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        高考試題中數(shù)學建模素養(yǎng)的融入
        ——以“數(shù)列”專題為例

        2023-03-05 07:57:03劉凱月華東師范大學教師教育學院200062
        中學數(shù)學月刊 2023年1期
        關鍵詞:素養(yǎng)數(shù)學學生

        劉凱月 (華東師范大學教師教育學院 200062)

        數(shù)學建模主要指從現(xiàn)實問題情景出發(fā),構建數(shù)學模型并進而解決問題的素養(yǎng)[1],即從現(xiàn)實問題中選取研究對象,將其中的關系轉化為數(shù)學語言和數(shù)學符號,尋找對應的數(shù)學模型,探索更簡單快捷的解題方法.這一素養(yǎng)考查學生的邏輯思維、動手實踐、舉一反三等綜合能力,故與其他幾大核心素養(yǎng)密切相關,因此提高學生的數(shù)學建模素養(yǎng)及能力在日常教學中十分重要[2].

        《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出數(shù)列不僅是一種特殊的函數(shù),而且是研究其他類型函數(shù)的工具,日常生活中也處處體現(xiàn)著數(shù)列的應用,如貸款、人口增長等,其中蘊含著豐富的數(shù)學思想和方法,對提高學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模和邏輯推理等素養(yǎng)起著十分重要的作用[3].因此本文關注數(shù)學建模素養(yǎng)在數(shù)列中的融入,并期望為之后的考查及評價提供若干建議.

        1 高考試題分析

        本文選取了近五年(2018—2022年)高考數(shù)學試題,包括全國甲卷(文數(shù)、理數(shù))、全國乙卷(文數(shù)、理數(shù))、新高考I卷、新高考II卷、北京卷、天津卷、浙江卷、上海卷、江蘇卷、全國I卷(文數(shù)、理數(shù))、全國II卷(文數(shù)、理數(shù))、全國III卷(文數(shù)、理數(shù))共59套高考數(shù)學試題(其中2020年加入新高考I、II卷,2021年全國I、II、III卷改為全國甲、乙卷,江蘇卷改用全國I卷),分析這些高考試卷中數(shù)列試題的內(nèi)容及分布,考查其中所體現(xiàn)的數(shù)學建模素養(yǎng).

        1.1 試題分布

        根據(jù)上述對數(shù)學建模的定義,對近五年高考數(shù)學試題進行初步分析,對這些試題中融入數(shù)學建模素養(yǎng)的數(shù)列試題按題型、考點、分值、建模背景等信息進行統(tǒng)計,并根據(jù)葉立軍[4]對高中數(shù)學教材的研究,將試題中所涉及的數(shù)學建模背景分為日常生活、數(shù)學文化和科學背景三類.2018—2022年共59套高考數(shù)學試題中共有10道數(shù)列題目,試題信息如表1所示.可以看出,這些試題主要分布在選擇題中,在填空題和解答題中出現(xiàn)得較少,分值大部分都較低.三種數(shù)學建模背景類型分布較為均衡,涉及的領域較多,表明數(shù)列應用之廣.同時不難發(fā)現(xiàn),隨著年份的增長,數(shù)學建模融入數(shù)列專題的考查也逐漸增多,表明對該方面的關注有所提升.

        表1 2018—2022年高考數(shù)學試題中數(shù)學建模素養(yǎng)指導下的數(shù)列試題相關信息

        1.2 考點分布

        上述10道數(shù)列題目考查的內(nèi)容相對均衡,主要集中在以下幾個考點:等差數(shù)列通項、性質(zhì)、求和公式,等比數(shù)列通項,數(shù)列列舉,周期性數(shù)列,數(shù)列求和的綜合運用.其中有四道題目考查等差數(shù)列的相關知識,三道題目考查等比數(shù)列的通項公式,四道題目涉及一般數(shù)列的知識,如列舉、周期及求和.10道題目中大部分屬于基礎題,多出現(xiàn)于選擇題第3-6題,少數(shù)為中高檔題目,如2021年上海卷解答題第19題、2021年新高考I卷填空題第16題.

        1.3 數(shù)學建模背景

        為了探討不同高考試題考查的數(shù)學建模素養(yǎng)的水平層次,本文根據(jù)喻平[5]的數(shù)學核心素養(yǎng)評價框架,并結合《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》[3]中有關數(shù)學建模素養(yǎng)水平的介紹,參考葉德偉[6]等人對數(shù)學建模素養(yǎng)水平的編碼,確定了本文的數(shù)學建模素養(yǎng)水平編碼表,如表2所示.

        1.4 數(shù)學建模水平

        根據(jù)表2確定的數(shù)學建模素養(yǎng)水平編碼表,本文對上述10道題目進行編碼,統(tǒng)計各個水平中融入數(shù)學建模素養(yǎng)的試題數(shù)量.其中,統(tǒng)計的試題數(shù)量與學生實際作答的任務量相對應,而非題號.例如,2021年上海卷解答題第19題共有2小題,試題數(shù)量記作2.編碼過程由兩位數(shù)學教育專業(yè)研究生一起完成,首先二人分別獨立編碼,后經(jīng)過討論并參考導師意見,確定各個題目的編碼情況,詳細編碼如表3所示.

        表2 數(shù)學建模素養(yǎng)水平編碼表

        表3 高考試題中各水平數(shù)學建模試題數(shù)量

        從表3可以看出,融入數(shù)學建模素養(yǎng)的高考數(shù)列試題著重考查學生的知識遷移能力,即學生能否發(fā)現(xiàn)問題并轉化為數(shù)學問題,進而選擇合適的模型來解決這些常規(guī)性問題;而對知識理解和知識創(chuàng)新水平的考查較少,說明對學生構建數(shù)學模型解決非常規(guī)問題的考查較弱.

        2 命題角度及思路分析

        2.1 日常生活

        數(shù)學應用于我們?nèi)粘I畹脑S多方面,比如營業(yè)額、排序等,學生可以將日常生活中的現(xiàn)實問題構建成數(shù)學問題,用數(shù)學語言來描述,用數(shù)學視角去觀察,進而尋找合適的數(shù)學模型來解決,以此體會數(shù)學融入生活的現(xiàn)實意義,提高數(shù)學表達能力.

        例1(2021年上海卷第19題)已知某企業(yè)2021年第一季度的營業(yè)額為1.1億元,以后每個季度的營業(yè)額比上個季度增加0.05億元,該企業(yè)第一季度的利潤為0.16億,以后每季度比前一季度增長4%.

        (1)求2021年起前20季度營業(yè)額的總和;

        (2)請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%?

        評析本題為數(shù)學融入社會生活應用題,以求企業(yè)前20季度營業(yè)額之和及利潤為背景,引導學生感受數(shù)學與我們生活息息相關.第(1)問考查等差數(shù)列求和公式,第(2)問構建等差數(shù)列和等比數(shù)列的不等式,考查學生對于兩者的綜合理解及應用.

        2.2 數(shù)學文化

        源遠流長的數(shù)學文化為數(shù)學增添了美麗與神秘,古人在數(shù)學方面的造詣也對我們頗有啟發(fā).將數(shù)學文化融入高考試題,考驗學生將遙遠的古代知識與現(xiàn)學的數(shù)學模型相結合,可以激發(fā)其對于探索數(shù)學奧秘的積極性,體會數(shù)學對于社會發(fā)展的價值,同時樹立文化自信.

        2.3 科學背景

        數(shù)學與科學聯(lián)系密切,科學研究以數(shù)學為工具,離不開數(shù)學的發(fā)展.科學背景下的高考試題要求學生把握關鍵信息、構建數(shù)學模型、闡釋科學規(guī)律,并且在解題過程中體會數(shù)學的實用價值及技術價值.

        A.b1

        C.b6

        評析本題選取了嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期為背景,體現(xiàn)數(shù)學在物理、天文等領域的應用,引導學生通過{bn}的前幾項理解題中所給比值的含義,并通過作差法或不等式的性質(zhì)比較各項.科學背景可以讓學生感受到數(shù)學在不同學科中的重要性,也有助于其更好地體會數(shù)學應用的廣闊性.

        3 教學及備考建議

        3.1 探尋問題情境,融入課堂教學

        經(jīng)本文的分析不難發(fā)現(xiàn),近年來的數(shù)列專題越發(fā)重視對于數(shù)學建模素養(yǎng)的考查.在日常的教學中,教師應該結合實際生活例子、挖掘相關文化史料、探索數(shù)學與其他學科融合的案例,引導學生在具體的情境中感受數(shù)列與我們生活的緊密聯(lián)系.

        3.2 提高應用意識,鼓勵模型構建

        數(shù)學來源于生活,又應用于生活,從歷年高考題中也可以看出數(shù)列應用的廣泛與重要性,教學中應著眼于數(shù)列知識的應用,拓寬學生的思維,鼓勵學生在面對新情景時勇于嘗試構建模型并解決問題,培養(yǎng)學生的建模意識,以做到會觀察、勤思考、多應用.

        3.3 完善教學評價,提升建模素養(yǎng)

        本文涉及的題目評價水平涵蓋知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新三個方面,教師應在課堂中根據(jù)評價的不同水平設計相應的教學和練習,并通過合適的教學評價讓學生感受其中蘊含的數(shù)學思想和建模過程,進而幫助學生提升數(shù)學建模素養(yǎng).

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