任玉鳳

（西安石油大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710065）

0 引言

現(xiàn)代通信和存儲(chǔ)系統(tǒng)中，確保重要圖像的信息不被未經(jīng)授權(quán)的訪(fǎng)問(wèn)者獲取至關(guān)重要，因此圖像加密成為一個(gè)重要的研究領(lǐng)域，以滿(mǎn)足隱私和安全性的需求。然而，圖像在傳輸和存儲(chǔ)中占用大量的數(shù)據(jù)帶寬和存儲(chǔ)空間。對(duì)此，圖像壓縮技術(shù)對(duì)于降低數(shù)據(jù)傳輸成本和減少存儲(chǔ)需求至關(guān)重要。

壓縮感知理論[1]指出，當(dāng)原始信號(hào)具有稀疏性，可對(duì)該信號(hào)進(jìn)行觀(guān)測(cè)采樣，用重構(gòu)算法從較少的測(cè)量值中重構(gòu)原始信號(hào)。但當(dāng)信號(hào)x非稀疏，則需要借助稀疏基Ψ實(shí)現(xiàn)信號(hào)稀疏化：x=Ψs。其中，x∈Rn為稀疏信號(hào)，Ψ∈Rn×n為稀疏基。此時(shí)采樣過(guò)程表示為y=Φx。這里，y=[y1,y2,…,yi,…,ym]∈Rm表示測(cè)量向量。x=[x1,x2,…,xi,…,xn]∈Rn表示測(cè)量向量。Φ∈Rm×n表示測(cè)量矩陣，由于m<

文獻(xiàn)[6]提出了分塊壓縮感知（Block Compressed Sensing，BCS），通過(guò)對(duì)圖像進(jìn)行分塊處理、采樣和重構(gòu)，減少了計(jì)算復(fù)雜度和采樣要求。文獻(xiàn)[7]提出BCS-2DRP 算法，以平衡數(shù)據(jù)安全性、壓縮效率，但是圖像的重構(gòu)質(zhì)量仍有待提升。為此，本文采用二維隨機(jī)置換增強(qiáng)圖像安全性，并結(jié)合分塊壓縮感知實(shí)現(xiàn)高效的圖像加密壓縮，采用塊匹配三維濾波（Block-Matching and 3D Filtering，BM3D）算法降低圖像重構(gòu)產(chǎn)生的噪聲，提出2DRP-BM3D 算法以提高圖像的清晰度。

1 基本原理

BCS 的基本思想是將信號(hào)分成多個(gè)小塊，分別對(duì)每個(gè)子塊進(jìn)行采樣和重構(gòu)，從而降低計(jì)算復(fù)雜度和采樣要求，有助于克服BCS 在處理大規(guī)模信號(hào)時(shí)的計(jì)算和存儲(chǔ)挑戰(zhàn)。本文設(shè)原始圖像的大小為n×n，將其均勻分割成尺寸為B×B的h塊，第i塊圖像表示為yi=ΦBxi。ΦB采樣標(biāo)準(zhǔn)正交基ΦBΦBT=I的形式。

2 2DRP-BM3D 重構(gòu)算法

圖像的加密和壓縮的關(guān)鍵是通過(guò)將圖像劃分為不同的塊，使用隨機(jī)的置換矩陣對(duì)每個(gè)塊進(jìn)行置換，增加圖像的安全性。之后，采用塊壓縮感知技術(shù)對(duì)置換后的圖像進(jìn)行壓縮，以減少數(shù)據(jù)傳輸和存儲(chǔ)的需求。最終通過(guò)BM3D 算法去除圖像加密重構(gòu)過(guò)程中的噪聲。

二維圖像X的稀疏變換表示為。D=ΨXΨT，其中Ψ∈Rn×n表示稀疏基，D∈Rn×n表示原始圖像的系數(shù)矩陣。圖像X經(jīng)過(guò)加密后表示為

式中：Ph∈Rn×n與PC∈Rn×n皆為隨機(jī)排列矩陣，可提高數(shù)據(jù)隱私與安全性。圖像的重構(gòu)問(wèn)題表示為

為求解上述問(wèn)題，將原始圖像均勻分塊采樣，并使用3×3 鄰域的維納濾波=Wiener[X(t)]消除圖像分塊而產(chǎn)生的塊偽影。其中，表示經(jīng)過(guò)維納濾波后的圖像。之后，算法通過(guò)與加密算子及其轉(zhuǎn)置的乘積投影，更新圖像X的估計(jì)值。

接著，進(jìn)行閾值收縮，以降低噪聲。

式中：Threshold(·)為閾值函數(shù)。根據(jù)參考文獻(xiàn)[7]，選取σ(t)的取值。再次通過(guò)投影來(lái)更新圖像估計(jì)。

計(jì)算當(dāng)前估計(jì)X(t+1)與前一次估計(jì)X(t)之間的相對(duì)誤差，評(píng)估圖像恢復(fù)的質(zhì)量。經(jīng)過(guò)多次迭代，在符合設(shè)定誤差的情況下，重構(gòu)加密圖像。

式中：vec(·)為向量函數(shù)，返回當(dāng)前次迭代的重構(gòu)信號(hào)。最后，利用文獻(xiàn)[8]～文獻(xiàn)[10]提出的BM3D算法，通過(guò)圖像各塊之間的高度相似性去除圖像噪聲，增強(qiáng)圖像清晰度。需要指出的是，基本估計(jì)階段使用硬閾值濾波，最終估計(jì)階段則使用Wiener 濾波。硬閾值濾波這一操作將小于某一閾值的像素值設(shè)為零，從而去除塊內(nèi)的噪聲成分。用T表示閾值，硬閾值濾波公式為

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本節(jié)實(shí)驗(yàn)的硬件環(huán)境為Intel（R） Core（TM）i5-10400 六核十二線(xiàn)程中央處理器（Central Processing Unit，CPU），主頻2.90 GHz，內(nèi)存16 GB，軟件環(huán)境為Matlab2018b。測(cè)試過(guò)程中，圖像為大小256×256 的mandrill、goldhill、peppers 圖像，如圖1 所示。為驗(yàn)證算法的有效性，選取采樣率為0.3，對(duì)所提算法與TDV 和TV 算法進(jìn)行對(duì)比，如圖2 所示，從上到下依次是加密圖像、2DRP 重構(gòu)圖像、TDV 重構(gòu)圖像、TV 重構(gòu)圖像及本文算法重構(gòu)圖像。為評(píng)估所提算法的重構(gòu)質(zhì)量，采用主觀(guān)評(píng)價(jià)和客觀(guān)評(píng)價(jià)方法進(jìn)行評(píng)價(jià)。主觀(guān)評(píng)價(jià)方面，重點(diǎn)是人的視覺(jué)感受?？陀^(guān)評(píng)價(jià)方面，主要是峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）值。PSNR 值越高，表示圖像重構(gòu)質(zhì)量越好。

圖1 原圖

圖2 采樣率為0.3 的各算法重構(gòu)效果對(duì)比圖

從圖2 可以清楚地看到，每張圖片都可被有效加密，保證了信息傳輸?shù)陌踩?。即使在采樣率高達(dá)0.3 的情況下，TDV 算法的恢復(fù)效果仍不理想，重構(gòu)的圖像存在過(guò)度平滑的現(xiàn)象。TV 算法可在一定程度上去除噪聲。本文所提算法肉眼可見(jiàn)地去除了數(shù)字傳輸過(guò)程中產(chǎn)生的噪聲，最大限度地接近原始圖像。

為客觀(guān)地評(píng)價(jià)算法的有效性，探究不同采樣率對(duì)重構(gòu)效果的影響，現(xiàn)對(duì)圖像mandrill 在不同算法下的PSNR 值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如表1 所示。從實(shí)驗(yàn)數(shù)值看出，在不同采樣率下，TDV 算法的恢復(fù)效果都不佳，BM3D 算法可有效提高圖像的重構(gòu)質(zhì)量。

表1 mandrill 圖像在不同算法下的PSNR 值

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于塊壓縮感知與二維隨機(jī)排列的BM3D 圖像重構(gòu)算法，首先將圖像進(jìn)行分塊處理，其次對(duì)輸入圖像進(jìn)加密并重構(gòu)，最后采用BM3D 模型對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提算法的恢復(fù)精度優(yōu)于其他傳統(tǒng)算法，在一定程度上有效地克服了噪聲對(duì)重構(gòu)圖像質(zhì)量的影響，且具有相對(duì)較高的PSNR 值。在未來(lái)的科研工作中，將繼續(xù)研究機(jī)器學(xué)習(xí)在圖像去噪領(lǐng)域中的應(yīng)用。