華樺

［摘 要］生活中經(jīng)常會(huì)用到繩子，不管是晾曬衣物、提拉重物，還是大型機(jī)械、跨江橋梁等，都可以用繩子將兩個(gè)或多個(gè)物體相連，對此，我們通常稱其為繩連體問題。利用物理建模，可將其歸類為物理中的靜態(tài)平衡問題。通過歸納總結(jié)發(fā)現(xiàn)，解答繩連體問題時(shí)，運(yùn)用靜態(tài)平衡模型中“死結(jié)”與“活結(jié)”的特性進(jìn)行分析解答，解題思路會(huì)更加明晰，正確率也有顯著提高。

［關(guān)鍵詞］繩連體問題；靜態(tài)平衡；死結(jié)；活結(jié)

［中圖分類號(hào)］G633.7［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］?A［文章編號(hào)］ 1674-6058（2023）32-0054-04

物體在共點(diǎn)力作用下的平衡是貫穿高中物理的重要知識(shí)，其中繩連體問題（輕繩與掛件模型）就是其中最常見的。各類測驗(yàn)試卷和歷年高考卷中常會(huì)結(jié)合生產(chǎn)生活實(shí)際設(shè)計(jì)試題，以體現(xiàn)“貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)、生活實(shí)際”的原則。解答這類試題的難點(diǎn)在于物理建模。通過歸納，筆者發(fā)現(xiàn)可以運(yùn)用靜態(tài)平衡模型中“死結(jié)”和“活結(jié)”的特性對繩連體問題進(jìn)行分析解答。

一、什么是“死結(jié)”和“活結(jié)”

“死結(jié)”是指連接兩個(gè)物體的繩子系成一個(gè)結(jié)，這個(gè)結(jié)不會(huì)松動(dòng)或滑動(dòng)，在這種情況下，結(jié)點(diǎn)兩側(cè)的輕繩是相互獨(dú)立的。因此，“死結(jié)”的最大特點(diǎn)是結(jié)點(diǎn)兩側(cè)輕繩上的彈力大小不一定相等。

“活結(jié)”是指連接兩個(gè)物體的繩子系成的結(jié)可以松動(dòng)或滑動(dòng)，在這種情況下，連接的兩個(gè)物體之間的相對位置可以改變。“活結(jié)”的最大特點(diǎn)是結(jié)點(diǎn)兩側(cè)輕繩上的彈力大小始終相等。

學(xué)生對這兩個(gè)概念并不陌生，但在平時(shí)練習(xí)過程中常會(huì)出錯(cuò)，究其原因，就是對“死結(jié)”和“活結(jié)”理解并不透徹，容易混淆誤用。

【模型展示】如圖1所示，在兩個(gè)豎直放置的圓環(huán)的水平直徑兩端，各系有一根不可伸長的細(xì)繩。圖1甲中通過一個(gè)輕質(zhì)的光滑滑輪懸掛物塊，圖1乙通過一根細(xì)繩系在繩子的中點(diǎn)處?，F(xiàn)將兩個(gè)圓環(huán)沿著順時(shí)針方向緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度，穩(wěn)定后各段細(xì)繩拉力的變化情況如何？

解析：圖1甲所示的就是典型的“活結(jié)”問題。在這個(gè)系統(tǒng)中，繩上的張力處處相等，滑輪兩側(cè)繩子與水平方向的夾角相等。設(shè)繩子與水平方向的夾角為θ，點(diǎn)a、b之間的水平距離為d，細(xì)繩的總長度為L，則有[cosθ=dL]，[2Tasinθ=mg]，解得[Ta=Tb=mgL2L2-d2]。當(dāng)圓環(huán)沿著順時(shí)針方向緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度后，根據(jù)幾何知識(shí)可知d變小，但是由于a、b端繩上的拉力仍相等，根據(jù)上面的公式可判斷兩段細(xì)繩上的拉力均變小。

圖1乙所示的就是典型的“死結(jié)”問題。當(dāng)圓環(huán)沿著順時(shí)針方向緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度后，結(jié)點(diǎn)兩側(cè)細(xì)繩上的拉力、方向都在發(fā)生變化，但是兩拉力方向的夾角保持不變。以結(jié)點(diǎn)為研究對象，分析其受力，作矢量三角形，如圖2所示。由題意可知，圓環(huán)旋轉(zhuǎn)前，Tc=Td；根據(jù)矢量三角形可直觀看到，圓環(huán)旋轉(zhuǎn)后，c端連接段的細(xì)繩上的拉力變大，d端連接段的細(xì)繩上的拉力變小。

從上面的分析可知，解答這類問題要特別留意“死結(jié)”與“活結(jié)”中各段細(xì)繩上拉力的情況，這對解決繩連體問題非常重要。接下來，結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析解答。

二、使用“死結(jié)”與“活結(jié)”解決繩連體問題

（一）利用“死結(jié)”分析解題

若試題的研究對象是由兩根獨(dú)立的細(xì)繩連接的，或連接研究對象的繩子可視為相對獨(dú)立，則可以利用“死結(jié)”的特性——兩段細(xì)繩上的拉力不僅方向不同，大小也不一定相等來解題。另外還須注意：若細(xì)繩中存在彈力，則結(jié)點(diǎn)與系點(diǎn)的長度一般是不變的，這在某些特定情況下對解題有特殊效果。

［例1］如圖3所示，在粗糙的水平地面上靜止放置一個(gè)物塊A及一個(gè)垂直水平地面的光滑輕質(zhì)定滑輪，跨過定滑輪有一根不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩，其右端連接物塊A，左端用與水平方向成30°角斜向上的力F拉住，在點(diǎn)O處有一段同樣的不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩與其形成一個(gè)死結(jié)，并在下方懸掛有物塊B。穩(wěn)定后，死結(jié)兩側(cè)的細(xì)繩與水平方向的夾角均為30°。若已知物塊A與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為[32]，定滑輪右側(cè)細(xì)繩與水平地面的夾角為45°，重力加速度為g，物塊A、B均處于靜止?fàn)顟B(tài)，以下選項(xiàng)計(jì)算正確的是（）。

A.物塊A受到細(xì)繩的拉力的大小為[32F]

B.物塊A受到摩擦力的大小為[32mAg]

C.物塊B的質(zhì)量大小為[Fg]

D.物塊A對水平地面的壓力大小為[mAg-32F]

解析：以結(jié)點(diǎn)O為研究對象，對其進(jìn)行受力分析，可畫出力的矢量三角形，如圖4甲所示，由幾何知識(shí)可知該三角形是個(gè)等邊三角形，所以有：

[T=F， mB=Fg]

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確。

以物塊A為研究對象，對其進(jìn)行受力分析，如圖4乙所示，因?yàn)槲飰KA靜止，所以由平衡條件可知：

[Tf=Tcos45°]? ? ?[FN+Tsin45°=mAg]

聯(lián)立以上各式可得：

[Tf=22F? ? ?FN=mAg-22F]

所以選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤。

小結(jié)：本題有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，其中結(jié)點(diǎn)[O]無疑就是一個(gè)“死結(jié)”，受力分析時(shí)就可以簡單地分成三個(gè)方向上獨(dú)立的力，利用常規(guī)的方式列平衡方程求解，也可以像題中這樣直接畫出力的矢量三角形進(jìn)行分析。另外，本題還有一個(gè)隱藏的“活結(jié)”，那就是輕質(zhì)定滑輪，在分析物塊[A]的受力情況時(shí)，輕質(zhì)細(xì)繩對[A]的拉力應(yīng)該與“死結(jié)”[O]點(diǎn)右側(cè)細(xì)繩上的彈力相聯(lián)系，兩者的大小是相等的，如果忽略這一點(diǎn)，就很難求出物塊A的相關(guān)物理量。

（二）利用“活結(jié)”分析

“活結(jié)”中的“活”主要是指結(jié)點(diǎn)兩側(cè)的繩子方向可以靈活改變。所遇到的繩連體中的研究對象如果符合以上條件，就可以考慮使用解答“活結(jié)”問題的方式進(jìn)行分析。

［例2］（多選）如圖5所示，A、B是兩個(gè)豎直固定在水平地面上的晾衣竿，其中A竿高于B竿，在它們頂點(diǎn)處系有一根不可伸長的長度略大于兩個(gè)晾衣竿頂點(diǎn)距離的不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩。細(xì)繩上掛有一件質(zhì)量為m的衣服（含衣架），在無風(fēng)狀態(tài)下，衣服在細(xì)繩上保持靜止；當(dāng)有一陣恒定的風(fēng)自左向右吹來時(shí)，衣服受到恒定的水平向右的力作用而滑動(dòng)，并最終在如圖5所示的位置保持靜止。關(guān)于衣架與細(xì)繩的摩擦力，下列判斷正確的有（? ? ? ? ）。

A.有風(fēng)時(shí)，衣架掛鉤兩側(cè)細(xì)繩上的彈力大小相等

B.無風(fēng)時(shí)，衣架掛鉤兩側(cè)繩子與豎直方向的夾角，左側(cè)的較大

C.若存在題中所示的恒定風(fēng)時(shí)，則系在A竿頂端的繩子下移到與B竿等高的C點(diǎn)處，細(xì)繩上的拉力將變小

D.與無風(fēng)時(shí)相比，存在題中所示的恒定風(fēng)時(shí)∠AOB較大

解析：根據(jù)題意可知，衣架可視為一個(gè)理想的輕質(zhì)動(dòng)滑輪，這是一個(gè)典型的以晾衣架為代表的“活結(jié)”模型?！盎罱Y(jié)”模型的最大特點(diǎn)就是結(jié)點(diǎn)兩側(cè)繩子上的彈力大小始終是相等的，所以選項(xiàng)A正確。

如圖6所示，是無風(fēng)時(shí)衣服的受力情況，根據(jù)平衡條件可知[Fcosθ+Fcosα=mg]，[Fsinθ=Fsinα]?？芍獰o風(fēng)時(shí)，衣架掛鉤兩側(cè)繩子與豎直方向的夾角相等，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤。

設(shè)細(xì)繩的長為L，兩個(gè)晾衣竿的水平距離為d，根據(jù)幾何知識(shí)可知[sinθ=dL]，根據(jù)平衡條件可得[2Fcosθ=mg]，解得[F=mg2cosθ]。當(dāng)有恒定風(fēng)作用時(shí)，衣服受水平向右的恒力作用，受力分析如圖7所示，根據(jù)平衡條件可知，衣架掛鉤兩側(cè)細(xì)繩上的拉力的合力與衣服所受風(fēng)的作用力和衣服重力的合力大小相等，方向相反，由此可比較得出：與無風(fēng)時(shí)相比，有恒定風(fēng)時(shí)細(xì)繩上的拉力更大，但是由于無法確定兩種狀態(tài)下衣架掛鉤的具體位置，所以不能確定∠AOB的大小關(guān)系，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

有恒定風(fēng)時(shí)，將系在A竿頂端的繩子下移到與B竿等高的C點(diǎn)處，由幾何知識(shí)可知∠BOC<∠AOB，又因?yàn)閇2Fcos12∠BOC=F合]，但是F合在衣架掛鉤移動(dòng)到細(xì)繩右端的位置前后是不變的，所以細(xì)繩上的拉力F將變小，所以選項(xiàng)C正確。

小結(jié)：晾衣架是一個(gè)與生活緊密聯(lián)系的典型繩連體問題，這類問題若以選擇題形式出現(xiàn)，則解答時(shí)不需要寫出計(jì)算過程，可以放心地使用“活結(jié)”的性質(zhì)進(jìn)行分析。另外，本題中，判斷選項(xiàng)C時(shí)，可以采用極限法，假設(shè)兩個(gè)晾衣竿的高度差非常大，使得[∠AOB]接近180°，則當(dāng)細(xì)繩右端下移到[C]點(diǎn)時(shí)，必然存在[∠BOC<∠AOB]。

（三）跨海大橋的繩連體問題

［例3］對于一些跨度較大的橋面，為了減少對地面交通的影響，或者因?yàn)榻ㄔ飙h(huán)境的限制，通常會(huì)選擇建造斜拉橋。比如很多景區(qū)穿越峽谷的索橋，還有就是在2018年10月23日通車的港珠澳跨海大橋等。如圖8所示，是鋼索斜拉橋，關(guān)于斜拉橋的索塔與鋼索，下列說法正確的是（）。

A.為減小索塔所受向下的壓力，可以增加鋼索的數(shù)量

B.為了減小鋼索所承受的拉力，可以降低索塔的高度

C.為了使鋼索對索塔的合力方向豎直向下，可以通過索塔兩側(cè)鋼索對稱分布且拉力大小相同來實(shí)現(xiàn)

D.為了使鋼索對索塔的合力方向豎直向下，索塔兩側(cè)鋼索必須滿足對稱分布的條件

解析：斜拉橋的鋼索與索塔和橋面組成的系統(tǒng)可視為“死結(jié)”。分析時(shí)可先畫出示意圖，然后確定研究對象，將鋼索的拉力進(jìn)行合成，利用平行四邊形定則作圖，結(jié)合幾何關(guān)系列式求解即可。

以橋身為研究對象，進(jìn)行受力分析可知，鋼索對橋身的拉力的合力與橋身和鋼索的總重力大小相等、方向相反，所以鋼索對索塔的向下的壓力大小等于橋身與鋼索的總重力，可知增加鋼索的數(shù)量會(huì)增大索塔所受向下的壓力，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤。

由力的分解與合成可知，合力一定時(shí)，分力間的夾角越小，分力也越小。為了減小鋼索所受的拉力，應(yīng)減小每根鋼索對自身及橋面的拉力，由于每根鋼索質(zhì)量可視為定值，因此只能通過減小鋼索與索塔之間的夾角來達(dá)到目的，因此索塔應(yīng)該增加高度，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤。

根據(jù)對稱性可知，索塔兩側(cè)鋼索對稱分布且拉力大小相等時(shí)，水平分力相互抵消，鋼索對索塔的合力方向豎直向下，所以選項(xiàng)C正確。

如圖9所示，將鋼索AC、AB的拉力FAC、FAB進(jìn)行合成，合力豎直向下，結(jié)合正弦定理可得：

[FABsinα=FACsin β]

解得：[FACFAB=sin βsinα]

故索塔兩側(cè)鋼索不用必須滿足對稱分布的條件，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

以上三例是繩連體問題的三個(gè)比較常見的類型，此外，還存在很多變式，比如在“死結(jié)”中：①結(jié)點(diǎn)一側(cè)繩子固定不動(dòng)（即結(jié)點(diǎn)不動(dòng)），另一側(cè)繞結(jié)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這個(gè)變化通常使用“平行四邊形法”或者“矢量三角形法”解答；②兩側(cè)繩子夾角保持不變，繞一個(gè)固定端旋轉(zhuǎn)，這個(gè)變化通常使用“輔助圓法”解答；③細(xì)繩的方向和夾角隨時(shí)變化，類似上面的衣架模型，這類變化可考慮使用“相似三角形法”解答。其中①②可以用“死結(jié)”的特性解題，③用“活結(jié)”的特性解題。針對不同類型，可以選擇不同的解題方法，列舉如下：

1.結(jié)點(diǎn)兩側(cè)有一側(cè)的繩子方向不變。模型圖和受力圖如圖10所示。

在這種情況下，OB緩慢向上轉(zhuǎn)動(dòng)至豎直位置，結(jié)點(diǎn)O的位置不動(dòng)。解題時(shí)通常用平行四邊形法。

2.結(jié)點(diǎn)兩側(cè)繩子方向均發(fā)生變化，但兩繩的夾角大小不變。模型圖和受力圖如圖11所示。

在這種情況下，重物M在兩根繩子牽引下向右上方緩慢移動(dòng)，其間夾角α保持不變。解決該類型題常用如圖11所示的輔助圓法。

3.結(jié)點(diǎn)兩側(cè)繩子方向和兩繩間夾角均發(fā)生變化。模型圖和受力圖如圖12所示。

在這種情況下，細(xì)繩繞過半球面正上方的定滑輪，拉動(dòng)小球A沿著半球面緩慢上升。解決該類型題常用如圖12所示的相似三角形法。

其實(shí)，不管遇到哪種類型，只要抓住繩連體問題的共點(diǎn)力受力平衡的本質(zhì)，準(zhǔn)確判斷繩上的受力情況，就可以準(zhǔn)確解答試題，“死結(jié)”和“活結(jié)”只是作為參考，大家可以探索其他更簡便有效的方法。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 劉姍姍，劉軍港.共點(diǎn)力作用下物體的平衡問題例析［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2018（4）：48.

［2］? 孟德飛.受力平衡問題中“死結(jié)”和“活結(jié)”模型［J］.中學(xué)生數(shù)理化（自主招生），2020（合刊1）：75.

［3］? 劉杭州，宋書婷.認(rèn)好“活結(jié)”速解平衡問題：以2020年全國高考理綜Ⅲ卷第17題為例［J］.物理教學(xué)，2021（7）：66-67，47.

（責(zé)任編輯? 易志毅）