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（貴州大學(xué)大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴陽 550025）

0 引 言

在過去的幾十年中，群智能算法在具有挑戰(zhàn)性的工程領(lǐng)域中越來越受歡迎，究其原因則在于這種方法比傳統(tǒng)的數(shù)值方法更簡便和有效。 群智能算法的優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)在許多方面，首先是該方法的隨機(jī)性，這可以保證算法成功地避免局部極值。 其次是黑盒概念，即不需要考慮程序內(nèi)部，只需要知道輸入和預(yù)期輸出，操作簡單。 最后，是其算法參數(shù)較少、易于實(shí)現(xiàn)且數(shù)學(xué)模型簡單。 群智能算法有很多種，但都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即優(yōu)化過程分為2 個(gè)步驟：勘探和開發(fā)。 在探索階段，算法傾向于在搜索空間中尋找遠(yuǎn)離當(dāng)前峰值的最優(yōu)解，這種搜索過程具有全局性和廣泛性。 而在開發(fā)步驟中，算法傾向于通過搜索解的鄰域來改進(jìn)迄今為止找到的最優(yōu)解。 顯然，當(dāng)開發(fā)和探索一起解決問題時(shí)，會(huì)相互沖突。 一個(gè)成功的算法應(yīng)該能夠在探索和開發(fā)步驟之間保持適當(dāng)?shù)钠胶?，這可以減輕局部極端停滯和不成熟收斂的問題。 常見的群智能算法有粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）［1］、 蝴蝶優(yōu)化算法（Butterfly Optimization Algorithm，BOA）［2］、正余弦優(yōu)化算法（Sine Cosine Algorithm，SCA）［3］、 鯨魚優(yōu)化算法（ Whale Optimization Algorithm，WOA）［4］、野馬優(yōu)化算法（Wild Horse Optimizer，WHO）［5］、 麻雀搜索算法（Sparrow Search Algorithm，SSA）［6］等，但根據(jù)無“免費(fèi)午餐”定理，不可能提出一種能夠解決所有工程優(yōu)化問題的算法，所以國內(nèi)外學(xué)者提出了各種策略來對算法進(jìn)行優(yōu)化，以更好地解決各類問題。 文獻(xiàn)［7］在海馬優(yōu)化算法的初始化中使用10 種不同的混沌映射產(chǎn)生混沌值、而并非隨機(jī)值，提高了方法的性能。 在海馬優(yōu)化算法中，使用混沌映射生成混沌序列的目的是提高原算法的收斂速度并避免局部最優(yōu)。 文獻(xiàn)［8］引入Tent混沌映射初始化種群，利用混沌映射具有的隨機(jī)性、遍歷性和有序性等特點(diǎn)，可用于增加種群的多樣性，加快算法前期的收斂速度。 文獻(xiàn)［9］提出了具有慣性權(quán)重的蝙蝠優(yōu)化算法，文章采用簡單易行，性能好的隨機(jī)、線性遞減和非線性遞減慣量權(quán)重。 此外，還提出了慣性權(quán)重的新變體，其原理是慣性權(quán)重呈指數(shù)增加，呈指數(shù)級增長的慣性權(quán)重能避免蝙蝠算法過早收斂。 文獻(xiàn)［10］提出了一種具有自適應(yīng)隨機(jī)慣性權(quán)重的粒子群優(yōu)化算法，其慣性權(quán)重是由三角概率密度函數(shù)隨機(jī)生成，并隨著算法演變持續(xù)更新。 在搜索的早期階段，獲得更大權(quán)重的概率非常高，這有利于全局搜索。 隨著迭代次數(shù)的增加，獲得較小權(quán)重的概率增加，這有助于局部優(yōu)化。 文獻(xiàn)［11］提出了一種基于Lévy 飛行和正交學(xué)習(xí)的新型粒子群算法，利用Lévy 飛行的跳躍能力來增強(qiáng)探索，具有增強(qiáng)的開發(fā)能力和更快的搜索效率。 文獻(xiàn)［12］提出了一種基于對立學(xué)習(xí)和Lévy 飛行分布的飛蛾撲火優(yōu)化算法，Lévy 飛行是與非高斯隨機(jī)分布相關(guān)的隨機(jī)游走，其中步長取自Lévy 飛行，利用Lévy 飛行分布來防止算法陷入局部最優(yōu)。

人工兔優(yōu)化算法［13］（ Artificial rabbits optimization）是Wang 等學(xué)者于2022年所提出來的一種群智能優(yōu)化算法，該算法將自然界中兔子的生存策略進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，建立了一個(gè)有效的優(yōu)化框架。 采用這種方法，處理了2 種模擬策略，即繞行覓食和隨機(jī)隱藏。 ARO 優(yōu)點(diǎn)在于其參數(shù)較少、算法復(fù)雜度較低、優(yōu)化的時(shí)間較短；而其缺點(diǎn)是具有收斂速度慢、求解的精度不高、無法找到理論值、容易陷入局部最優(yōu)、不再隨著迭代的進(jìn)行向理論更優(yōu)的位置搜索等問題，有著較大的改進(jìn)空間。 因此本文提出了一種引入慣性權(quán)重與萊維飛行的人工兔優(yōu)化算法（WLARO）。 首先，在種群初始化階段引入Tent 慣性權(quán)重，增強(qiáng)種群的多樣性和動(dòng)態(tài)性；其次，在繞道覓食階段引入慣性權(quán)重，提高算法的收斂精度及尋優(yōu)速度；最后，在隨機(jī)隱藏階段引入Lévy 飛行策略，對目前的最優(yōu)位置進(jìn)行擾動(dòng)，避免算法陷入局部最優(yōu)。 通過實(shí)驗(yàn)仿真分析證明了本文所提出算法的優(yōu)勢，并將算法應(yīng)用于壓力容器工程問題中，取得了較好的結(jié)果。

1 人工兔算法

為防止巢穴被捕食者發(fā)現(xiàn)，兔子有2 種生存策略，一種是繞道覓食，另一種是隨機(jī)躲藏。 兔子的視野非常開闊，很輕易就能在大范圍內(nèi)找到食物，這種繞道覓食策略為勘探階段。 兔子善于挖洞筑巢，為了躲避捕食者或獵人的蹤跡，兔子會(huì)在自己的窩周圍挖洞，遇到危險(xiǎn)時(shí)，會(huì)隨機(jī)選擇一個(gè)洞穴作為避難所，這種生存方式是隨機(jī)躲藏，即開發(fā)階段。 由于兔子處于食物鏈的低端，有很多捕食者，為了躲避危險(xiǎn)，兔子必須快速奔跑，這樣會(huì)使兔子的能量縮減，所以通過能量縮減，免子會(huì)在繞路覓食和隨機(jī)躲藏之間進(jìn)行切換，在算法中就是全局搜索與局部開發(fā)之間的轉(zhuǎn)換。

1.1 繞道覓食（搜索階段）

俗話說“兔子不吃窩邊草”，在ARO 中，兔子忽略近處的食物，傾向于移動(dòng)到其他個(gè)體的領(lǐng)地尋找食物，所以每個(gè)搜索個(gè)體傾向于在種群中隨機(jī)選擇另一個(gè)搜索個(gè)體更新自己的位置，并增加擾動(dòng)，其數(shù)學(xué)模型如下：

1.2 隨機(jī)躲藏（開發(fā)階段）

為了躲避捕食者，兔子通常會(huì)在其巢穴周圍挖洞穴藏身。 每一次迭代，兔子會(huì)沿著搜索空間的維度在自身周圍產(chǎn)生d個(gè)洞，以降低被捕食的概率，第i只兔子的第j個(gè)藏身洞穴的位置見式（7）：

圖1 H 變化圖Fig. 1 The change diagram of H

隨機(jī)隱藏的位置更新公式如式（11）所示：

在實(shí)現(xiàn)2 種策略后，兔子的位置更新如下：

1.3 能量收縮（從探索轉(zhuǎn)向開發(fā)）

兔子在迭代的初期階段經(jīng)常進(jìn)行繞道覓食，而在迭代的后期則經(jīng)常進(jìn)行隨機(jī)隱藏。 這種搜索機(jī)制是由兔子的能量決定的，隨著時(shí)間的推移，兔子的能量會(huì)逐漸減少。 因此，用能量因子來模擬從探索到開發(fā)的轉(zhuǎn)換過程。 ARO 中的能量因子定義如下：

其中，r是［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)A（t）＞1時(shí)，兔子會(huì)繞道覓食，進(jìn)行全局探索階段；當(dāng)A（t） ≤1 時(shí)，兔子隨機(jī)選擇一個(gè)洞穴躲藏，進(jìn)行局部開發(fā)階段，能量因子A的變化趨勢如圖2 所示，其值是整體下降，更好地平衡了探索和開發(fā)階段。

圖2 A 變化圖Fig. 2 The change diagram of A

2 改進(jìn)的人工兔優(yōu)化算法

2.1 Tent 混沌初始化

ARO 采用的是隨機(jī)初始化種群，種群可能會(huì)密集集中在一個(gè)區(qū)域，不利于算法進(jìn)行迭代尋優(yōu)，因此本文引入了Tent 混沌映射［14］，利用其具有的小周期和不穩(wěn)定點(diǎn)特點(diǎn)，對種群進(jìn)行初始化。 保證Tent 映射序列的隨機(jī)性、遍歷性和有效性，其表達(dá)式如下：

其中，i為兔子的序號；N為兔子的總數(shù)；d為對應(yīng)的維度。 結(jié)合改進(jìn)Tent 序列進(jìn)行種群初始化，其表達(dá)式為：

2.2 自適應(yīng)慣性權(quán)重因子

慣性權(quán)重因子［15］對解的搜索精度和收斂速度有著很好的引導(dǎo)作用，較大的慣性權(quán)重因子在前期全局搜索時(shí)能力較強(qiáng)，較小的慣性權(quán)重因子在后期的開發(fā)能力較強(qiáng)。 因此本文采用一種非線性慣性權(quán)重因子，更快達(dá)到一定的收斂精度，使之在迭代初期慣性權(quán)重緩慢減小，使其有很好的全局搜索能力，更快達(dá)到一定的收斂精度，在迭代后期，其解容易陷入局部最優(yōu)，此時(shí)較小慣性權(quán)重能夠有較好的局部搜索能力使之達(dá)到最優(yōu)解，其公式如下：

其中，t為迭代次數(shù)；Tmax為最大迭代次數(shù)；ωmin的值為0.4；ωmax的值為0.9；ω的變化曲線如圖3 所示。隨著迭代的增加，慣性權(quán)重因子非線性減少、最終達(dá)到最小值，將其引入到ARO 中，可用式（19）表示：

圖3 ω 變化圖Fig. 3 The change diagram of ω

2.3 Lévy 飛行策略

Lévy 飛行策略［16］是非高斯隨機(jī)步態(tài)，其步長服從概率分布，在尋找最優(yōu)解過程中，主要是生成一個(gè)正則隨機(jī)數(shù)，給算法更新提供動(dòng)態(tài)變化，Lévy 飛行不僅可以在短距離中進(jìn)行局部搜索，還可以在長距離全局搜索。 因此在搜索到最優(yōu)值附近時(shí)，Lévy 飛行能達(dá)到增強(qiáng)局部搜索能力的作用，有效解決ARO陷入局部最優(yōu)的問題，本文將Lévy 飛行策略引入式（11）中的人工兔的最優(yōu)位置，因?yàn)锳RO 會(huì)根據(jù)當(dāng)前位置與人工兔最優(yōu)位置的距離來進(jìn)行位置更新，改進(jìn)后的ARO 大大降低了人工兔陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)，而且仍然能充分執(zhí)行局部探索，改進(jìn)公式如下所示：

其中，D為問題的維度，Lévy 飛行的計(jì)算公式如下：

其中，Γ表示標(biāo)準(zhǔn)的Gamma 函數(shù)，β是相關(guān)參數(shù)，本文設(shè)置其值為1.5。

2.4 WLARL 算法步驟

由2.1～2.3 節(jié)可得引入慣性權(quán)重與萊維飛行的人工兔優(yōu)化算法（ARO）的步驟如下：

Step 1初始化算法參數(shù)，建立搜索空間的矩陣。

Step 2使用改進(jìn)的Tent混沌映射初始化種群，計(jì)算其個(gè)體適應(yīng)度值并進(jìn)行排序。

Step 3通過式（15）計(jì)算A的值，若A ＞1 則隨機(jī)選擇一只兔子，根據(jù)式（2）～（5）計(jì)算R的值，通過式（19）執(zhí)行繞道覓食，然后計(jì)算更新兔子的適應(yīng)度值，并通過式（14）更新兔子位置。

Step 4若A≤1，則隨機(jī)生成洞穴并根據(jù)式（13）選擇一個(gè)洞穴隱藏，通過式（20）執(zhí)行隨機(jī)躲藏，然后計(jì)算更新兔子的適應(yīng)度值，并通過式（14）更新兔子位置。

Step 5判斷迭代次數(shù)是否達(dá)到上限，若是則停止迭代，得到最優(yōu)位置以及其適應(yīng)度值，否則重復(fù)執(zhí)行Step 3～Step 5，直到滿足終止迭代條件，算法流程圖如圖4 所示。

圖4 算法流程圖Fig. 4 Implementation flow chart of WLARO algorithm

3 仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

3.1 函數(shù)選取與參數(shù)設(shè)置

本文采用Matlab R2020b 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，運(yùn)行環(huán)境為64 位Windows 10 操作系統(tǒng)，處理器類型為AMD Ryzen 7 5800H。

為了驗(yàn)證WLARO 算法的有效性和改進(jìn)策略的優(yōu)異性，將優(yōu)化后的人工兔算法（WLARO）與傳統(tǒng)人工兔算法（ARO）、蝴蝶優(yōu)化算法（BOA）、粒子群算法（PSO）、正弦余弦算法（SCA）、樽海鞘算法（SSA）、鯨魚優(yōu)化算法（WOA）、野馬優(yōu)化算法（WHO）進(jìn)行了對比實(shí)驗(yàn)。 本文引入10 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)（見表1）。 F1 ～F6 是單峰函數(shù)，局部最優(yōu)即全局最優(yōu)，用來檢驗(yàn)本文提出的WLARO 算法的收斂速度和收斂精度；F7～F10是多峰函數(shù)，具有多個(gè)局部極值，尤其F9和F10的變量之間相互關(guān)聯(lián)，使算法很難搜索到全局最優(yōu)，用來測試算法的跳出局部最優(yōu)的能力。 在實(shí)驗(yàn)中，將使用30 次獨(dú)立運(yùn)行實(shí)驗(yàn)以測試算法性能，設(shè)置種群個(gè)數(shù)為50，最大迭代次數(shù)為1 000。另外，測試函數(shù)的維度也是影響算法尋優(yōu)的一個(gè)關(guān)鍵因素，因此表1 所列出的測試函數(shù)的維度從2 到200 不等，可以更加全面地驗(yàn)證算法性能。各算法的主要參數(shù)設(shè)置見表2。 不同算法的結(jié)果對比見表3。

表2 算法參數(shù)Tab. 2 Parameters of functions

表3 不同算法的結(jié)果比較Tab. 3 Comparison of results of different algorithms

由表3 可以看出，在與其他的傳統(tǒng)群智能優(yōu)化算法相比時(shí)，F(xiàn)1到F5這5 個(gè)單峰函數(shù)上WLARO 算法的表現(xiàn)都是遠(yuǎn)超過其他的傳統(tǒng)群智能算法，平均值、最優(yōu)值、最差值和標(biāo)準(zhǔn)差都到達(dá)了0，證明了其不僅尋優(yōu)精度高、且具有極強(qiáng)的魯棒性，在30 次實(shí)驗(yàn)中均未出現(xiàn)個(gè)別尋優(yōu)值偏離理論值的現(xiàn)象，證明其穩(wěn)定性極好，說明本文提出的3 個(gè)策略對算法進(jìn)行改進(jìn)是有效的；在F6這個(gè)單峰函數(shù)上，雖然WLARO 算法沒有找到測試函數(shù)的理論值，但相比于其他算法，無論是最優(yōu)值、還是標(biāo)準(zhǔn)差仍然是最優(yōu)；在F7與F9這2 個(gè)多峰函數(shù)上，WLARO 算法同樣能夠找到測試函數(shù)的理論值，30 次數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差都為0，即其尋優(yōu)過程非常穩(wěn)定；在F8函數(shù)上，雖然WLARO 算法沒有搜索到算法的理論值，但相比于其他的幾個(gè)傳統(tǒng)算法有著較大的改進(jìn)，在30 次實(shí)驗(yàn)中每一次都在迭代后期陷入了局部最優(yōu)值8.88E－16，其尋優(yōu)精度相比于其他傳統(tǒng)算法提高了16 個(gè)數(shù)量級；在F10多峰函數(shù)上，WLARO 算法沒有找到理論值，但是非常接近理論值，且標(biāo)準(zhǔn)差為0，算法十分穩(wěn)定。 綜上，雖然相比于其他的各種傳統(tǒng)群智能算法，WLARO 算法對各個(gè)測試函數(shù)精度以及穩(wěn)定性的提升不盡相同，但總地來說，WLARO 算法在求解各種基準(zhǔn)函數(shù)上都具有一定的優(yōu)勢。

3.2 測試函數(shù)收斂曲線

根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)，圖5 給出了8 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)的平均收斂曲線，由圖5（a）～圖5（d）可知，在迭代前期，WLARO 算法在一段時(shí)間內(nèi)收斂曲線下降速度很快，表明引入的Tent 慣性權(quán)重起到了作用，增加了種群的多樣性，使得算法一開始收斂速度就較快，隨著更迭次數(shù)的增加算法持續(xù)尋優(yōu)，未出現(xiàn)停止搜索的狀況，并一直尋優(yōu)到了理論最優(yōu)值。 圖5（e）和圖5（g）的曲線有多處拐點(diǎn)，說明本文提出的Lévy飛行策略能夠使得算法跳出局部最優(yōu)，算法的收斂精度得到提升。 圖5（f）和圖5（h）的WLARO 算法的曲線雖然和其他2 種群智能算法的收斂精度相差不大，但從曲線可明顯看出WLARO 算法的收斂速度較其他算法有很大的優(yōu)勢，在迭代前期就迅速收斂，說明本文提出的引入慣性權(quán)重與萊維飛行的人工兔優(yōu)化算法能夠提高算法的收斂速度。

圖5 不同算法的平均收斂曲線Fig. 5 Average convergence curves of different algorithms

3.3 Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)

雖然在30 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)所得到的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差雖然有一定的參考意義，但在多次實(shí)驗(yàn)中，可能會(huì)出現(xiàn)某一次實(shí)驗(yàn)的效果極優(yōu)或極差的情況，這是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差無法體現(xiàn)的，因此在評估改進(jìn)的算法的性能時(shí)，僅僅依據(jù)平均值與標(biāo)準(zhǔn)差是不夠的，需要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)來證明所提出的改進(jìn)算法的優(yōu)越性。

本文在5%的顯著性水平下進(jìn)行Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)［17］，判斷WLARO 算法在某些特定問題上是否有顯著的性能提升。 Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)是非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的一種檢驗(yàn)方法，本文使用該檢驗(yàn)方法與BOA、PSO、SCA、SSA、ARO、WOA 和DA 算法進(jìn)行比較，判斷WLARO 與其他算法之間是否存在顯著性的差異。 表4 列出了所有測試函數(shù)中WLARO 算法與其他算法秩和檢驗(yàn)的P值。 表4 中，每個(gè)數(shù)據(jù)表示W(wǎng)LARO 算法與該數(shù)據(jù)對應(yīng)的算法在對應(yīng)的測試函數(shù)中相比的P值，當(dāng)P小于5%時(shí)，可認(rèn)為是拒絕零假設(shè)的有利證據(jù)［18］，即“改進(jìn)算法與其對比的算法是有顯著區(qū)別”這一說法是錯(cuò)誤的。 因此，表4 中P的數(shù)值越小，說明WLARO 與其對比的算法區(qū)別越大，S為“＋”表明WLARO 算法顯著性高于其他算法，WLARO 的結(jié)果有明顯改善。 結(jié)合表4 的數(shù)據(jù)，即可綜合判斷改進(jìn)算法的效果，WLARO 算法與其他算法在各個(gè)測試函數(shù)的Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)的P值均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.05，所以很明顯本文提出的改進(jìn)算法在統(tǒng)計(jì)上具有優(yōu)越性。

表4 Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)的值Tab. 4 Values of Wilcoxon rank sum test of test function

3.4 實(shí)際工程案例及分析

為進(jìn)一步將WLARO 算法在具體的工程中得到實(shí)際優(yōu)化應(yīng)用，本文選用壓力容器設(shè)計(jì)問題。 這個(gè)問題的目標(biāo)是使壓力容器的制造成本最小化，壓力容器設(shè)計(jì)問題的目標(biāo)是使壓力容器制作（配對、成型和焊接）成本最小。 壓力容器的設(shè)計(jì)如圖6 所示，壓力容器的兩端都有蓋子封頂，頭部一端的封蓋為半球狀。L是不考慮頭部的圓柱體部分的截面長度，R是圓柱體部分的內(nèi)壁直徑，TS和Th分別表示圓柱體部分壁厚和頭部的壁厚，L、R、TS和Th為壓力容器設(shè)計(jì)問題的4 個(gè)優(yōu)化變量，問題的目標(biāo)函數(shù)和4 個(gè)優(yōu)化約束表示如下：

圖6 壓力容器設(shè)計(jì)模型Fig. 6 Design model of pressure vessel

約束條件為：

利用文獻(xiàn)［19］中罰函數(shù)的方法進(jìn)行約束組合處理建立約束目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)應(yīng)用ARO、MFO、GA和DE 與WLARO 算法進(jìn)行求解結(jié)果的比較，其對比結(jié)果見表5。 從表5 可看出，WLARO 在實(shí)際應(yīng)用中也是有效的，具有較好的尋優(yōu)能力，進(jìn)一步驗(yàn)證了該算法在工程應(yīng)用中的可行性。

表5 不同優(yōu)化算法對壓力容器問題求解的結(jié)果對比Tab. 5 Comparision of pressure vessel solved by different optimization algorithms

4 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)人工兔優(yōu)化算法的缺點(diǎn)，本文提出了一種引入慣性權(quán)重與萊維飛行的人工兔優(yōu)化算法（WLARO）。 首先，在種群初始化階段引入Tent 慣性權(quán)重，增強(qiáng)種群的多樣性和動(dòng)態(tài)性；其次，在繞道覓食階段引入慣性權(quán)重，提高算法的收斂精度及尋優(yōu)速度；最后，在隨機(jī)隱藏階段引入Lévy 飛行策略，對目前的最優(yōu)位置進(jìn)行擾動(dòng)，避免算法陷入局部最優(yōu)。 通過實(shí)驗(yàn)仿真分析證明了本文所提出算法的優(yōu)勢，并將算法應(yīng)用于壓力容器工程問題中，取得了較好的結(jié)果。 今后的工作會(huì)將WLARO 應(yīng)用于更加復(fù)雜的應(yīng)用場景中，優(yōu)化實(shí)際復(fù)雜工程的難題，如應(yīng)用到車聯(lián)網(wǎng)資源管理中是下一步研究的重點(diǎn)。