鄭淑梅

1 中國地震局第一監(jiān)測中心，天津市耐火路7號，300180

線性度是地震數(shù)據(jù)采集器的關(guān)鍵性能指標(biāo)之一，可反映地震數(shù)據(jù)采集器輸出信號是否失真。評價線性度的常用方法有最小二乘法[1-3]和端基直線法[4]，地震數(shù)據(jù)采集器線性度計算多采用最小二乘法。

為評估最小二乘法和端基直線法對地震數(shù)據(jù)采集器線性度測量不確定度的影響，本文從理論上給出2種方法評價線性度的區(qū)別，通過實例展示不確定度的計算過程。最后通過對比多種型號的地震數(shù)采測量結(jié)果，分析2種方法的差別及不同輸入點個數(shù)和位置對線性度不確定度的影響。

1 最小二乘法和端基直線法的線性度理論

對于線性系統(tǒng)，輸入量x和輸出量y之間的關(guān)系為：

f(x)=kx+b

(1)

式中，k為直線斜率，b為直線截距。

用xi、yi(i=1,2,…,n)分別表示輸入值和測量值，則在信號點xi上測量值yi與線性回歸值f(xi)的殘差可表示為：

Δyi=yi-(kxi+b)

(2)

根據(jù)線性度定義，最大殘差可反映線性度大小。線性度公式為：

(3)

圖1為最小二乘法和端基直線法擬合示意圖?？梢钥闯?，二者計算線性度的區(qū)別在于k和b的估計值不同導(dǎo)致殘差Δy不同，殘差的正負(fù)和大小可表征測量值在擬合直線兩側(cè)的分散程度。按照最小二乘法原理，當(dāng)殘差平方和最小時，k和b估計值最佳；端基直線法中，k和b只與首尾點有關(guān)。

圖1 線性擬合示意圖Fig.1 Schematic diagram of linear fitting

(4)

最小二乘法

(5)

(6)

2 測量不確定度模型

考慮到被測數(shù)據(jù)采集器的重復(fù)性和分辨力存在重復(fù)，合成不確定度時將二者中的最小值舍去。

根據(jù)不確定度理論公式[5]與文獻(xiàn)[1,4]可得，線性度L的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

(7)

其有效自由度veff=m-3。

3 測量數(shù)據(jù)處理及分析

3.1 測量數(shù)據(jù)獲取及處理

采用標(biāo)準(zhǔn)源法，利用5730A輸出標(biāo)準(zhǔn)直流電壓信號作為地震數(shù)據(jù)采集器的輸入。選用EDAS-27HR型號地震數(shù)據(jù)采集器，測量范圍設(shè)為(-10 V, 10 V)，采樣率設(shè)為100 Hz，其A/D位數(shù)為28 bits，分辨率為0.149 μV/count。根據(jù)地震監(jiān)測專業(yè)設(shè)備入網(wǎng)測試規(guī)程[6]選擇測試點，從-10～10 V每隔1 V選取1個點，首尾選取-9.5 V和9.5 V，共21個測試點。每個測試點測量2 min，截取20 s的數(shù)據(jù)計算其平均值，并將平均值折合到對應(yīng)的輸入端作為最終的測量結(jié)果，由5730A標(biāo)準(zhǔn)儀器引入的不確定度分量u(Ei)采用B類評定，Ei的允許誤差極限由儀器說明書獲得。如參照5730A技術(shù)指標(biāo)，測量2 V直流電壓時的擴(kuò)展不確定度為5 ppm×Vout+0.7 μV，k=2，則其區(qū)間半寬為：

5.35×10-6V

在日常測量中，一般取2 000(20 s)個點的平均值作為測量結(jié)果，測量結(jié)果的實驗方差由式(4)獲得。最終的不確定度分量以及靈敏系數(shù)見表1。

對于最小二乘法，由式(2)和式(3)可得線性度估計值L=4.74×10-6，j=1。將表1中靈敏系數(shù)代入式(7)，計算得到最小二乘法線性度的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為7.8×10-7V。

對于端基直線法，由式(2)和式(3)可得線性度估計值L=9.1×10-7，j=12。將表1中靈敏系數(shù)代入式(7)，計算得到端基直線法線性度的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為6.5×10-7V，有效自由度均為veff=21-3=18。

表1 不確定度分量及靈敏系數(shù)Tab.1 Uncertainty components and sensitivity coefficients

3.2 測量數(shù)據(jù)分析

3.2.1 不同方法對計算結(jié)果的影響

分別采用最小二乘法和端基直線法對不同分辨力(數(shù)據(jù)位數(shù))、不同型號的地震數(shù)據(jù)采集器的線性度結(jié)果進(jìn)行不確定度評定，結(jié)果見表2。

從表2可以看出，最小二乘法與端基直線法線性度不確定度評定結(jié)果在同一數(shù)量級，與分辨力無關(guān)。因此，對于目前常用的地震數(shù)據(jù)采集器而言，無論采用最小二乘法還是端基直線法計算的線性度，其結(jié)果的離散度均很小。端基直線法線性度不確定度的評定結(jié)果較最小二乘法穩(wěn)定，這主要與不確定度計算公式有關(guān)。

表2 最小二乘法與端基直線法線性度的標(biāo)準(zhǔn)不確定度Tab.2 Standard uncertainty of linearity of the least squares method and the terminal-based straight line method

3.2.2 數(shù)據(jù)點數(shù)和位置對計算結(jié)果的影響

為研究數(shù)據(jù)點數(shù)和位置對不確定度評定結(jié)果的影響，分別對19點、17點、15點、13點、11點、9點和7點數(shù)據(jù)在不同位置組合下線性度的不確定度進(jìn)行評定。為不失一般性，仍然采用對稱的選點原則。如圖2所示，以19點數(shù)據(jù)為例，即在原21點數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上從大到小依次去掉對稱的一組數(shù)據(jù)，因此有9個位置組合。同理，17點、15點、13點、11點、9點和7點分別有8個、7個、6個、5個、4個和3個位置組合。2種方法在不同數(shù)據(jù)點及不同位置組合下的不確定度評定結(jié)果見圖3。

圖2 不同數(shù)據(jù)點數(shù)的位置組合示意圖Fig.2 Schematic diagram of the location combination of different data points

圖3 不同數(shù)據(jù)點數(shù)和位置對不確定度的影響Fig.3 The influence of different data points and locations on uncertainty

從圖3可以看出，最小二乘法線性度不確定度隨數(shù)據(jù)點數(shù)的增加而增加，其主要原因是不確定度計算公式為求和過程，數(shù)據(jù)點數(shù)越多其不確定度值越大。相對于最小二乘法，端基直線法線性度不確定度評定結(jié)果受數(shù)據(jù)點數(shù)影響較小，雖然不確定度的理論公式相同，但從靈敏系數(shù)可以看出，實際有效點數(shù)為3個值累加，因此其受數(shù)據(jù)點數(shù)的影響較小。

對于最小二乘法線性度不確定度而言，數(shù)據(jù)點數(shù)越多，對數(shù)據(jù)位置越不敏感；選取的數(shù)據(jù)越靠兩側(cè)，不確定度越小，說明靠邊的數(shù)據(jù)對不確定度的影響較大。端基直線法線性度不確定度均在末位位置組合處發(fā)生突變，這是因為除末位位置組合外，其他位置組合的最大殘差均在1 V點處出現(xiàn)，因此不確定度未發(fā)生任何變化，而末位位置組合已剔除1 V點，最大殘差點發(fā)生變化，因此出現(xiàn)不確定度不同程度的突變。

4 結(jié) 語

本文對地震數(shù)據(jù)采集器線性度不確定度進(jìn)行評定，分析目前常用的最小二乘法和端基直線法線性度不確定度的差別。多種型號的地震數(shù)據(jù)采集器線性度不確定度評定結(jié)果表明，2種方法線性度不確定度評定結(jié)果在同一數(shù)量級，可以滿足地震數(shù)據(jù)采集器線性度不確定度評定的要求，但最小二乘法線性度不確定度受測試點數(shù)的影響較大，端基直線法線性度受測試點數(shù)的影響較小。