王鎖柱，楊天鵬，楊依峰，秦緒國(guó)，蘇 偉

可壓縮槽道流動(dòng)的大渦模擬研究

王鎖柱，楊天鵬，楊依峰，秦緒國(guó)，蘇 偉

（北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所，北京，100076）

可壓縮湍流邊界層是高速飛行器研究面臨的基礎(chǔ)科學(xué)問題，對(duì)其流動(dòng)機(jī)理的認(rèn)識(shí)對(duì)于高速飛行器氣動(dòng)力熱設(shè)計(jì)具有重要意義。采用大渦模擬方法對(duì)可壓縮槽道流動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，并基于Favré過濾建立了適用于可壓縮流動(dòng)的大渦模擬方法，將混合亞格子模型延拓到了動(dòng)態(tài)形式，形成了適用于可壓縮流動(dòng)的動(dòng)態(tài)混合模型。通過分析亞格子模型、網(wǎng)格疏密和計(jì)算格式對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果的影響，結(jié)果表明所建立的大渦模擬方法在較少網(wǎng)格數(shù)下能夠獲得可靠的計(jì)算結(jié)果。數(shù)值模擬還獲得了可壓縮槽道流動(dòng)時(shí)間轉(zhuǎn)捩的過程，捕捉到了大尺度旋渦結(jié)構(gòu)和近壁速度條帶結(jié)構(gòu)的演化過程。

可壓縮湍流；槽道流動(dòng)；大渦模擬

0 引 言

可壓縮湍流現(xiàn)象廣泛存在于高速飛行器的邊界層流動(dòng)中，具有多尺度、高頻脈動(dòng)、強(qiáng)非線性等特點(diǎn)，對(duì)其流動(dòng)機(jī)理的研究對(duì)于高速飛行器設(shè)計(jì)具有重要意義。隨著計(jì)算流體力學(xué)（Computational Fluid Dynamics, CFD）和計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)值模擬方法已經(jīng)成為可壓縮湍流問題的重要研究手段。

大渦模擬（Large Eddy Simulation，LES）是綜合考慮了工程應(yīng)用的要求以及計(jì)算能力的局限而發(fā)展起來(lái)的一種介于雷諾平均方法（Reynolds Averaged Navier-Stokes，RANS）和直接數(shù)值模擬（Direct Numerical Simulation，DNS）之間的數(shù)值方法。一方面，LES比RANS易于建立更為普適通用的湍流模型，能夠獲得真實(shí)的瞬態(tài)流場(chǎng)信息，可用于預(yù)測(cè)分離、轉(zhuǎn)捩等復(fù)雜流動(dòng)。另一方面，有效的亞格子模型可使LES所需網(wǎng)格總數(shù)比DNS少一到兩個(gè)數(shù)量級(jí)，從而其計(jì)算量要明顯少于DNS。亞格子模型是大渦模擬的核心問題之一，對(duì)于大渦模擬的準(zhǔn)確性和計(jì)算效率起關(guān)鍵作用。Smagorinsky模型[1]是最早的亞格子模型，其簡(jiǎn)單易行，計(jì)算穩(wěn)定性和魯棒性也較好，但包含非普適的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，同時(shí)耗散性過大。隨后發(fā)展的尺度相似模型[2]能夠較準(zhǔn)確地表達(dá)大尺度和小尺度間的動(dòng)量輸運(yùn)關(guān)系，其缺陷是耗散嚴(yán)重不足，數(shù)值計(jì)算存在穩(wěn)定性問題。綜合Smagorinsky模型和尺度相似模型的優(yōu)點(diǎn)可形成混合模型[3]，既有正確的亞格子動(dòng)量輸運(yùn)，也有足夠的亞格子耗散。Germano等[4]提出了著名的動(dòng)態(tài)模型，該模型本身不提出新的模型，而是建立在給定的基準(zhǔn)模型上，通過動(dòng)態(tài)方法確定模型中的系數(shù)，如動(dòng)態(tài)Smagorinsky模型、動(dòng)態(tài)混合模型[5]等。

可壓縮槽道流動(dòng)作為一種可壓縮壁湍流，不僅包含了壁面效應(yīng)，還可體現(xiàn)可壓縮效應(yīng)的影響，是一種典型的可壓縮湍流流動(dòng)。Gamet等[6]對(duì)馬赫數(shù)為0.2的槽道流動(dòng)進(jìn)行了DNS研究，由于馬赫數(shù)較低，流場(chǎng)特征與不可壓湍流非常接近。Lenormand等[7]采用LES對(duì)馬赫數(shù)為0.5和1.5的槽道湍流進(jìn)行了模擬，研究了不同亞格子模型對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。Mossi和Sagaut[8]也對(duì)馬赫數(shù)為0.5和1.5的槽道湍流進(jìn)行了模擬，分析了不同激波捕獲格式對(duì)LES結(jié)果的影響。李新亮等[9]采用DNS研究了馬赫數(shù)為0.8的可壓縮槽道湍流場(chǎng)，分析了壓縮性效應(yīng)對(duì)近壁相干結(jié)構(gòu)的影響。

本文采用大渦模擬方法對(duì)馬赫數(shù)為0.5的可壓縮槽道流動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，分析了亞格子模型、網(wǎng)格疏密和計(jì)算格式對(duì)大渦模擬結(jié)果的影響，并給出了可壓縮槽道流動(dòng)時(shí)間轉(zhuǎn)捩過程中大尺度流向渦和近壁速度條帶結(jié)構(gòu)的演化過程。

1 物理模型和數(shù)值方法

1.1 物理模型

槽道流動(dòng)示意如圖1所示，兩個(gè)平行平板間充滿粘性可壓縮流體沿流向運(yùn)動(dòng)。設(shè)笛卡爾坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸、和方向分別平行于流向、法向和展向，為槽道半高。本文取槽道的半高=1，=1對(duì)應(yīng)槽道的中心線。

圖1 槽道流動(dòng)示意

在不可壓縮槽道流動(dòng)的數(shù)值模擬中，為了保證流向的周期性，通常假設(shè)流動(dòng)是由均勻壓力梯度驅(qū)動(dòng)的，即以流向壓差平衡上下壁面的摩擦。但在可壓縮槽道流動(dòng)的模擬中，若仍假設(shè)由平均壓力梯度驅(qū)動(dòng)，則流場(chǎng)中必然誘導(dǎo)出密度和溫度梯度，進(jìn)而影響整個(gè)流場(chǎng)參變量的分布，導(dǎo)致流向的周期條件無(wú)法維持。本文采用Coleman等[10]提出的可壓縮槽道流動(dòng)的驅(qū)動(dòng)模型，認(rèn)為流體是在均勻體積力的作用下流動(dòng)，即通過在流向動(dòng)量方程中添加體積力項(xiàng)1對(duì)壁面摩擦力進(jìn)行平衡，以保證流場(chǎng)變量滿足流向的周期性條件，同時(shí)在能量方程也需要引入一項(xiàng)11。為避免計(jì)算體積力時(shí)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定，本文采用Lenormand等[11]發(fā)展的可壓縮流動(dòng)修正算法來(lái)更新每一時(shí)間步的體積力。

1.2 大渦模擬方法

引入Favré過濾后，除密度和壓強(qiáng)仍采用直接空間過濾表示外，其余流場(chǎng)變量，如速度場(chǎng)、溫度等均取Favré過濾量，則可導(dǎo)出基于Favré過濾后的N-S方程組為

其中，模型系數(shù)、I可基于瞬態(tài)流場(chǎng)動(dòng)態(tài)計(jì)算得到。

采用有限差分法對(duì)大渦模擬控制方程進(jìn)行離散求解。對(duì)流項(xiàng)經(jīng)通量分裂后采用五階迎風(fēng)型緊致格式[12]，粘性項(xiàng)則采用六階中心型緊致格式[13]，時(shí)間離散采用滿足TVD特性的三階Runge-Kutta方法。

1.3 初始條件和邊界條件

對(duì)于充分發(fā)展的槽道湍流，流向和展向是均勻同性的。因此可以沿流向和展向采用周期邊界條件，法向上下壁面采用等溫?zé)o滑移條件，即=w和w=0。

槽道初始的速度場(chǎng)、溫度場(chǎng)按二維層流Poiseuille流動(dòng)的解析解給出，密度場(chǎng)則設(shè)為均勻分布。為了誘導(dǎo)初始層流流動(dòng)順利轉(zhuǎn)捩為充分發(fā)展的湍流流動(dòng)，在流向速度中需要加入一定幅值的隨機(jī)擾動(dòng)。具體初始條件如下：

2 結(jié)果分析

本文對(duì)馬赫數(shù)為0.5的亞聲速槽道流動(dòng)的時(shí)間轉(zhuǎn)捩過程進(jìn)行了大渦模擬研究。計(jì)算域沿流向、法向和展向的長(zhǎng)度分別為2π、2和4π/3，基于體積平均密度、體積速度、槽道半高和壁面粘性系數(shù)的雷諾數(shù)為3000。計(jì)算網(wǎng)格在流向和展向均勻分布，在法向采用雙曲拉伸對(duì)壁面網(wǎng)格加密。槽道流動(dòng)在流向隨機(jī)擾動(dòng)的作用下發(fā)生了明顯的時(shí)間轉(zhuǎn)捩，從層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥耆牧?。本文?duì)處于完全湍流狀態(tài)下的流場(chǎng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，由于流向和展向的均勻性，統(tǒng)計(jì)除了按時(shí)間平均，也沿流向和展向進(jìn)行空間平均。

2.1 亞格子模型影響

為了考察不同亞格子模型對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，本文采用4種不同亞格子模型分別對(duì)可壓縮槽道流動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬。表1給出了不同亞格子模型計(jì)算得到的典型平均量的對(duì)比。表中f為壁面摩擦系數(shù)、τ為摩擦雷諾數(shù)、u為壁面摩擦速度、c為槽道中心處速度、b為體積速度。DMM代表本文所發(fā)展的動(dòng)態(tài)混合模型，SM代表Smagorinsky模型，DSM代表動(dòng)態(tài)Smagorinsky模型，HSSM代表混合模型。表中還給出了幾組對(duì)比數(shù)據(jù)，NAH代表Niederschulte等[14]的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，KMM代表Kim等[15]的不可壓縮DNS數(shù)據(jù)，Dean為經(jīng)驗(yàn)公式給出的結(jié)果[16]?？梢园l(fā)現(xiàn)，SM和DSM計(jì)算得到的壁面摩擦系數(shù)和壁面摩擦速度相對(duì)于DMM誤差稍大，而HSSM的結(jié)果與KMM很接近。HSSM計(jì)算得到的槽道中心速度較為準(zhǔn)確，其他3種模型的結(jié)果都稍大。

圖2給出了采用不同亞格子模型計(jì)算得到的流向平均速度分布。在全局坐標(biāo)軸下，4種模型得到的速度型相差不大，SM和DSM的速度型在靠近槽道中心時(shí)偏高，而HSSM的結(jié)果則偏低。在壁面坐標(biāo)軸+下，4種模型在粘性底層得到的結(jié)果都較為一致，而在對(duì)數(shù)區(qū)SM和DSM的速度分布出現(xiàn)了上抬，因?yàn)樵搩煞N模型所計(jì)算得到的壁面摩擦速度稍小。

表1 不同亞格子模型計(jì)算的平均量對(duì)比

Tab.1 Mean Flow Variables for Different SGS Models

算例CfReτuτucuc/uτub/uτ NAH8.29×10-31790.06441.1517.8615.54 KMM8.18×10-31800.06371.1618.2015.63 Dean8.29×10-3——1.16—— DMM8.32×10-31960.06371.1818.5215.92 SM7.96×10-31910.06241.1818.9116.28 DSM7.76×10-31880.06181.1819.0916.53 HSSM8.19×10-31950.06281.1618.4715.94

圖2 不同亞格子模型計(jì)算的流向平均速度

圖3給出了采用不同亞格子模型計(jì)算得到的速度脈動(dòng)均方根分布。由圖3可以看出，SM和DSM得到的流向速度脈動(dòng)均方根的峰值要比DMM和KMM的結(jié)果大，峰值位置也有所偏離；而HSSM的峰值偏小。對(duì)于法向速度脈動(dòng)均方根，相對(duì)于DMM的結(jié)果，SM、DSM和HSSM得到的峰值依次減小，峰值位置也向槽道中心偏離。展向速度脈動(dòng)均方根的分布與法向類似?？梢钥闯觯疚乃⒌膭?dòng)態(tài)混合模型在總體上要優(yōu)于其他3種模型，得到的數(shù)值模擬結(jié)果也更為準(zhǔn)確。

圖3 不同亞格子模型計(jì)算的速度脈動(dòng)均方根

2.2 網(wǎng)格疏密影響

為了考察網(wǎng)格疏密對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，對(duì)網(wǎng)格加密后進(jìn)行數(shù)值模擬，亞格子模型均采用動(dòng)態(tài)混合模型。表2給出了網(wǎng)格特征參數(shù)對(duì)比，n、n、n分別表示流向、法向和展向的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)，Δx和Δz是壁面坐標(biāo)系下的流向、展向網(wǎng)格間距，min(Δy)是壁面坐標(biāo)系下法向離壁面第1層的網(wǎng)格間距，max(Δy)則是槽道中心的網(wǎng)格間距。=0.5為原始網(wǎng)格，=0.5為對(duì)法向網(wǎng)格進(jìn)行加密，0.5為對(duì)展向網(wǎng)格進(jìn)行加密。

表3給出了網(wǎng)格加密后計(jì)算得到的典型平均量對(duì)比。由表3可以看出，法向網(wǎng)格加密后得到的壁面摩擦系數(shù)和壁面摩擦速度略小于加密前的量，而展向網(wǎng)格加密后的結(jié)果則變大。法向或展向加密計(jì)算得到的槽道中心速度均為1.15，略小于加密前的結(jié)果。

表2 網(wǎng)格參數(shù)對(duì)比

Tab.2 Comparison of Grid Characteristics

算例nxnynzΔx+min(Δy+)max(Δy+)Δz+ KMM192160129120.054.47 Ma=0.541656530.751.0512.312.81 Ma=0.5-y411296530.770.516.212.82 Ma=0.5-z416512931.521.0812.66.57

表3 不同網(wǎng)格計(jì)算的平均量對(duì)比

Tab.3 Mean Flow Variables for Different Grids

算例CfReτuτucuc/uτub/uτ NAH8.29×10-31790.06441.1517.8615.54 KMM8.18×10-31800.06371.1618.2015.63 Dean8.29×10-3——1.16—— Ma=0.58.32×10-31960.06371.1818.5215.92 Ma=0.5-y8.18×10-31960.06271.1518.3415.91 Ma=0.5-z8.59×10-32000.06421.1517.9115.53

圖4給出了網(wǎng)格加密后計(jì)算得到的流向平均速度分布。在全局坐標(biāo)系下，網(wǎng)格加密后的速度型相差不大，只是在靠近槽道中心處偏低，與KMM的誤差也很小。在壁面坐標(biāo)系下，法向加密后的分布與加密前的結(jié)果較為一致，而展向加密后的速度型在對(duì)數(shù)區(qū)略有降低。

圖4 不同網(wǎng)格計(jì)算的流向平均速度

圖5給出了網(wǎng)格加密后計(jì)算得到的速度脈動(dòng)均方根分布。由圖5可以看出，法向加密后對(duì)流向速度脈動(dòng)均方根的分布影響不大，而展向加密后分布的峰值有所減小，但峰值位置無(wú)變化。對(duì)于法向速度脈動(dòng)均方根，法向加密后得到的分布基本不變，展向加密后在近壁面處與KMM符合得更好，而在靠近槽道中心時(shí)誤差稍大。網(wǎng)格加密后展向速度脈動(dòng)均方根的分布與法向相似。根據(jù)以上分析，綜合考慮數(shù)值模擬精度和計(jì)算量的影響，本文采用的網(wǎng)格參數(shù)已可滿足槽道流動(dòng)大渦模擬的需求。

圖5 不同網(wǎng)格計(jì)算的速度脈動(dòng)均方根

2.3 計(jì)算格式影響

為了考察普通迎風(fēng)型格式是否可用于進(jìn)行大渦模擬計(jì)算，本文嘗試采用目前較流行的幾種迎風(fēng)型格式開展了數(shù)值模擬研究，包括Harten-Yee TVD格式、AUSMDV格式和Roe格式。但在同樣的網(wǎng)格參數(shù)下，即使將流向速度擾動(dòng)幅值增大到0.5，流動(dòng)也未能發(fā)生轉(zhuǎn)捩，始終保持層流狀態(tài)。顯然，以上幾種迎風(fēng)型格式的數(shù)值耗散過大，不適用于湍流機(jī)理的大渦模擬研究。

2.4 流場(chǎng)結(jié)構(gòu)分析

大渦模擬的一大優(yōu)點(diǎn)在于能夠獲得大量瞬態(tài)流場(chǎng)，可以從中提取大尺度相干結(jié)構(gòu)隨時(shí)間或空間的演化過程，有利于對(duì)流動(dòng)現(xiàn)象的深化認(rèn)識(shí)。速度梯度張量的第二不變量是流向渦和展向渦的綜合體現(xiàn)，本文采用法則來(lái)識(shí)別旋渦結(jié)構(gòu)，即主要觀察速度梯度張量第二不變量的等值面。

圖6給出了計(jì)算過程中3個(gè)典型時(shí)刻=0.85的等值面分布。由圖6可以看出，在計(jì)算的初始階段（=5時(shí)）流場(chǎng)中幾乎不存在大尺度相干結(jié)構(gòu)；=50時(shí)，流場(chǎng)結(jié)構(gòu)非常紊亂，存在大量不規(guī)則小渦結(jié)構(gòu)；隨著時(shí)間的進(jìn)一步推移，開始出現(xiàn)大尺度旋渦結(jié)構(gòu)，到=100時(shí)流場(chǎng)中已存在大量的準(zhǔn)流向渦，這些準(zhǔn)流向渦與壁面和流向均呈一定角度，并在向下游運(yùn)動(dòng)的過程中不斷演化發(fā)展。

圖6 不同時(shí)刻大尺度相干結(jié)構(gòu)

圖7給出了對(duì)應(yīng)時(shí)刻瞬態(tài)流場(chǎng)=0.04法向截面的流向速度云圖。由圖7可知=5時(shí)流向速度較小，分布也較均勻；當(dāng)=50時(shí)，流向速度出現(xiàn)大幅值的擾動(dòng)，但未出現(xiàn)明顯的展向速度條帶結(jié)構(gòu)；=100時(shí)，沿展向開始出現(xiàn)明顯的高速區(qū)和低速區(qū)，并且呈條帶狀沿展向交錯(cuò)分布。這樣的近壁速度條帶結(jié)構(gòu)是壁湍流重要的擬序結(jié)構(gòu)。

圖7 不同時(shí)刻法向截面流向速度云圖

3 結(jié)束語(yǔ)

本文采用大渦模擬方法對(duì)可壓縮槽道流動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，分析了亞格子模型、網(wǎng)格疏密以及計(jì)算格式對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果的影響。結(jié)果表明，本文采用的大渦模擬方法和發(fā)展的動(dòng)態(tài)混合模型能夠適用于可壓縮湍流的數(shù)值模擬，采用較少的網(wǎng)格可以獲得準(zhǔn)確的結(jié)果。數(shù)值模擬還獲得了可壓縮槽道流動(dòng)時(shí)間轉(zhuǎn)捩的過程，捕捉到了大尺度旋渦結(jié)構(gòu)和近壁速度條帶結(jié)構(gòu)的演化過程。

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Large Eddy Simulation of Compressible Channel Flow

Wang Suo-zhu, Yang Tian-peng, Yang Yi-feng, Qin Xu-guo, Su Wei

(Beijing Institute of Space Long March Vehicle, Beijing, 100076)

The compressible turbulent boundary layer is a basic scientific problem for the research of high-speed aircraft, and the understanding of its flow mechanism is of great significance for the aerodynamic and thermal design of high-speed aircraft. Large eddy simulation (LES) of compressible channel flow is performed. The LES method for compressible flow is established based on Favré filter, and a dynamic mixed subgrid-scale (SGS) model for compressible flow is formed by extending the mixed SGS model to the dynamic form. Through the analysis of SGS model, grid density and numerical scheme, the LES method established in the present work can obtain reliable results with fewer grids. The numerical results also show the transition process of the compressible channel flow, and capture the evolution process of the large-scale vortices and the near-wall velocity streaks.

compressible turbulence; channel flow; large eddy simulation

2097-1974(2023)01-0112-06

10.7654/j.issn.2097-1974.20230122

V211.3

A

2022-11-11；

2022-12-31

王鎖柱（1984-），男，博士，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)樵偃腼w行器空氣動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)。

楊天鵬（1993-），男，博士，工程師，主要研究方向?yàn)樵偃腼w行器空氣動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)。

楊依峰（1990-），男，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)樵偃腼w行器空氣動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)。

秦緒國(guó)（1982-），男，博士，研究員，主要研究方向?yàn)樵偃腼w行器總體設(shè)計(jì)。

蘇 偉（1979-），男，博士，研究員，主要研究方向?yàn)樵偃腼w行器空氣動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)。