沈惠平 朱晨陽(yáng) 李 菊 李 濤

(常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心, 常州 213016)

0 引言

三自由度兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)因驅(qū)動(dòng)元件少、制造方便，在工業(yè)生產(chǎn)中具有較高實(shí)用價(jià)值[1]，可用于空間物品的拾取操作、設(shè)備的姿態(tài)調(diào)整等[2]。國(guó)內(nèi)外機(jī)構(gòu)學(xué)研究人員對(duì)此類(lèi)機(jī)構(gòu)已進(jìn)行廣泛深入的研究。HUNT[3]于1983年設(shè)計(jì)了一種含2T1R及其奇生運(yùn)動(dòng)的3-DOF空間機(jī)構(gòu)；KONG等[4]研究了含有球面支鏈或平行四邊形子支鏈的2T1R空間機(jī)構(gòu)；LIU等[5]提出一組運(yùn)動(dòng)學(xué)求解和構(gòu)造均較為簡(jiǎn)單的2T1R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)；劉艷敏[6]研究機(jī)構(gòu)的綜合方法，并優(yōu)選了部分2T1R新機(jī)型。

機(jī)構(gòu)位置求解是并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究中最基礎(chǔ)、最重要的問(wèn)題之一[7]，目前，大多數(shù)學(xué)者應(yīng)用桿副法[8]、回路法[9]，來(lái)建立機(jī)構(gòu)輸入-輸出位置方程，但為得到一般的非線性一元高次方程，其數(shù)學(xué)推導(dǎo)、消元過(guò)程十分復(fù)雜。楊廷力[10]提出了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的序單開(kāi)鏈法；沈惠平[11]提出了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)涮卣鬟\(yùn)動(dòng)學(xué)建模原理和方法，具有建模方便、計(jì)算量大大減少等優(yōu)勢(shì)。

動(dòng)力學(xué)分析是保證機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的前提。目前，機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析方法主要有：虛功原理法[12-13]、拉格朗日法[14-15]、牛頓-歐拉法[16-17]、凱恩法[18-19]、動(dòng)力學(xué)普遍方程[20]、Hamilton正則方程[21]等。拉格朗日法表現(xiàn)形式簡(jiǎn)單，但其計(jì)算量較大；凱恩法有較為簡(jiǎn)潔的計(jì)算方法，但對(duì)于力和力矩的分析相對(duì)匱乏[22]；牛頓-歐拉法對(duì)于構(gòu)件較多的機(jī)構(gòu)受力分析較復(fù)雜，但在構(gòu)建動(dòng)力學(xué)模型時(shí)易求出運(yùn)動(dòng)副的約束反力[23]；虛功原理同拉格朗日法一樣，表現(xiàn)形式統(tǒng)一、計(jì)算量較大，且無(wú)法得到構(gòu)件的約束反力。

基于虛功原理的序單開(kāi)鏈法，以子運(yùn)動(dòng)鏈為基本單元，不僅能求出各驅(qū)動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)力，還能求出子運(yùn)動(dòng)鏈(SKC)連接處的支反力，這對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)至關(guān)重要[24]。

本文根據(jù)基于方位特征(POC)方程并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)理論[25]，提出一種零耦合度、含一條混合支鏈的空間2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)；對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)涮匦院瓦\(yùn)動(dòng)學(xué)分析；基于虛功原理的序單開(kāi)鏈法建立該機(jī)構(gòu)的逆向動(dòng)力學(xué)模型，求解機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力及部分運(yùn)動(dòng)副支反力；最后，對(duì)該機(jī)構(gòu)應(yīng)用于物流領(lǐng)域輸送帶之間物料的自動(dòng)轉(zhuǎn)運(yùn)、卸料裝置的應(yīng)用場(chǎng)景，進(jìn)行概念設(shè)計(jì)。

1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和分析

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

1.1.1POC方程

串聯(lián)、并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC集計(jì)算公式[25]為

(1)

(2)

式中MS——末端構(gòu)件POC集

Mji——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副P(pán)OC集

Mbi——第i條支鏈末端POC集

MPa——機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)POC集

1.1.2機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)思路

大量研究表明，含有混合支鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)一般具有耦合度低、輸入-輸出(部分)運(yùn)動(dòng)解耦、易得符號(hào)式位置正解等優(yōu)點(diǎn)[11,24]，且其運(yùn)動(dòng)學(xué)、剛度以及動(dòng)力學(xué)綜合性能也較好；且含1-DOF、2-DOF混合支鏈數(shù)目越多，機(jī)構(gòu)輸入-輸出(部分)運(yùn)動(dòng)解耦性能越好，其運(yùn)動(dòng)學(xué)/動(dòng)力學(xué)求解越容易，因?yàn)?1～2)-DOF混合支鏈本身的位姿易求得；另外，兩支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)能力強(qiáng)、干涉少等優(yōu)點(diǎn)[25]。

根據(jù)上述思路，一方面，為設(shè)計(jì)具有“零耦合度且運(yùn)動(dòng)解耦”特性的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，可以通過(guò)構(gòu)造約束度為零、含部分驅(qū)動(dòng)副且可獨(dú)立求出其位置回路的混合支鏈，以實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)目標(biāo)；另一方面，本文設(shè)計(jì)的2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用兩支鏈的結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)，這意味著兩條支鏈的末端運(yùn)動(dòng)輸出最少都須包含2個(gè)平移(2T)和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)(1R)元素。

1.1.3支鏈設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)一個(gè)兩滑塊兩平移空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖1a所示，它由分支1(P11‖R12‖R13‖R14)、分支2(P21⊥R22‖R23)并聯(lián)而成，其中，兩移動(dòng)副P(pán)11和P21為重合共線，該機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)記為：2P-5R，為闡述方便，在靜平臺(tái)0上，建立坐標(biāo)系OXYZ，Y軸平行于P11(或P21)，Z軸平行于靜平臺(tái)0的法線。

圖1 3-DOF 2T1R 機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)過(guò)程

由式(1)可知，分支1、2末端構(gòu)件的POC集均為

由式(2)可知，輸出構(gòu)件2的POC集為

因此，輸出構(gòu)件2將產(chǎn)生垂直于R22軸線的平面(YOZ)內(nèi)的兩維移動(dòng)(2T)。

在輸出構(gòu)件2的軸線上，直接串聯(lián)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R24，如圖1b所示，即轉(zhuǎn)動(dòng)副R24與R14共軸線(均平行于Y軸)，則構(gòu)成另一條混合支鏈，它將連接動(dòng)平臺(tái)1左端，由式(1)可知

MA=M2∪MR24=

(3)

(4)

使動(dòng)平臺(tái)1上轉(zhuǎn)動(dòng)副R35‖R24，且P31‖P11，從而設(shè)計(jì)出由混合支鏈、約束支鏈連接的2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)[26]，如圖1d所示；由式(2)知，其動(dòng)平臺(tái)1的POC集為

因此，設(shè)計(jì)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有沿YOZ平面內(nèi)的兩維移動(dòng)和繞Y軸的一維轉(zhuǎn)動(dòng)。

1.2 拓?fù)浞治?/h3>

1.2.1機(jī)構(gòu)自由度

(1)機(jī)構(gòu)全周自由度計(jì)算公式[25]為

(5)

(6)

v=m-n+1

式中F——機(jī)構(gòu)自由度

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副自由度

m——運(yùn)動(dòng)副數(shù)

v——獨(dú)立回路數(shù)

n——構(gòu)件數(shù)

ξLj——第j個(gè)獨(dú)立回路獨(dú)立位移方程數(shù)

Mb(j+1)——前j+1條支鏈末端構(gòu)件的POC集

第1回路為2P-5R空間機(jī)構(gòu)，由式(6)得其獨(dú)立位移方程數(shù)為

ξL1=dim.{Mb1∪Mb2}=

由式(5)得其自由度為

第2個(gè)回路由上述子并聯(lián)機(jī)構(gòu)、轉(zhuǎn)動(dòng)副R24及支鏈構(gòu)成，由式(6)得其獨(dú)立位移方程數(shù)為

ξL2=dim.{MA∪MB}=

因此，由式(5)得機(jī)構(gòu)自由度

因此，當(dāng)選取靜平臺(tái)0上移動(dòng)副P(pán)11、P21、P31作為驅(qū)動(dòng)副，該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)1可實(shí)現(xiàn)YOZ平面內(nèi)的兩維平移以及繞Y軸的一維轉(zhuǎn)動(dòng)的輸出運(yùn)動(dòng)。

1.2.2機(jī)構(gòu)耦合度

由基于序單開(kāi)鏈(SOC)的機(jī)構(gòu)組成原理[25]知，機(jī)構(gòu)均可劃分為若干(SKC)，而SKC又可分解為若干單開(kāi)鏈(SOC)，第j個(gè)SOCj的約束度為

(7)

式中mj——第j個(gè)SOCj運(yùn)動(dòng)副數(shù)

Ij——第j個(gè)SOCj驅(qū)動(dòng)副數(shù)

則SKC耦合度κ為

(8)

1.2.1節(jié)已計(jì)算出ξL1=5、ξL2=5，因此，由式(7)可分別求出第1、2回路的單開(kāi)鏈約束度為

易知，上述2個(gè)回路可分別獨(dú)自構(gòu)成子運(yùn)動(dòng)鏈，即SKC1及SKC2，由式(8)可得其耦合度為

因此，SKC1、SKC2可獨(dú)立求解，從而可使機(jī)構(gòu)求得符號(hào)式位置正解[26]。

至此，該機(jī)構(gòu)主要拓?fù)湫阅?DOF、κ)已求出，并到達(dá)所期望的設(shè)計(jì)目標(biāo)，其具有優(yōu)點(diǎn)：①由低副組成，加工制造容易。②機(jī)構(gòu)為零耦合度，因此具有符號(hào)式位置正解。③含兩個(gè)子運(yùn)動(dòng)鏈且分別含有驅(qū)動(dòng)副，因此具有部分運(yùn)動(dòng)解耦特性，從而有利于該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的建模與性能求解。

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖2所示，靜平臺(tái)0上兩個(gè)導(dǎo)軌之間距離為l8。靜坐標(biāo)系OXYZ的坐標(biāo)原點(diǎn)O在導(dǎo)軌所在兩條直線的中線上，Y軸方向平行于A1A2連線，Z軸平行于導(dǎo)軌所在平面的法線方向，并指向動(dòng)平臺(tái)1；動(dòng)坐標(biāo)系O′X′Y′Z′的原點(diǎn)位于動(dòng)平臺(tái)1的R24幾何中心，X′、Y′軸分別重合、垂直于D2D3連線，而X軸、Z′軸方向均由右手定則確定。

圖2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

2.1 位置正解分析

已知點(diǎn)Ai(i=1,2,3)驅(qū)動(dòng)副輸入量y1、y2、y3，求解動(dòng)平臺(tái)1上點(diǎn)O′的位置(x,y,z)及動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角α。機(jī)構(gòu)位置正解可由SKC1和SKC2分別求得。

(1)SKC1位置求解

易有A1=(l8/2，y1，0)，A2=(l8/2，y2，0)，B1=(l8/2，y1，l1)，B2=(l8/2，y2，l1)，D1=(l8/2，y1，z)，C2=(l8/2，y1+2l3，z)，D2=O′=(l8/2，y1+l3,z)。

由桿長(zhǎng)約束lB2C2=l4得位置約束方程，并求得

(9)

(2)SKC2位置求解

易有：A3=(-l8/2,y3,0)，B3=(-l8/2,y3,l1)。因兩導(dǎo)軌道間距離為l8，故D2-D3-C4組成的回路在XOZ面上的投影關(guān)系如圖3所示。

圖3 D2-D3-C4在XOZ面上的投影關(guān)系

顯然，有D3=(l8/2-l5cosα,y1+l3,z+l5sinα)，C4=(-l8/2,y1+l3,ZC4)，而C3=(-l8/2,y1+l3,ZC4-l7)。

(10)

由桿長(zhǎng)約束lC3B3=l6得約束方程并解得

(11)

因此，由式(8)、(11)可得動(dòng)平臺(tái)(x,y,z)及姿態(tài)角α。

2.2 位置逆解分析

已知?jiǎng)悠脚_(tái)1位置(x，y，z)及動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角α，求驅(qū)動(dòng)副輸入量y1、y2、y3。

由幾何約束條件lB3C3=l6得到

根據(jù)式(9)、(11)可得

(12)

由式(12)可知，驅(qū)動(dòng)副輸入量y3、y2各有2組解，因此，此機(jī)構(gòu)可有4組逆解。

2.3 正逆解實(shí)例驗(yàn)算

設(shè)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)為l1=100 mm，l2=220 mm，l3=150 mm，l4=440 mm，l5=600 mm，l6=320 mm，l7=80 mm，l8=600 mm。

設(shè)3個(gè)驅(qū)動(dòng)副輸入量y1、y2、y3分別為-340、50、60 mm。通過(guò)Matlab計(jì)算式(9)、(11)可得到6組位置正解，如表1所示。

將表1中序號(hào)1的數(shù)據(jù)代入式(12)，可以求得4組位置逆解。如表2所示，其中序號(hào)1的逆解數(shù)值與求解正解時(shí)給定的3個(gè)驅(qū)動(dòng)輸入量一致。

表1 位置正解

表2 位置逆解

3 工作空間

并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)空間是指在考慮運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角范圍、桿長(zhǎng)不干涉情況下，末端執(zhí)行器的工作區(qū)域，是衡量并聯(lián)機(jī)器人性能的一個(gè)重要指標(biāo)。

傳統(tǒng)的工作空間計(jì)算是基于位置反解求得的點(diǎn)，由這些點(diǎn)組成的三維圖即為該機(jī)構(gòu)工作空間。

而本文機(jī)構(gòu)具有符號(hào)式位置正解，因此，直接采用位置正解來(lái)計(jì)算工作空間，計(jì)算量少且工作空間邊界計(jì)算準(zhǔn)確。

為此，確定3個(gè)驅(qū)動(dòng)副位置搜索范圍為：-430 mm≤y1≤-320 mm，300 mm≤y2≤410 mm,-320 mm≤y3≤320 mm，搜索范圍只需大于桿件活動(dòng)范圍即可。通過(guò)Matlab軟件編程，得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心點(diǎn)的三維工作空間如圖4a所示，其XOZ、YOZ截面如圖4b、4c所示。

圖4 機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心點(diǎn)工作空間

4 奇異性與速度分析

4.1 機(jī)構(gòu)奇異性分析方法

(13)

其中

f11=-2(yD1-y)f12=0f13=0

f21=-2(yB2-yC2)f22=2(zB2-zC2)f23=0

f31=-2(yB3-yC3)f32=-2(zB3-zC3)

g11=-2(yD1-y)g22=-2(yC2-yB2)

g33=yC3-yB3

當(dāng)機(jī)構(gòu)不存在奇異位置時(shí)，Jp可逆，得

(14)

式(14)即為動(dòng)平臺(tái)基點(diǎn)輸出速度。

為方便后續(xù)計(jì)算，現(xiàn)將動(dòng)平臺(tái)速度矩陣分解為移動(dòng)矩陣和轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，即

由此，移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣與原矩陣的關(guān)系可表示為

其中

這樣，動(dòng)平臺(tái)基點(diǎn)的移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)速度矩陣，與3個(gè)輸入角之間的關(guān)系可分別表示為

將式(13)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得到動(dòng)平臺(tái)點(diǎn)O′加速度與輸入加速度之間的映射關(guān)系為

(15)

4.2 奇異性分析

4.2.1輸入奇異

當(dāng)機(jī)構(gòu)發(fā)生輸入奇異時(shí)，機(jī)構(gòu)的執(zhí)行構(gòu)件將失去某個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)能力，此時(shí)，至少有1個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈到達(dá)工作空間的邊界。

當(dāng)det(Jq)=0，機(jī)構(gòu)將發(fā)生輸入奇異，將方程的解集設(shè)為A，則A為

A={A1∪A2∪A3}

其中，Ai(i=1，2，3)為機(jī)構(gòu)產(chǎn)生輸入奇異時(shí)的3種情況：當(dāng)A1={yD1=y}不滿(mǎn)足構(gòu)型要求，舍去。當(dāng)A2={yC2=yB2},即點(diǎn)C2與點(diǎn)B2的y軸坐標(biāo)相等，滿(mǎn)足A2的三維構(gòu)型如圖5所示。當(dāng)A3={yC3=yB3}，即點(diǎn)C3與點(diǎn)B3的y軸坐標(biāo)相等時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸入奇異，滿(mǎn)足A3的三維構(gòu)型如圖6所示。

圖5 A2的輸入奇異位形

圖6 A3的輸入奇異位形

4.2.2輸出奇異

當(dāng)det(JP)=0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸出奇異。由于Jq為下三角矩陣，故方程的解F={f11∪f(wàn)22∪f(wàn)33}，其中，f11、f22不滿(mǎn)足構(gòu)型要求，舍去。

當(dāng)f33=0，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸出奇異，有兩種情況：

第1種情況：當(dāng)機(jī)構(gòu)滿(mǎn)足ZC3=ZB3時(shí)，如圖6所示，即運(yùn)動(dòng)副C3和B3在水平方向平行時(shí)，機(jī)構(gòu)無(wú)法繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)機(jī)構(gòu)發(fā)生輸出奇異，如圖7所示。

圖7 ZC3=ZB3的輸出奇異位形

第2種情況：當(dāng)動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角滿(mǎn)足

此時(shí)，機(jī)構(gòu)將發(fā)生輸出奇異。

4.2.3綜合奇異

綜合奇異即輸入奇異與輸出奇異同時(shí)發(fā)生。當(dāng)det(JP)=det(Jq)時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生綜合奇異。此機(jī)構(gòu)不存在綜合奇異位置。

4.3 桿件速度與加速度

桿件AiBi速度與加速度關(guān)系為

VBi=VAi+ωi×(l1ci)

(16)

式中VAi——驅(qū)動(dòng)副(Pi)線速度

ωi——驅(qū)動(dòng)桿AiBi角速度

ci——桿AiBi單位矢量

因驅(qū)動(dòng)副在機(jī)架上且僅為移動(dòng)驅(qū)動(dòng)，所以ωi=0。對(duì)式(16)求導(dǎo)，得點(diǎn)Bi加速度為

aBi=aAi

式中aAi——驅(qū)動(dòng)副P(pán)i1線加速度

于是，桿件AiBi質(zhì)心速度、加速度分別為

(17)

桿件C1B1速度為

VC1=VB1+ω5×(l2C5)

(18)

兩邊叉乘C5可得

(19)

式中C5——桿件B1C1單位矢量

將式(18)兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得

aC1=aB1+l2ε5×C5+l2ω5×(ω5×C5)

(20)

對(duì)式(20)兩邊叉乘C5，得桿件B1C1角加速度為

(21)

由式(18)、(20)得桿件B1C1質(zhì)心速度、加速度為

(22)

桿件C1D1速度與加速度關(guān)系為

VD1=VC1+ω6×(l2C6)

(23)

兩邊叉乘C6，得

(24)

式中C6——桿件C1D1單位矢量

將式(23)兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得

aD1=aC1+l2ε6×C6+l2ω6×(ω6×C6)

(25)

對(duì)式(25)兩邊叉乘C6，得桿件C1D1角加速度為

(26)

由式(23)、(25)得桿件C1D1質(zhì)心速度與加速度為

(27)

桿件D1D2速度與加速度關(guān)系為

VD1=VC1aD1=aC1

則桿件D1D2質(zhì)心速度、加速度為

(28)

桿件C3C4速度與加速度關(guān)系為

VC4=VC3

aC4=aC3

則桿件C3C4質(zhì)心速度、加速度為

(29)

其余構(gòu)件速度與加速度求法類(lèi)似，故不再贅述，直接給出結(jié)果。

桿件B2C2、B3C3質(zhì)心速度、加速度分別為

(30)

(31)

(32)

(33)

桿件C2D2、D3C4質(zhì)心速度、加速度分別為

(34)

(35)

(36)

4.4 算例與仿真

給定3個(gè)驅(qū)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)規(guī)律分別為

由式(14)、(15)，通過(guò)Matlab計(jì)算得到動(dòng)平臺(tái)基點(diǎn)的理論速度和加速度，如圖8、9所示。

圖8 動(dòng)平臺(tái)理論速度曲線

圖9 動(dòng)平臺(tái)理論加速度曲線

通過(guò)ADAMS仿真，得到動(dòng)平臺(tái)基點(diǎn)的速度與加速度曲線，分別如圖10、11所示。

圖10 動(dòng)平臺(tái)仿真速度曲線

圖11 動(dòng)平臺(tái)仿真加速度曲線

對(duì)比圖8和圖10，以及圖9和圖11，可知該機(jī)構(gòu)速度、加速度理論值與仿真值一致，存在微小誤差，驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。

5 動(dòng)力學(xué)分析

5.1 基于虛功原理的序單開(kāi)鏈法基本原理

5.2 部分構(gòu)件雅可比矩陣

由于動(dòng)平臺(tái)在Y、Z方向上移動(dòng)并繞Y方向轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)平臺(tái)上另一點(diǎn)D3的速度與O′速度不同，且無(wú)法直接表達(dá)出動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心點(diǎn)處的雅可比矩陣，故采用與第4節(jié)相同的方法求解以點(diǎn)D3為基點(diǎn)時(shí)動(dòng)平臺(tái)的雅可比矩陣。

(37)

式中β——桿件D3D2繞Y軸方向的夾角

由式(37)可得，動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心處、D3C4質(zhì)心處的雅可比矩陣分別為

式中，JC4可由點(diǎn)C4速度直接表達(dá)出。

5.3 受力分析

作用于構(gòu)件質(zhì)心上的力有重力和慣性力，而力矩僅為慣性力矩。

對(duì)于動(dòng)平臺(tái)，作用在質(zhì)心的力和力矩分別為

式中f′、τ——作用在動(dòng)平臺(tái)的外力和外力矩

R——在靜坐標(biāo)系{o}中動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心處的慣量矩陣，為旋轉(zhuǎn)矩陣

Ip——?jiǎng)悠脚_(tái)質(zhì)心處慣量矩陣

對(duì)于各支鏈，假設(shè)重力是唯一的外力，則作用在各構(gòu)件上的力和力矩分別為

Fi=mig-miamidi

Mi=-oIiεi-ωi×(oIiωi) (i=1，2，…，12)

式中oIi——在靜坐標(biāo)系{o}中各桿件質(zhì)心處的慣量矩陣

5.4 動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)于SKC2，解除運(yùn)動(dòng)副D2處的約束，于是支反力FD2轉(zhuǎn)換為未知外力，由虛功原理可得

(38)

在靜坐標(biāo)系{o}中，以桿D2D3為研究對(duì)象，并將力系向D3處簡(jiǎn)化，可得

(39)

對(duì)于SKC1，將支反力FD2視為未知外力，由虛功原理可得

(40)

由式(38)～(40)可得機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力F11、F21、F31，以及運(yùn)動(dòng)副D2處的支反力FD2。

5.5 數(shù)值仿真算例

機(jī)構(gòu)各構(gòu)件尺寸參數(shù)如表3所示。

表3 2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)

僅考慮動(dòng)平臺(tái)受沿Z軸方向的載荷。各構(gòu)件均為形狀規(guī)則、質(zhì)量均勻的剛體，且驅(qū)動(dòng)副采用與4.4節(jié)相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，通過(guò)Matlab編程計(jì)算式(38)、(40)，得驅(qū)動(dòng)力F關(guān)于時(shí)間t的曲線，如圖12a所示；將虛擬樣機(jī)導(dǎo)入ADAMS中，并設(shè)定各構(gòu)件的材料屬性、運(yùn)動(dòng)副的約束類(lèi)型，施加豎直向下的重力，選取仿真步長(zhǎng)0.01 s，仿真時(shí)間5 s，動(dòng)力學(xué)仿真曲線如圖12b所示。

圖12 2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力曲線

而點(diǎn)D2支反力的理論值與仿真值如圖13所示。

圖13 點(diǎn)D2處支反力

由傳統(tǒng)虛功原理可知

(i=1，2，…，12)

(41)

由式(41)可知，傳統(tǒng)的虛功原理采用的是整體建模思想，而基于虛功原理的序單開(kāi)鏈法則按照機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分解的順序，分別建立各SKC的動(dòng)力學(xué)模型，不僅建模思路清晰，而且使得機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)以及動(dòng)力學(xué)具有統(tǒng)一性。同時(shí)，可以得到不同SKC連接處運(yùn)動(dòng)副的支反力，有助于后續(xù)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

6 應(yīng)用場(chǎng)景概念設(shè)計(jì)

該機(jī)構(gòu)可用于物流領(lǐng)域兩條平行布置、相距較遠(yuǎn)輸送帶(E、F)之間的物料的自動(dòng)輸送、轉(zhuǎn)運(yùn)和卸料，其平面示意圖如圖14a所示；該機(jī)構(gòu)和輸送帶在空間的位置布置，以及送料、接料方式如圖14b所示，圖14c為其三維概念設(shè)計(jì)。

圖14 用于物料輸送與轉(zhuǎn)運(yùn)的3-DOF 2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)

其工作原理是：當(dāng)取靜平臺(tái)上的P11、P21和P31為主動(dòng)副時(shí)，動(dòng)平臺(tái)1可實(shí)現(xiàn)YOZ平面內(nèi)的兩維平移以及繞R24軸線的一維轉(zhuǎn)動(dòng)，其中，兩維平移(2T)能調(diào)整并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)1在Y、Z方向上的位移與輸送帶(E、F)的高度位置一致，而一維轉(zhuǎn)動(dòng)(1R)能使動(dòng)平臺(tái)1繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R24軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，從而使動(dòng)平臺(tái)1能適應(yīng)自動(dòng)接收來(lái)自輸送帶E上的物料，或?qū)?dòng)平臺(tái)1上的物料自動(dòng)傾翻至輸送帶F上。

7 結(jié)論

(1)根據(jù)基于POC方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論與方法，提出了一種純低副組成的、制造方便的3-DOF兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)；拓?fù)浞治霰砻?，該機(jī)構(gòu)由兩個(gè)零耦合度的SKC組成，具有符號(hào)式位置正解，且具有輸入-輸出運(yùn)動(dòng)部分解耦性。

(2)求解了該機(jī)構(gòu)的符號(hào)式位置正反解，分析了該機(jī)構(gòu)的工作空間和奇異位置；并由雅可比矩陣推導(dǎo)出該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)基點(diǎn)的加速度曲線，表明其變化連續(xù)、平穩(wěn)。

(3)根據(jù)虛功原理的序單開(kāi)鏈法，建立了該機(jī)構(gòu)的逆向動(dòng)力學(xué)模型，并求解了機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力以及SKC連接處運(yùn)動(dòng)副的支反力，表明所需驅(qū)動(dòng)力變化平穩(wěn)。

(4)對(duì)該機(jī)構(gòu)應(yīng)用于物流領(lǐng)域輸送帶之間物料的自動(dòng)轉(zhuǎn)運(yùn)、卸料裝置的應(yīng)用場(chǎng)景，進(jìn)行了概念設(shè)計(jì)。