

對(duì)任意ω∈Ω，s≥0 和e>0 ，記：

為得到φ的隨機(jī)一致指數(shù)吸引子的存在性，需要證明π 存在隨機(jī)指數(shù)吸引子.接下來驗(yàn)證π的Lipschitz 連續(xù)性.對(duì)任意r≥ 0，ω∈Ω，{σi}×∈B(θ-tω)，i=1,2，令：

引理4 說明了π 在B 上的Lipschitz 連續(xù)性.

引理4 對(duì)任意r≥ 0，t≥ 0，ω∈Ω 和{σi}×∈B(θ-tω)，i=1,2，存在隨機(jī)變量C1(ω) ≥ 0，使得下面的不等式成立.

證明：在 ?2中對(duì)（18）式和y(r)取內(nèi)積，可得：

由B 的性質(zhì)1）―3），可得：

由（20）式―（24）式可知：

證畢.

引理5 對(duì)任意t≥ 0，ω∈Ω 和I( ≥ 1)∈ N，存在隨機(jī)變量C2(ω),C3(ω) ≥ 0和投影Pl+(8I+1)N:Tl× ?2→ Tl×，使得對(duì)任意{σi}×∈B(θ-tω)，i=1,2，有：

在 ?2中對(duì)（18）式和q取內(nèi)積，有：

計(jì)算可得：

由（15）式和（17）式，對(duì)I( ≥ 1)∈N 有：

因此，對(duì)M≥2I，可得：

由（25）式、（27）式―（31）式，對(duì)M≥2I，有：

證畢.

根據(jù)（3）式―（4）式和（34）式，有：

證畢.

定理1 假設(shè)（A1）―（A4）、（34）式和（35）式成立，則{φ(t,ω,σ)}t≥0,ω∈Ω,σ∈Tl存在D-隨機(jī)一致指數(shù)吸引子{M (ω)}ω∈Ω，并具有以下性質(zhì)：