高羨明，華夢怡，張功學，李端玲，郭寧波

(陜西科技大學機電工程學院，陜西西安 710021)

0 前言

加工精度是衡量機床加工能力的主要技術指標，直接決定著被加工工件的質(zhì)量[1-3]。切削載荷和機床剛度是影響加工精度的兩個重要因素[4-6]。其中切削載荷受刀具材料、工件材料等外部因素影響；機床剛度受機床拓撲布局方案或結(jié)構構型等內(nèi)部因素影響，這類內(nèi)部因素也是機床設計制造過程中調(diào)整成本較高的部分。因此，機床剛度信息對提升機床加工精度有重要意義。

目前，獲取機床剛度信息的方法主要有檢測法與仿真法兩種[7-9]。檢測法是對機床部件剛度直接進行測量[10-11]，如鏜銑床位置剛度檢測、車削中心剛度檢測等[12-15]。但檢測法僅針對離散點的位置剛度進行了測量[16]，無法全面評價機床在連續(xù)范圍內(nèi)的剛度情況。仿真法是通過有限元分析方法建立機床的有限元模型[17-18]，這種方法雖然能夠在連續(xù)范圍內(nèi)反映剛度的分布情況，但對于機床這類復雜裝備，其有限元模型的規(guī)模會隨著結(jié)構的復雜程度增大，從而使運算量急劇增加。此外，當機床受載情況發(fā)生改變時，又需要對有限元模型重新進行分析求解，耗費大量運算時間，應用范圍被極大地限制。隨著數(shù)字孿生技術的發(fā)展，目前急需一種能夠快速計算、實時表征機床剛度特性的方法。

在剛度建模領域，部分學者提出了一種剛度縮聚理論。GUYAN[19]在靜態(tài)結(jié)構剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的縮聚研究中，將結(jié)構中不受外載作用的節(jié)點視為內(nèi)部節(jié)點，對結(jié)構的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣進行了推導簡化，獲得了一種基于有限元技術的剛度矩陣縮聚方法。由于機床屬于大型復雜裝備，其剛度矩陣的規(guī)模及有限元分析的運算量巨大，因此剛度縮聚理論存在應用于機床剛度分析領域的可能性。

基于以上機床剛度分析的研究背景和現(xiàn)狀，本文作者將剛度縮聚理論引入機床的剛度分析中，并將其與有限元技術相融合，提出一種通用于機床的剛度特性歸一化表征方法。再以THM46100型臥式加工中心的主軸箱系統(tǒng)為例，運用此方法建立該主軸箱的剛度表征模型，再對比驗證鏜削工況實際載荷下該模型和有限元分析法求解所得的主軸箱變形量結(jié)果，表明采用此方法建立的剛度表征模型能夠在保留剛度特性的同時，大大降低運算量，提高分析效率，能夠滿足數(shù)字孿生技術發(fā)展下、機床等復雜裝備領域中，實時動態(tài)反映剛度數(shù)值變化、快速解算空間剛度場的需求。

1 分析方法

1.1 剛度縮聚理論

剛度縮聚是一種根據(jù)約束和載荷條件對系統(tǒng)的剛度矩陣進行縮聚簡化的過程?；诖怂枷胱魅缦峦茖В?/p>

在結(jié)構分析中，系統(tǒng)的結(jié)構方程可表示為

F=Kx

(1)

式中：F為載荷矩陣；K為剛度矩陣；x為位移矩陣。

又可將式按各組成模塊細分為

(2)

因為系統(tǒng)中存在著不受外部作用力的組成模塊，即存在著F2=0，則式(2)與下式等價：

(3)

由此可知，系統(tǒng)在實際受載情況下的剛度矩陣可簡化為

(4)

由以上推導可以看出，在特定載荷和約束條件下對系統(tǒng)的剛度矩陣進行縮聚，原始剛度矩陣中的所有元素對縮聚后的剛度矩陣均有貢獻，證明了剛度縮聚可在完整保留系統(tǒng)剛度特性的情況下減少矩陣的階數(shù)，便于提高后期矩陣運算的效率。

1.2 基于剛度縮聚理論的剛度表征方法

如圖1所示，基于剛度縮聚理論的剛度表征方法的大體思路是：將表征對象劃分為多個子系統(tǒng)模塊，分析各模塊間的載荷傳遞關系，辨識出表征對象的關鍵幾何特征；應用剛度縮聚理論消除未受外載作用的子系統(tǒng)坐標，運用有限元分析方法提取關鍵幾何特征的變形量，以矩陣形式建立表征對象的剛度模型，反映其剛度與所受載荷間的關系；在同一工況載荷條件下,分別采用已建立的剛度表征模型和有限元分析法求解系統(tǒng)變形量，對比分析求解結(jié)果，驗證模型建立的準確性；逐一分析模型矩陣中各元素的數(shù)值信息，識別出剛度薄弱方向，從而進行加工精度預測，明確結(jié)構設計的優(yōu)化目標。

圖1 基于剛度縮聚理論的剛度表征方法研究思路Fig.1 Research ideas on the stiffness characterization method based on stiffness polycondensation theory

對表征對象進行剛度縮聚時，應先確定表征對象各組成模塊間的載荷傳遞關系，識別受外部載荷作用的關鍵幾何特征。將表征對象系統(tǒng)按照幾何結(jié)構關系進行分類，能夠得到不同的子系統(tǒng)模塊，每個子系統(tǒng)模塊的承載端同另一個子系統(tǒng)模塊的約束端首尾相連，這樣系統(tǒng)即被等效成為一個串聯(lián)彈簧系統(tǒng)模型。對此模型的載荷傳遞路徑進行分析，可以發(fā)現(xiàn)外部載荷總是自系統(tǒng)的承載端節(jié)點向約束端節(jié)點傳遞，各模塊間的變形傳遞也是一維線性疊加的關系。因此，系統(tǒng)中受外部載荷作用的關鍵幾何特征一般即為系統(tǒng)的承載端和約束端。

在辨識出系統(tǒng)的關鍵幾何特征后，應結(jié)合有限元技術求解關鍵幾何特征的變形量。在有限元仿真平臺中建立系統(tǒng)的有限元模型，對系統(tǒng)的約束端施加固定約束條件，對承載端分別施加x、y、z、a、b、c六向的單位力與單位力矩，求解其相應變形量，再結(jié)合其空間位置關系對求解結(jié)果進行提取處理，按照式(5)所示的柔度矩陣反映系統(tǒng)變形量與承載端載荷之間的關系。

(5)

式中：R為表征系統(tǒng)變形量與所受載荷間關系的柔度矩陣；δij為作用在j方向的力fj(j=x，y或z)或力矩Mj(j=a，b或c)引起的系統(tǒng)承載端i(i=x，y或z)方向的位移變形量；θij為作用在j方向的力fj(j=x，y或z)或力矩Mj(j=a，b或c)引起的系統(tǒng)承載端i(i=a，b或c)方向的轉(zhuǎn)角變形量。

此外，柔度矩陣中各元素數(shù)值的大小還直觀地表現(xiàn)了系統(tǒng)剛度特性的薄弱環(huán)節(jié)。該矩陣前3行元素數(shù)值信息分別反映x、y、z方向上的抗彎剛度，其中，左上3×3區(qū)域元素單位為μm/kN，右上3×3區(qū)域元素單位為μm/(kN·m)；后3行元素數(shù)值信息分別反映a、b、c方向上的抗扭剛度，其中，左下3×3區(qū)域元素單位為10-3rad/kN，右下3×3區(qū)域元素單位為10-3rad/(kN·m)。

因此，可建立表征對象的剛度表征模型如式(6)所示，對于任意載荷作用下的系統(tǒng)總變形量均可通過該式進行求解。

δ6×6=K6×1F1×6

(6)

式中：K為表征系統(tǒng)變形量與所受載荷間關系的剛度矩陣，K=R-1。

2 機床主軸箱的剛度表征實例應用

為進一步說明此方法的應用，以某機床企業(yè)生產(chǎn)的THM46100精密臥式加工中心的主軸箱為研究對象進行實例分析?？蓪⒃撝鬏S箱系統(tǒng)按照其組成關系進行分類，得到3個子系統(tǒng)模塊，分別為主軸、箱體和滑塊子系統(tǒng)模塊。

2.1 主軸箱有限元模型的建立

建立THM46100精密臥式加工中心主軸箱系統(tǒng)的有限元模型。在保證有限元分析精度的條件下，對其結(jié)構進行適當簡化，忽略一些對主軸箱系統(tǒng)剛度特性影響很小或無影響的細微結(jié)構(例如螺紋孔、小倒角、小凸臺等)，簡化后的模型如圖2所示，并在有限元平臺中對其各子系統(tǒng)模塊按照表1所示材料參數(shù)進行設置。

圖2 THM46100精密臥式加工中心主軸箱有限元模型

表1 主軸箱系統(tǒng)有限元模型材料屬性設置

2.2 主軸箱剛度表征模型的建立

為識別主軸箱系統(tǒng)的關鍵幾何特征，對其載荷傳遞關系進行分析。主軸箱系統(tǒng)在機床加工時，外部載荷(切削載荷)總是自主軸與刀具接觸的刀具裝夾孔開始，沿著主軸→箱體→滑塊的路徑進行傳遞。因此，主軸箱系統(tǒng)的關鍵幾何特征為承載端主軸接觸面和約束端滑塊安裝面。

在有限元平臺中對主軸箱有限元模型的約束端滑塊安裝面進行約束，對承載端主軸接觸面分別施加x、y、z三個方向的單位力(fx、fy、fz)及A、B、C三個方向的單位力矩(Ma、Mb、Mc)，分別求解主軸箱有限元模型在這六向載荷下的變形。在主軸前端裝夾刀具處均布選取4點作為關鍵特征點，提取關鍵特征點的有限元計算結(jié)果并進行處理，獲得其位移變形量及轉(zhuǎn)角變形量如表2所示。

表2 主軸箱關鍵特征點在六向載荷下的位移、轉(zhuǎn)角變形量

按照主軸箱關鍵特征點的空間位置關系，以及所述的剛度表征建模方法，對表2所獲得的數(shù)據(jù)進行處理，建立主軸箱系統(tǒng)的剛度表征模型，如式(7)所示：

(7)

此模型也反映了主軸箱系統(tǒng)所受外部載荷與其相對于地面坐標系變形量之間的關系。

進一步觀察已建立的剛度表征模型，對比矩陣元素的數(shù)值大小，可識別出主軸箱系統(tǒng)的剛度薄弱方向。如圖3所示，在主軸箱系統(tǒng)柔度矩陣中，第一行第一列和第一行第五列、第二行第二列和第二行第四列的元素數(shù)值最大，分別表征了主軸箱系統(tǒng)在fx、Mb作用下x向的抗彎剛度和在fy、Ma作用下y向的抗彎剛度。由此可知，應將提高x、y兩向的抗彎剛度作為主軸箱系統(tǒng)剛度優(yōu)化設計目標。

圖3 主軸箱剛度表征模型識別剛度薄弱方向

3 主軸箱剛度表征模型的驗證

為了驗證上文建立的主軸箱系統(tǒng)剛度表征模型的準確性，分別利用有限元分析方法和剛度表征模型，對鏜削加工時機床受力與變形的關系進行分析。如圖4所示，機床在鏜孔時所受的外部載荷主要為主切削力Fc、背向力Fp和進給力Ff。此時，主軸箱系統(tǒng)在這些外部載荷的影響下會受到一個作用力F和作用力矩M。當?shù)毒卟牧线x用45鋼時，可由鏜削指數(shù)型切削力經(jīng)驗公式[20]對其進行計算。

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：ap為切削深度，mm；f為進給量，mm/r；v為切削速度，r/min；KFc、KFp、KFf為各種影響因素對3個切削分力影響的修正系數(shù)的乘積。

圖4 機床鏜削加工時的載荷分析Fig.4 Load analysis when machine tool boring and processing

因此，當機床鏜削采用切削速度v=130 r/min、切削深度ap=3 mm、進給量f= 0.25 mm/r的工藝參數(shù)時，根據(jù)式(8)—式(11)可確定主軸箱所受的外部載荷如表3所示。

表3 機床鏜削加工時主軸箱系統(tǒng)受載情況Tab.3 Headstock load when machine tool boring and processing

分別利用有限元分析方法和建立的剛度表征模型，對該載荷條件下主軸箱系統(tǒng)的變形量進行求解，結(jié)果如圖5所示。

圖5 兩種方法求解結(jié)果對比

由此可以直觀看出：兩種方法求解得到的主軸箱變形量大體一致，但采用剛度表征模型求解較有限元法相比，運算時長由原先的63 min縮短為0.84 s。這證明：基于剛度縮聚理論建立的主軸箱系統(tǒng)剛度表征模型，能夠在準確反映主軸箱所受載荷與其實際形變之間關系的同時，極大程度減少運算時長，且對于不同工況的加載條件，也可以通過剛度表征模型對變形量直接進行求解，無需再通過有限元方法重復大量運算，提高了分析效率。

4 結(jié)論

將剛度縮聚理論和有限元分析方法相結(jié)合，以THM46100型臥式加工中心的主軸箱系統(tǒng)為研究對象進行實例分析，建立了包含具體參數(shù)信息的主軸箱系統(tǒng)剛度表征模型。通過進一步分析該表征模型的元素數(shù)值，識別出主軸箱系統(tǒng)的剛度薄弱方向為x、y兩向的抗彎剛度，初步確定了其剛度優(yōu)化的設計目標。選取機床鏜削加工的實際工況載荷，對比有限元分析方法和直接采用該剛度表征模型求解所得的主軸箱變形量，驗證了文中所述的歸一化剛度表征方法，在保證了求解精度的同時大大提高了求解效率(由63 min縮短為0.84 s)，能夠?qū)C床等復雜構型裝備的剛度特性進行準確表征，能夠?qū)崿F(xiàn)不同載荷條件下系統(tǒng)變形的快速求解，為今后連續(xù)解算復雜裝備剛度場提供了理論模型與方法支撐。