王啟云，鄭中團(tuán)

（上海工程技術(shù)大學(xué)數(shù)理與統(tǒng)計學(xué)院，上海 201620）

0 引 言

研究可知，學(xué)者專家對于傳染病疫情的演化路徑以及模型預(yù)測于十八世紀(jì)就開始了，主要以傳染病動力學(xué)模型為基礎(chǔ)對疫情的發(fā)展進(jìn)行研究和分析為主［1－4］。 COVID－19 疫情爆發(fā)以來，全球許多學(xué)者都對這次的疫情進(jìn)行了研究和預(yù)測。 Yang 等學(xué)者［5］利用改進(jìn)的SEIR 模型得到新冠肺炎的流行曲線，并使用人工智能方法來研究疫情。 范如國等學(xué)者［6］基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，對3 種情況下的疫情拐點進(jìn)行了預(yù)測。 嚴(yán)閱等學(xué)者［7］引入時滯過程，提出了基于時滯動力學(xué)系統(tǒng)的傳染病模型，并有效地預(yù)測了疫情未來的發(fā)展。 劉紅亮等學(xué)者［8］利用甘肅省出現(xiàn)病例以來最初8 天的確診數(shù)據(jù)，基于系統(tǒng)動力學(xué)構(gòu)建了新冠肺炎患者變動分析模型。 路雪鵬等學(xué)者［9］基于系統(tǒng)動力學(xué)提出了一種擴(kuò)展的SEIR 模型，對新冠病毒的傳播過程進(jìn)行研究。 這些模型考慮了傳染病的傳播機(jī)理，能夠很好地解釋傳染病的傳播過程，但大部分并沒有考慮到新冠肺炎的多種人群狀態(tài)，會忽略無癥狀感染者、潛伏人群的傳染性等，盡管一些學(xué)者對COVID－19 疫情的傳播進(jìn)行了仿真與建模，但是以上海市作為仿真對象的研究卻仍有不足。

針對這些問題，考慮到上海疫情中無癥狀感染者所占比例較大的實際情況，本文提出了SEIGQ 模型并基于系統(tǒng)動力學(xué)進(jìn)行模擬仿真，首先，在經(jīng)典的SEIR 動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上加入了不易感人群，將感染者劃分為有癥狀感染者和無癥狀感染者，將隔離人群劃分為治愈人群和死亡人群，并考慮潛伏人群的傳染性；其次，基于系統(tǒng)動力學(xué)對SEIGQ 模型進(jìn)行模擬仿真，探討2022年上半年的上海市新冠肺炎疫情的傳播機(jī)制以及導(dǎo)致疫情擴(kuò)散的相關(guān)因素；最后，根據(jù)仿真分析結(jié)果給予疫情防控一定的建議。

1 數(shù)據(jù)來源與概括

疫情數(shù)據(jù)來源于上海發(fā)布官方公布的各地區(qū)新增確診人數(shù)、新增無癥狀感染者人數(shù)、新增治愈出院的確診人數(shù)以及新增解除醫(yī)學(xué)觀察的無癥狀感染者人數(shù)。 選取從2022年2月24日至6月24日的上海市的日實際新增陽性病例數(shù)、日實際出院陽性病例人數(shù)，并計算日實際增長率，上海疫情的總體時間演化特征如圖1 所示。

圖1 疫情總體時間演化特征Fig. 1 Characteristics of overall time evolution of the epidemic

從圖1 可以看出，疫情具有階段性，在疫情初發(fā)期，日實際新增陽性病例數(shù)呈現(xiàn)持續(xù)增長，日實際增長率呈現(xiàn)波動式增長；在突增爆發(fā)期，日實際新增陽性病例數(shù)突增，呈現(xiàn)出爆發(fā)式增長，并于4月13日達(dá)到峰值。 在衰退下降期，日實際新增陽性病例迅速下降，日實際出院陽性病例人數(shù)呈現(xiàn)大幅度波動式的增加，日實際增長率趨于停滯，并于5月17日實現(xiàn)全市16 個區(qū)陽性清零。 在內(nèi)部穩(wěn)定期，日實際新增陽性病例數(shù)穩(wěn)定下降，并且在5月29日下降至兩位數(shù)，日實際出院陽性病例數(shù)整體上呈現(xiàn)下降的趨勢，日實際增長率波動下降，整體上呈現(xiàn)負(fù)增長。

2 SEIGQ 模型的構(gòu)建

為了研究新冠肺炎的傳播機(jī)制，探討影響COVID－19 疫情傳播的因素，需要考慮到新冠肺炎病毒的傳播特點，基于經(jīng)典的SEIR 模型構(gòu)建一個改進(jìn)的新冠肺炎傳染病動力學(xué)模型。

2.1 模型假設(shè)

（1）假設(shè)上海市的總?cè)丝谑且粋€常數(shù)，即不考慮仿真期內(nèi)人口的遷入、遷出以及自然死亡的影響。

（2）假設(shè)模型中的治愈人群已具備抗體，排除重復(fù)感染的可能性。

（3）假設(shè)被檢測出的陽性患者都可以被安全隔離，不會再感染別人。

（4）假設(shè)所有潛伏者的潛伏期長短一致。

2.2 經(jīng)典的SEIR 模型

在經(jīng)典的SEIR 模型中，針對某種傳染病的傳播，把研究人群進(jìn)行以下4 種劃分：

（1）S為易感者（susceptible）。 表示當(dāng)前尚未被感染，但是容易被感染者感染的人群。

（2）E為潛伏者（exposed）。 表示已經(jīng)感染了病毒，但還未表現(xiàn)出感染癥狀的人群。

（3）I為感染者（infected）。 表示已經(jīng)感染了病毒，并且表現(xiàn)出感染癥狀的人、即確診患者。

（4）R為移出者（removed）。 表示不會再被感染的人群，包括治愈人群和死亡人群，該模型建立的動力學(xué)微分方程表達(dá)式為：

其中，β表示易感者S轉(zhuǎn)化為潛伏者E的概率；ω表示潛伏者E轉(zhuǎn)化為感染者I的概率；γ表示感染者I轉(zhuǎn)化為移出者R的概率。 SEIR 模型的人群狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系如圖2 所示。

圖2 SEIR 模型人群狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系Fig. 2 SEIR model of population transfer relationship

2.3 SEIGQ 模型

針對上海市本輪新冠肺炎疫情的傳播特點，在經(jīng)典的SEIR 動力學(xué)模型上提出以下幾點改進(jìn)：

（1）考慮潛伏者也具有傳染性。 本次新冠肺炎疫情中，潛伏期狀態(tài)的人群雖然沒有表現(xiàn)出感染癥狀，但是也具有傳染性，潛伏者可能會與易感者接觸，從而將易感者轉(zhuǎn)化為潛伏者或者感染者，因而在SEIR 模型中加入潛伏者感染率，由于對確診病例及其密切接觸者的及時管控，使得感染者和潛伏者只能在局部小范圍內(nèi)進(jìn)行感染［10］，故而認(rèn)為感染者感染率和潛伏者感染率相同。

（2）加入不易感人群G。 不易感人群主要指易感人群中采取保護(hù)措施（如接種疫苗或者佩戴口罩），這部分人群在與感染者或者潛伏者接觸時，感染病毒概率更低，不易感人群的初始值為總?cè)丝?疫苗接種率。

（3）將移出者分為治愈者R和死亡者D。 本文將核酸檢測出的所有陽性感染者稱為隔離人群，將隔離人群中通過治療痊愈后的人群稱為治愈人群，不幸去世的人群稱為死亡人群，把傳統(tǒng)模型中的移出者分為治愈人群R和死亡人群D。

（4）將感染者分為有癥狀感染者N和無癥狀感染者M(jìn)。 無癥狀感染者是指新冠病毒病原檢測為陽性，但無相關(guān)的臨床表現(xiàn)且CT 影像學(xué)無新冠肺炎影像學(xué)特征者，這部分人群主要依靠核酸檢測進(jìn)行排查。 與之前的疫情相比，本輪上海疫情中無癥狀感染者占感染者的比例較大，故而將感染者劃分為無癥狀感染者M(jìn)和有癥狀有感染者N。

改進(jìn)后的SEIGQ 模型將人群分為9 類，易感染者（S）、潛伏者（E） 、不易感染者（G）、感染者（I） 、無癥狀感染者（M）、有癥狀感染者（N）、隔離人群（Q）、治愈人群（R） 和死亡人群（D），人群轉(zhuǎn)移關(guān)系如圖3所示，SEIGQ 模型可以用微分方程表示為：

圖3 SEIGQ 模型中的人群狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系Fig. 3 Population transfer relationship in SEIGQ model

圖4 COVID－19 疫情演化系統(tǒng)動力學(xué)流圖Fig. 4 Flow diagram of COVID－19 epidemic evolution system dynamics

其中，a為感染率，即感染者和潛伏者對易感染者的感染概率；g為保護(hù)率，即感染者和潛伏者對不易感染者的感染概率；b為潛伏時間；h為無癥狀率；e為檢疫時間；r為治愈率；d為死亡率；N為總?cè)丝凇?通過查找資料文獻(xiàn)以及對上海疫情的統(tǒng)計研究，對上述微分方程的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行賦值，主要參數(shù)及其取值見表1。

表1 主要參數(shù)及取值Tab. 1 Main parameters and their values

3 基于系統(tǒng)動力學(xué)的仿真分析

系統(tǒng)動力學(xué)（System Dynamics，SD）是系統(tǒng)科學(xué)理論與計算機(jī)仿真緊密結(jié)合，研究系統(tǒng)反饋結(jié)構(gòu)與行為的一門科學(xué)，是以定性與定量相結(jié)合的方法研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，模擬復(fù)雜系統(tǒng)的功能與行為［11］。 在新冠肺炎疫情傳播的動力學(xué)模型中，存在易感染者、不易感染者、無癥狀感染者和隔離人群等人群狀態(tài)，應(yīng)用系統(tǒng)動力學(xué)模型可以更加清楚地表示不同人群的轉(zhuǎn)化關(guān)系，分析參數(shù)變化產(chǎn)生的影響，定量地分析與理解COVID－19 疫情的傳播機(jī)理，研究疫情的傳播規(guī)律。

3.1 系統(tǒng)流圖分析

根據(jù)本文提出的SEIGQ 模型將人群分為9 類，其中將總?cè)丝贜分為易感染者S和不易感染者G，將感染者分為無癥狀感染者M(jìn)和有癥狀感染者N，將移出者分為治愈人群R和死亡人群D，基于這一改進(jìn)的SEIR 模型，使用系統(tǒng)動力學(xué)模擬仿真COVID－19 疫情的傳播過程以及發(fā)展趨勢。 為了探討新冠肺炎疫情的傳播機(jī)制以及影響因素，利用參數(shù)敏感性分析定量分析平均交通系數(shù)、核酸常態(tài)化系數(shù)、疫苗接種率和病毒變異對疫情傳播趨勢的影響，使用Anylogic 軟件構(gòu)建COVID－19 疫情演化的系統(tǒng)動力學(xué)仿真模型，繪制系統(tǒng)動力學(xué)流圖如圖5所示，系統(tǒng)動力學(xué)流量定義公式表和存量定義公式表分別見表2 和表3。

表2 流量定義公式表Tab. 2 Traffic definition formula table

表3 存量定義公式表Tab. 3 Stock definition formula table

圖5 系統(tǒng)動力學(xué)校準(zhǔn)實驗仿真結(jié)果Fig. 5 Simulation results of system dynamics calibration experiment

3.2 校準(zhǔn)實驗

由于平均交通系數(shù)和核酸常態(tài)化系數(shù)缺少有效的參數(shù)值，因此本文通過校準(zhǔn)實驗來確定這2 個參數(shù)的取值。 通過與2022年2月24日至6月24日上海市實際陽性感染者人數(shù)、有癥狀感染者人數(shù)和無癥狀感染者人數(shù)的實際數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，使得模擬數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間的差異最小。 設(shè)置平均交通系數(shù)和核酸常態(tài)化系數(shù)為連續(xù)型，最小值為0，最大值為1，當(dāng)系數(shù)值為0 時表示不進(jìn)行交通管制或者不進(jìn)行核酸常態(tài)化檢測，當(dāng)系數(shù)值為1 時表示進(jìn)行最嚴(yán)格的交通管制和最大限度進(jìn)行核酸檢測。 經(jīng)過多次校準(zhǔn)，得到平均交通系數(shù)為0.6，核酸常態(tài)化系數(shù)為0.7，此時模擬數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間的差異最小，實際陽性感染者人數(shù)差異為792 人。 這2 個參數(shù)的校準(zhǔn)數(shù)值與上海市疫情的實際情況一致，即上海市總體上采取了較強(qiáng)的交通管制和頻率較高的核酸檢測，仿真模擬結(jié)果如圖5 所示。 從圖5 可以看出，通過校準(zhǔn)實驗，仿真數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)一致，驗證了模型的合理性。

3.3 參數(shù)敏感性分析

根據(jù)系統(tǒng)流圖分析可知，COVID－19 疫情中的感染概率取決于疫情防控中的4 個重要參數(shù)：平均交通系數(shù)、核酸常態(tài)化系數(shù)、病毒變異和疫苗接種率，利用系統(tǒng)動力學(xué)中的敏感性分析對不同參數(shù)數(shù)值進(jìn)行仿真模擬，以探討其對疫情發(fā)展的影響。

（1）平均交通系數(shù)的參數(shù)分析。 平均交通系數(shù)即居民的平均出行強(qiáng)度，受到交通管制措施的影響，在交通管制較松弛的地方人們的平均交通系數(shù)會更大。 將平均交通系數(shù)的最小值設(shè)置為0.5，最大值設(shè)置為0.7，模擬步長設(shè)置為0.1，模擬時間設(shè)置為100天，則平均交通系數(shù)對感染者人數(shù)的影響如圖6 所示。 從圖6 可以看出，當(dāng)平均交通系數(shù)減小、即減弱交通管制時，感染者人數(shù)會明顯增加；當(dāng)平均交通系數(shù)增加、即加強(qiáng)交通管制時，感染者人數(shù)會明顯減少，同時隨著平均交通系數(shù)的增加，感染者人數(shù)的最高點向后推遲。

圖6 平均交通系數(shù)對感染者人數(shù)的影響Fig. 6 Influence of average traffic coefficient on the number of infected persons

（2）核酸常態(tài)化系數(shù)的參數(shù)分析。 核酸檢測是第一時間發(fā)現(xiàn)陽性感染者的重要手段，也是加強(qiáng)自我保護(hù)的重要防線，開展常態(tài)化核酸檢測是主動篩查無癥狀感染者的必要路徑。 將核酸常態(tài)化系數(shù)設(shè)為范圍參數(shù)：最小值設(shè)為0. 6，表示每100 個上海市民每天能進(jìn)行核酸檢測的人數(shù)約為60 人；最大值設(shè)為0.8，表示每100 個上海市民每天能進(jìn)行核酸檢測的人數(shù)約為80 人，模擬步長設(shè)置為0.1，模擬時間設(shè)置為100 天，則核酸常態(tài)化系數(shù)對感染者人數(shù)的影響如圖7 所示。 從圖7 可以看出，隨著核酸常態(tài)化系數(shù)的減少，即居民進(jìn)行核酸檢測的頻率降低時，感染者人數(shù)會明顯增加；隨著核酸常態(tài)化系數(shù)的增加，感染者人數(shù)會明顯減少。

圖7 核酸常態(tài)化系數(shù)對感染者人數(shù)的影響Fig. 7 Impact of nucleic acid normalization coefficient on the number of infected persons

（3）疫苗接種率的參數(shù)分析。 接種新冠病毒疫苗可以預(yù)防發(fā)病、重癥和死亡，阻斷疫情傳播，讓大多數(shù)人的健康得到保證，國內(nèi)新冠疫苗全程接種率為89.7%，將疫苗接種率設(shè)為范圍參數(shù)，最小值設(shè)為79.7%，最大值設(shè)為99.7%，模擬步長設(shè)置為10%，模擬時間設(shè)置為100 天，則疫苗接種率對感染者人數(shù)的影響如圖8 所示。 從圖8 可以看出，當(dāng)疫苗接種率降低，感染人數(shù)會有所增加，當(dāng)進(jìn)一步提升疫苗接種率時，感染人數(shù)會有所減少。

圖8 疫苗接種率對感染者人數(shù)的影響Fig. 8 Impact of vaccination rates on the number of infected persons

（4）病毒變異的參數(shù)分析。 研究發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致本輪上海本土疫情的新冠病毒，絕大部分為奧密克戎BA.2 型和BA.2.2 型，奧密克戎變異株的傳播力大概是此前的初代新冠病毒的1.5 倍。 將病毒變異的最小值設(shè)為1、表示初代新冠病毒，最大值設(shè)為2、表示比奧密克戎變異株更強(qiáng)一倍的變異株，模擬步長設(shè)置為0. 1，模擬時間設(shè)置為100 天，則病毒變異對感染者人數(shù)的影響如圖9 所示。 從圖9 可以看出，初代新冠病毒的傳染率更低一點，感染人數(shù)也會明顯減少，當(dāng)病毒變異增強(qiáng)，即出現(xiàn)了比奧密克戎變異株更強(qiáng)的變異株，則感染率會增加，感染人數(shù)也會明顯增加，可見，病毒變異對疫情的傳播有著顯著的影響。

圖9 病毒變異對感染者人數(shù)的影響Fig. 9 Impact of virus mutation on the number of infected persons

4 結(jié)束語

新冠肺炎的持續(xù)蔓延嚴(yán)重影響人們的生活，研究疫情的傳播機(jī)理，模擬仿真分析COVID－19 疫情的傳播過程對于科學(xué)制定防疫策略具有重要作用。本文以公開發(fā)布的上海市COVID－19 疫情數(shù)據(jù)為研究對象，對SEIR 模型進(jìn)行修正，提出了SEIGQ 模型，該模型考慮了潛伏期狀態(tài)人群的感染性，加入了潛伏者感染率，將總?cè)丝趧澐譃橐赘腥巳汉筒灰赘腥巳?；將感染者劃分為有癥狀感染者和無癥狀感染者；將隔離人群劃分為治愈人群和死亡人群。 其次，基于系統(tǒng)動力學(xué)構(gòu)建疫情演化的仿真模型，模擬COVID－19 疫情傳播的發(fā)展過程，利用參數(shù)敏感性分析定量分析平均交通系數(shù)、核酸常態(tài)化系數(shù)、疫苗接種率和病毒變異這4 個參數(shù)對疫情的影響。 根據(jù)仿真分析結(jié)果，提出如下建議：

（1）提高平均交通系數(shù)。 在出現(xiàn)疫情的地區(qū)實行嚴(yán)格的交通管制，降低個人出行頻率，做到非必要不出門，在出行過程注意做好防疫措施，少聚集。

（2）加快核酸常態(tài)化系數(shù)。 個人需要積極響應(yīng)當(dāng)?shù)氐暮怂釞z測政策，當(dāng)發(fā)現(xiàn)有疑似新冠陽性癥狀，需要立刻做好隔離措施并進(jìn)行多次核酸檢測。 各地均需做好對疫情的追蹤并及時通報信息，減低傳播風(fēng)險，根據(jù)各地疫情情況合理分配資源進(jìn)行常態(tài)化核酸檢測。

（3）提高疫苗接種率。 接種新冠疫苗在降低感染風(fēng)險和傳播速度方面有一定的積極作用。 國內(nèi)新冠疫苗全程接種率為89.7%，還可以進(jìn)一步提高。未接種疫苗的人需要積極配合進(jìn)行接種，也可以加強(qiáng)宣傳疫苗接種的重要性，多設(shè)立一些疫苗接種點以提高疫苗接種率。