彭呂斌，胡 博，謝開貴，孫 悅，黃 威，曹 侃，周鯤鵬

（1.重慶大學 輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術國家重點實驗室，重慶 400044；2.國網(wǎng)湖北省電力有限公司 電力科學研究院，湖北 武漢 430077）

0 引言

電力系統(tǒng)可靠性評估［1］從元件可靠性參數(shù)（component reliability parameter，CRP）、電氣參數(shù)、系統(tǒng)結構參數(shù)等出發(fā)，通過可靠性建模、系統(tǒng)狀態(tài)分析等過程，計算系統(tǒng)和節(jié)點可靠性指標。歷經(jīng)多年的研究和工程實踐，電力系統(tǒng)可靠性評估已經(jīng)發(fā)展成為相對完善的理論。然而，可靠性評估技術目前存在兩方面的挑戰(zhàn)。

挑戰(zhàn)1：部分不準確的CRP影響了可靠性評估的應用價值。CRP是可靠性評估的基礎和關鍵。一旦參數(shù)有誤或缺失，就會導致錯誤的評估結果［2-3］，進而可能誤導電力系統(tǒng)的規(guī)劃、改造等決策，甚至影響未來規(guī)劃系統(tǒng)的安全、可靠運行［4］。CRP通常由元件歷史停運數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析而得。然而，可靠性數(shù)據(jù)統(tǒng)計工作具有復雜性、動態(tài)性，且易受人為因素影響，具體表現(xiàn)在以下幾個方面：①歷史停運記錄難免存在錯誤或者無效的數(shù)據(jù)［2，5］；②元件可靠性隨年份呈現(xiàn)動態(tài)變化，若歷史數(shù)據(jù)未及時更新，則得到的參數(shù)值會不準確［2，5］；③停運數(shù)據(jù)的自動錄入在我國尚未完全實現(xiàn)，而人工記錄會受到公司和人員考核或者人為錯誤等主觀因素的影響［5］。鑒于上述因素，CRP的準確性難以保證。因此，在加強設備停運數(shù)據(jù)管理的同時，有必要尋求對電力CRP進行校核和補正的途徑。當今，由于負荷用戶對停電事件的關注與日俱增，且隨著先進量測設備［6］在電網(wǎng)中的安裝普及，電網(wǎng)運營者通常有詳實準確的停電事件記錄，而停電記錄易轉換為可靠性指標。因此，系統(tǒng)／節(jié)點可靠性指標易于獲得并且準確度較高［2，5］。通常在給定系統(tǒng)電氣參數(shù)、網(wǎng)絡結構、運行參數(shù)等后，可以認為電力CRP和系統(tǒng)／節(jié)點可靠性指標間具有一一對應的關系［2-3］，如果能夠從已知的可靠性指標入手求取或校正CRP，則不失為一種合理的方法。

挑戰(zhàn)2：在電力系統(tǒng)優(yōu)化、設計和改造問題中，為達到預期的系統(tǒng)可靠性水平，有時需要確定元件的可靠性參數(shù)。這同樣涉及了由可靠性指標出發(fā)計算CRP的過程。現(xiàn)有研究一般是通過建立優(yōu)化模型來求解可靠性參數(shù)，在求解過程中通過可靠性評估“正向”過程計算系統(tǒng)可靠性指標。然而，由于可靠性評估的計算復雜度大，且缺乏解析表達形式，關于優(yōu)化模型的有效求解十分困難，解的質量和計算效率都較低，難以實現(xiàn)較為準確的投資。

以上兩方面挑戰(zhàn)從本質上均可歸納為如何由可靠性指標“逆向”計算CRP，若能直接從“逆向”過程的角度入手，對“逆向”計算模型、方法進行系統(tǒng)性的研究，跳出可靠性評估“正向”過程思路的限制，則有潛力較好地解決以上2個問題。據(jù)此，文獻［7］首次提出電力系統(tǒng)“可靠性評估逆問題（inverse problem of reliability evaluation，IPRE）”的概念。IPRE理論的提出，為實際工程中眾多由已知可靠性指標計算CRP的問題提供了全新的解決思路。逆問題理論能為電力系統(tǒng)的規(guī)劃設計、改造、檢修等工程領域的決策提供量化參考，如計算缺失的CRP、校正錯誤可靠性參數(shù)、在系統(tǒng)設計或改造中優(yōu)化確定元件應達到的可靠性水平等。根據(jù)需解決的工程問題，逆問題可分為面向部分未知可靠性參數(shù)求取的逆問題、面向錯誤可靠性參數(shù)校正的逆問題、面向可靠性參數(shù)優(yōu)化的逆問題等。

當前針對電力系統(tǒng)IPRE的研究還很鮮見。文獻［7］建立了發(fā)輸電系統(tǒng)IPRE的方程組模型，并將其應用到系統(tǒng)可靠性改造場景中。文獻［8-9］主要研究了方程組模型的求解算法。文獻［10］建立了配電系統(tǒng)的IPRE模型，用以求取一部分元件的可靠性參數(shù)。但以上研究均只針對IPRE中待求可靠性參數(shù)個數(shù)與已知可靠性指標個數(shù)相等的這一特殊情形，所建立的模型和所提出的求解方法較難推廣至一般情形。另外，發(fā)輸電系統(tǒng)可靠性指標是有關可靠性參數(shù)的多維、高度非線性函數(shù)，這使得發(fā)輸電系統(tǒng)IPRE的求解較為困難。對于可靠性參數(shù)校正［11-12］、可靠性參數(shù)優(yōu)化設計［13-14］等需要刻畫可靠性指標與參數(shù)關系的問題，現(xiàn)有研究采用梯度（或Newton）下降法［11-13］或者群體智能算法［14］求解。然而，常規(guī)梯度（或Newton）下降法依賴于良好的初值解，可能會收斂到局部最優(yōu)，而局部最優(yōu)解并非參數(shù)的準確值；群體智能算法不僅同樣存在早熟問題，而且難以處理復雜的約束。因此，選擇性能良好的全局優(yōu)化算法是IPRE研究中的重點。

針對已有逆問題研究的不足，本文基于可靠性指標解析計算函數(shù)，為綜合計及已知可靠性指標個數(shù)大于、等于或小于待求參數(shù)個數(shù)的3種情形，提出逆問題的一般性模型，并提出基于改進區(qū)間優(yōu)化算法（interval optimization algorithm，IOA）的逆問題求解方法。通過算例分析驗證了本文所提模型和方法能夠求得準確的可靠性參數(shù)，并在一定程度上提升了計算效率。

1 IPRE

IPRE指由已知的系統(tǒng)或節(jié)點可靠性指標求取未知的CRP。根據(jù)該定義，CRP補全與校正、參數(shù)優(yōu)化設計等均屬于IPRE的范疇。圖1說明了IPRE的概念，圖中可靠性指標包括失負荷概率（loss of load probability，LOLP）、失負荷頻率（loss of load frequency，LOLF）和期望缺供電量（expected energy not supplied，EENS）。IPRE涉及的相關概念和因素如表1所示。

圖1 IPRE的概念Fig.1 Concept of IPRE

表1 IPRE的相關概念和因素Table 1 Related concepts and elements for IPRE

本文主要關注發(fā)輸電系統(tǒng)的IPRE，待求CRP的形式采用常用的均值。在研究IRPE時，本文假設給定的可靠性指標準確，除待求CRP外，其他的CRP均已知。利用已知的可靠性指標值和可靠性指標關于待求CRP的函數(shù)關系，可以構造表達IPRE的非線性方程組，其一般形式如下：

式中：Npa為待求CRP的個數(shù)；Nid為已知可靠性指標的個數(shù)；y1、y2、…、yNid為給定的系統(tǒng)或節(jié)點可靠性指標；x1、x2、…、xNpa為待求的CRP；e1、e2、…、eNid為各可靠性指標關于CRP的函數(shù)關系，具體表達式將在第2節(jié)中介紹。

根據(jù)非線性方程組式（1）中待求量個數(shù)Npa與方程個數(shù)Nid的大小關系，IPRE可以分為如下3種情形：

1）若Npa=Nid，則式（1）是Nid維的非線性方程組；

2）若Npa＜Nid，則可將式（1）轉化為非線性優(yōu)化問題求取未知可靠性參數(shù)；

3）若Npa＞Nid，則式（1）可能會有無限個解。

現(xiàn)有IPRE研究均主要針對情形1），其求解方法不適用于另外2種情形。當Npa與Nid不相等時，可將非線性方程組轉化為優(yōu)化問題求解。當Npa≤Nid時，大多數(shù)情況下IPRE有唯一解。但當Npa＞Nid時，IPRE可能會出現(xiàn)無限個解。此時，若要從中確定唯一解，則需要結合具體工程場景的附加信息，構建對應于場景的逆問題模型。需要說明的是，對非線性方程組解個數(shù)進行判斷較為困難，以上只是面向工程實際的一般規(guī)律。

2 可靠性指標的解析函數(shù)

為便于IPRE問題的求解，方程組式（1）的每一個等式中可靠性指標宜表達為待求可靠性參數(shù)的解析函數(shù)。下面給出基于狀態(tài)枚舉法的可靠性指標關于待求CRP的解析函數(shù)。以LOLP指標的解析函數(shù)為例，介紹可靠性指標解析函數(shù)的推導。LOLP指標值δLOLP的計算公式為：

式中：ψ為枚舉產(chǎn)生的失負荷系統(tǒng)狀態(tài)集合；P(s)為系統(tǒng)狀態(tài)s發(fā)生的概率；Λsu和Λsd分別為系統(tǒng)狀態(tài)s下處于正常和故障的元件集合；Ag和Uh分別為元件g的可用率和元件h的不可用率。假設電力系統(tǒng)有n個元件，每個元件考慮正常和故障2個狀態(tài)，且元件故障的發(fā)生相互獨立。將待求CRP涉及的元件個數(shù)記為m，這m個元件稱為所研究元件，剩余n-m個元件稱為其他元件。所研究元件一共有M=2m個組合狀態(tài)，其中第j個組合狀態(tài)記為Fj。例如，假設有4個待求CRP，分別為元件1的故障率λ1、元件2的故障率λ2和修復率μ2、元件3的修復率μ3，則m=3、M=8，其組合狀態(tài)見表2。表中：“1”和“0”分別表示對應元件處于故障和正常狀態(tài)；F1表示元件1故障而元件2和元件3正常的一種組合狀態(tài)，其他類似。

表2 3個所研究元件的組合狀態(tài)Table 2 Composite states of three studied components

根據(jù)上述3個所研究元件所處的組合狀態(tài)，可以將系統(tǒng)狀態(tài)集合ψ拆分為8個子集合，分別記為φ1、φ2、…、φ8。相應地，式（2）可拆分為8項之和，具體如式（3）所示。

式中：Λ′su和Λ′sd分別為系統(tǒng)狀態(tài)s下處在正常和故障狀態(tài)的其他元件的集合。式（3）表示LOLP是4個待求CRP的函數(shù)。3個所研究元件的可用率和不可用率如式（4）所示。

進一步地，LOLP指標的解析函數(shù)可寫為：

式中：φj（j=1，2，…，8）為所研究元件處在第j個組合狀態(tài)對應的系統(tǒng)事件集合；Kj為當給定的所研究元件處在組合狀態(tài)Fj時系統(tǒng)的LOLP。當系統(tǒng)的電氣參數(shù)、網(wǎng)架結構和運行參數(shù)確定時，Kj只取決于nm個其他元件的可靠性水平。由于假設其他元件的可靠性參數(shù)已知且不變，因此，Kj是一個常數(shù)，其可通過一次可靠性評估求得［7］。將上述m=3的例子擴展為一般形式為：

式中：φju和φjd分別為組合狀態(tài)Fj下處于正常和故障狀態(tài)的元件集合。

采用類似的推導過程，LOLF和EENS的解析函數(shù)分別為：

式中：δLOLF和δEENS分別為LOLF和EENS的指標值；λg和μh分別為元件g的故障率和元件h的修復率；H(s)為系統(tǒng)狀態(tài)s下的削負荷量；T為單位時間長度，本文取1 a（8 760 h）；與Kj類似，Jj和Lj（j=1，2，…，M）為一組常數(shù)，它們可通過一次可靠性評估計算得到［7］。需要說明的是，在確定系數(shù)Kj、Jj和Lj時需要判斷給定的系統(tǒng)狀態(tài)是否失負荷及計算其削負荷量H(s)。本文算例中采用的是基于直流潮流的削負荷策略，實際系統(tǒng)的削負荷策略可能會更為復雜。然而，負荷削減方式不影響逆問題的解析建模及應用。當針對某實際系統(tǒng)建立其可靠性指標解析函數(shù)時，只需在可靠性評估中采用該系統(tǒng)實際的削負荷策略計算H(s)即可。

式（7）—（9）即為可靠性指標關于待求CRP的解析函數(shù)。當可靠性指標和系數(shù)Kj、Jj、Lj是已知量，待求量是所研究元件的未知CRP時，基于式（7）—（9）可構建方程組式（1）。上述基于狀態(tài)枚舉法的解析函數(shù)的推導和建立過程見文獻［7］。此外，基于蒙特卡羅模擬法也可以推導類似的解析函數(shù)［15］，本文不再贅述。

3 IPRE的優(yōu)化模型

不論式（1）中的Npa和Nid是何種大小關系，基于最小二乘估計（least squares estimation，LSE）原理，方程組式（1）都可以轉化為非線性優(yōu)化模型（記為模型P1）統(tǒng)一求解，具體如下：

式中：x為待求CRP構成的向量，包括元件故障率、修復率等，是模型P1的決策變量；yi為元件i模型的輸入數(shù)據(jù)，包括已知的系統(tǒng)或節(jié)點LOLP、LOLF和EENS指標值；xUB、xLB分別為由工程經(jīng)驗得到的CRP的取值上、下限。模型基于可靠性指標解析函數(shù)，以可靠性指標的計算值與指標的已知值的偏差平方和最小為目標函數(shù)。式（13）表示決策向量x的上下限約束。

當Npa＞Nid時，模型P1可能會有無數(shù)解。此時，求解結果缺乏實際意義，無法直接應用在工程實踐中。若想從中確定唯一解，則需要結合具體工程場景，在模型P1的基礎上補充附加信息或設置邊界條件，構建對應場景的逆問題模型（記為模型P2）。本節(jié)以規(guī)劃場景中的可靠性參數(shù)求取為例，說明模型P2的構建。為滿足預定的系統(tǒng)或節(jié)點可靠性指標要求，模型P2以元件投資（或改造）的總費用最小為目標函數(shù)來優(yōu)化設計元件的可靠性參數(shù)，其計算公式如式（14）所示。

式中：SCOM為含待求可靠性參數(shù)的元件集合；為元件i的投資費用；C為元件i的年運維費用，可按投資費用的一定比例考慮；α為年金現(xiàn)值系數(shù)，與貼現(xiàn)率和設備經(jīng)濟壽命有關［16］，該系數(shù)將年費用折算到現(xiàn)值；U0，i和分別為元件i的基準不可用率和基準投資費用（其具體含義見第6節(jié)）；Umax，i、Umin，i分別為元件i不可用率的上、下限；τi為關于元件i的一個常數(shù)［17］；λ、μ分別為待求的故障率、修復率參數(shù)向量；ej(λ，μ)為對應于λ、μ的第j個可靠性指標的計算值；λLB、λUB分別為待求的故障率參數(shù)向量上、下限；μLB、μUB分別為待求的修復率參數(shù)向量上、下限；yj為對第j個指標的要求。式（14）表示總費用由元件投資費用和運維費用組成；式（15）表示投資費用是元件不可用率Ui的函數(shù)；式（18）表示需要滿足的可靠性指標約束；式（19）表示待求元件參數(shù)的范圍。在模型P2中，決策變量是待優(yōu)化的CRP，例如Ui、λi和μi?？煽啃灾笜酥狄灶A設的可靠性指標約束的形式呈現(xiàn)，在確定元件的可靠性參數(shù)時，考慮了CRP與投資費用間的關系。

需要說明的是，模型P1是通用的基礎逆問題模型，其不依賴于具體工程問題，既可用于求取現(xiàn)有的CRP，也可用于在規(guī)劃場景中求取未來應達到的可靠性參數(shù)。模型P2可視為模型P1存在無限解時的情形，是結合了附加信息的逆問題模型，模型P2依賴于具體工程問題。本節(jié)給出的模型P2僅是以面向規(guī)劃場景的可靠性參數(shù)優(yōu)化為例來說明模型的構建。針對其他工程問題，也可結合其中用于確定CRP的附加信息，構建出對應的模型P2。

4 IOA

逆問題模型具有強非線性。由于工程實踐中通常只能獲取待求CRP的粗略取值范圍，而常規(guī)非線性優(yōu)化算法依賴于初值解，因此難以求得準確的參數(shù)值。如引言所述，選擇具有全局收斂能力的優(yōu)化算法是逆問題研究的重點。

IOA用區(qū)間迭代替代常規(guī)算法的點迭代，通過區(qū)間分割和檢驗，可以保證找到最優(yōu)解或判斷當前區(qū)間內無解，該算法為IPRE的求解提供了新思路。然而，現(xiàn)有文獻常用的IOA［7，18］只能適用于方程個數(shù)與待求變量個數(shù)相等的非線性方程組。為處理方程個數(shù)和變量個數(shù)不等的情況，本文采用改進的IOA來求解逆問題的優(yōu)化模型。區(qū)間數(shù)和區(qū)間運算的概念見文獻［19］。

4.1 基本IOA

4.1.1 模型P1的IOA

為便于介紹IOA，首先將模型P1寫成如下緊湊形式：

式中：X為x取值的區(qū)間向量。

IOA的構造和改進的一個關鍵是區(qū)間刪減工具的使用［20］。刪減工具能夠準確刪除不可能存在最優(yōu)值的區(qū)間。刪減工具包括中點檢測［21］、單調性檢測［21］、凸性檢測［20］、區(qū)間Newton法［20］等。其中，區(qū)間Newton法不僅可以刪減區(qū)間，還具有檢驗解的存在性并迭代到精確解的能力，下面重點介紹區(qū)間Newton法。

若考慮模型P1待求變量的取值區(qū)間足夠大，則最優(yōu)點從駐點中產(chǎn)生。記目標函數(shù)f的梯度為g，J為向量g的雅可比矩陣，J(X)為J在區(qū)間向量X上的區(qū)間擴展，區(qū)間矩陣J(X)的中心為JC，JC的一個近似逆矩陣為Y。

尋找目標函數(shù)的駐點可轉化為求方程組g=0的解。使用區(qū)間Newton迭代可找到方程組在指定區(qū)間X上的所有解?；緟^(qū)間Newton算子的計算復雜度很大，已有一些研究對基本區(qū)間Newton算子進行了改進，常用的有區(qū)間Krawczyk算子，其迭代公式如下：

式中：k=0，1，…，為迭代次數(shù)；∩表示對符號兩邊的區(qū)間向量取交集；x(k)通常取X(k)的中點；I為單位陣；M(X(k))和r(x(k))計算公式如式（23）所示。

區(qū)間Krawczyk算子有以下3條性質［20］：①若x*使得g(x*)=0，且x*∈X(k)，則x*∈K(X(k))；②若X(k)∩K(X(k))=?，則g=0在X(k)中無解；③若K(X(k))≠?且K(X(k))?X(k)，則g=0在X(k)中必有解。利用區(qū)間Krawczyk算子的性質可判斷在給定區(qū)間上是否有解。此外，若K(X(k))≠?，K(X(k))?X(k)且W（K(X(k))）＜W（X(k)），則區(qū)間X(k)內有唯一解，其中W（·）表示求區(qū)間向量（·）的寬度。此時，以任意一點x(0)∈X(k)為初值，采用以下點Newton迭代公式，可得到解如式（24）所示。

4.1.2 模型P2的區(qū)間優(yōu)化求解算法

將優(yōu)化模型P2寫成如下的緊湊形式：

式中：F(x)≤0為式（15）—（19）的矩陣形式。

求解式（25）就是尋找約束域內的極小點。約束優(yōu)化問題的極小點需要滿足Fritz-John最優(yōu)性條件（以下簡稱John條件）。記增廣變量t為：

式中：u=[u0，…，ui，…，uNid]，為Lagrange乘子，并 且0≤ui≤1。將John條 件 寫 成 關 于t的 函 數(shù) 組，并 記為φ(t)：

此時，在給定區(qū)間上，含約束的優(yōu)化問題P2轉化為求解如下的方程組：

至此，應用4.1.1節(jié)中的區(qū)間Newton法求解式（30），即可求解模型P2。需要注意的是，對求解過程中產(chǎn)生的每個區(qū)間，需要檢驗該區(qū)間是否滿足約束。

4.2 IOA的改進措施

4.1節(jié)介紹了IOA的基本思路，但在實際使用中會面臨計算量大的問題。利用區(qū)間刪減工具可提高計算效率。針對具體的優(yōu)化問題，不同的區(qū)間刪減工具對于提升求解效率的效果不同。因此，結合逆問題數(shù)學模型的特點，在基本IOA的基礎上，本文引入合適的區(qū)間刪減工具，設計了改進IOA。下面將介紹選用的區(qū)間刪減工具。

4.2.1 高斯塞德爾（Gauss-Seidel）技巧

本節(jié)利用Gauss-Seidel技巧改進區(qū)間Krawczyk算子，即為區(qū)間Krawczyk-Hansen算子［19］。該算子可以得到更狹窄的區(qū)間，迭代過程由以下的公式描述：

式中：Xi為區(qū)間向量X的第i個分量；H為區(qū)間Hi第k次迭代的數(shù)值；Mi，j為Krawczyk-Hansen系數(shù)矩陣M的第i行第j列元素；x為可行解xi第k次迭代的數(shù)值；r為中間變量ri第k次迭代的數(shù)值。區(qū)間Hi會比Krawczyk算子Ki更狹窄，因此可提高收斂速度。

4.2.2 包絡一致性

在給定的區(qū)間上，合理應用包絡一致性（hull consistency，HC）可減小區(qū)間寬度，或者排除不存在解的區(qū)間［20］。若有方程f(x)=0，又f(x)可以拆成d(x)和h(x)兩項之差，即：

應用HC，可將區(qū)間X更新為：

若更新后的X為空集，則表明初始區(qū)間X(0)上不存在f(x)的零點。類似地，HC也可應用到不等式約束上。HC適用于求解IPRE，其詳細分析見附錄A。

5 基于IOA的逆問題求解流程

圖2給出了基于IOA的電力系統(tǒng)IPRE的求解流程圖。在求解逆問題時，根據(jù)待求CRP個數(shù)Npa和已知可靠性指標的個數(shù)Nid的大小關系，應當建立相應的模型和選擇IOA。此外，根據(jù)解的情形，在逆問題求解過程中，可能會進行不同模型和算法之間的轉換。關于圖2的詳細說明和IOA的流程分別見附錄B和附錄C。

圖2 IPRE的求解流程圖Fig.2 Flowchart of solving IPRE

6 算例分析

本文基于RBTS［22］、IEEE-RTS的發(fā)輸電系統(tǒng)［23］和1個91節(jié)點的實際電力系統(tǒng)（簡稱為CS系統(tǒng)）測試所提模型和求解算法的效果和性能。部分測試系統(tǒng)的參數(shù)見附錄D。算例包括如下3個部分：逆問題模型P1的求解；逆問題模型P2的求解；比較所提改進IOA與區(qū)間Krawczyk算法［7］的計算效率。

首先，采用狀態(tài)枚舉法計算得到測試系統(tǒng)的可靠性指標，并將其視為逆問題的已知可靠性指標。測試系統(tǒng)的系統(tǒng)可靠性指標如表3所示。

表3 各測試系統(tǒng)的已知可靠性指標Table 3 Known reliability indices of test systems

6.1 逆問題模型P1的求解

6.1.1 IEEE-RTS系統(tǒng)的測試

為測試所提模型和算法的有效性，算例中將假設部分CRP待求。待求CRP有λG1-20MW、μG22、μG15-12MW、λL7、μL11、λL23這6個，其中λG1-20MW為節(jié)點1所連的全部20 MW容量機組的故障率，μG22為節(jié)點22所連機組的修復率，μG15-12MW為節(jié)點15所連12 MW機組的修復率，μL7為支路7的修復率，其他類似。在該逆問題中，假設位于同一節(jié)點的同類型同容量機組的CRP相同。若無特別說明，則下文中CRP符號的含義與之類似。機組和支路的編號與測試系統(tǒng)文獻［23］給出的編號順序一致。利用的可靠性指標有6個，包括節(jié)點15、節(jié)點18和系統(tǒng)的LOLF、EENS指標。結合工程經(jīng)驗，待求CRP的初始取值區(qū)間設置為其真值的50 % 至其真值的2倍。除了用IOA求解逆問題模型P1外，本節(jié)還用其他常見的非線性優(yōu)化算法來求取未知CRP，包括內點法（interior point algorithm，IPA）［24］和信賴域反射法（trust region reflective algorithm，TRR）［25］。采用不同算法的求取結果如表4所示，此外，表4還展示了非線性優(yōu)化算法的初值解，表中故障率和修復率單位均為次／a，后同。

表4 P1下不同算法的可靠性參數(shù)求取結果（IEEE-RTS系統(tǒng)）Table 4 Results of reliability parameters with different algorithms under P1（IEEE-RTS system）

由表4可見，IOA的精度高于2種常規(guī)非線性算法。常規(guī)非線性算法得到的機組CRP結果的精度較好，但是輸電線路CRP的誤差較大。這主要是因為可靠性指標對于輸電線路CRP不敏感，導致常規(guī)非線性算法容易收斂到局部最優(yōu)，較難達到全局最優(yōu)。

6.1.2 CS系統(tǒng)的測試

本節(jié)采用CS系統(tǒng)以測試模型和IOA在大規(guī)模實際系統(tǒng)上的性能。該系統(tǒng)由中國某跨省的實際系統(tǒng)簡化而來，包含64臺機組和173條輸電線路，總裝機容量為10 684 MW，峰荷為9 732 MW。設已知可靠性指標的個數(shù)為11，待求CRP個數(shù)為10。待求CRP的初始取值區(qū)間為其真值的50 % 至其真值的2倍。IOA和IPA以及TRR算法的求解結果如表5所示。

表5 P1下不同算法的可靠性參數(shù)求取結果（CS系統(tǒng)）Table 5 Results of reliability parameters with different algorithms under P1（CS system）

由表5也可得到與表4相似的結論。針對CS系統(tǒng)的案例，常規(guī)非線性算法的修復率結果誤差很大。

6.2 逆問題模型P2的求解

對于任一元件i，定義它的基準不可用率U0，i及對應的基準投資費用CI0i關系如下：當優(yōu)化后的不可用率低于基準不可用率時，投資費用會比基準投資費用高，反之則低。元件的基準不可用率設定為測試系統(tǒng)文獻［22-23］給出的原始不可用率，并假設機組元件的基準投資費用與它的容量成正比，設發(fā)電機的CI0為104$／MW，輸電線路的CI0為104$／km，變壓器的CI0為 $ 105。所有元件的投資費用計算公式（式（15））中的系數(shù)τ統(tǒng)一取7.0。對于逆問題模型P2，本節(jié)還使用一種元啟發(fā)式優(yōu)化算法——粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）算法，以對比驗證IOA的性能。

6.2.1 RBTS系統(tǒng)的測試

假設有6個待求CRP，如表6所示。各CRP的取值區(qū)間均設置為其基準值的50 % 至其真值的2倍，6.2.2節(jié)和6.2.3節(jié)設置與此相同。利用的可靠性指標有系統(tǒng)LOLF和EENS指標2個。PSO算法的種群規(guī)模設置為15，最大迭代次數(shù)為150次，并重復運行5次。表6給出了算法的結果對比，其中PSO算法為5次運行的最優(yōu)結果，IOA對應的總費用為計算的總費用區(qū)間的中點。

表6 不同算法的可靠性參數(shù)求取結果（RBTS系統(tǒng)）Table 6 Results of reliability parameters with different algorithms（RBTS system）

6.2.2 IEEE-RTS系統(tǒng)的測試

待求的CRP有9個，利用的可靠性指標有系統(tǒng)LOLP、LOLF和EENS指標3個。算法的求解結果如表7所示。

表7 P2下不同算法的可靠性參數(shù)求取結果（IEEE-RTS系統(tǒng)）Table 7 Results of reliability parameters with different algorithms under P2（IEEE-RTS system）

比較表6或表7中的總費用基準值和算法的優(yōu)化結果可知，在給定的可靠性參數(shù)優(yōu)化模型以及經(jīng)濟性參數(shù)下，存在比基準可靠性參數(shù)取值及對應的基準費用更優(yōu)的可靠性參數(shù)取值組合，且IOA得到的投資費用結果要明顯好于PSO算法。這表明在處理含可靠性約束的逆問題P2時，IOA具有較好的精度，而元啟發(fā)式算法（PSO算法）的精度不夠高。另外，表7中2種算法的計算結果的差距比表6要大，這可能是因為PSO算法的尋優(yōu)性能隨著變量維度的增加而劣化。圖3展示了表7中采用2種算法分別求取最優(yōu)總費用時的迭代曲線，圖中PSO1—PSO4對應4次獨立重復的PSO算法迭代過程。

圖3 IOA和PSO算法在求取總費用時的迭代曲線Fig.3 Iteration curves of IOA and PSO algorithm for obtaining total cost

6.2.3 91節(jié)點CS系統(tǒng)的測試

待求的CRP有10個，利用的可靠性指標有系統(tǒng)LOLP、LOLF和EENS指標3個。算法的求解結果如表8所示。

表8 P2下不同算法的可靠性參數(shù)求取結果（CS系統(tǒng))Table 8 Results of reliability parameters with different algorithms under P2（CS system）

由表8得到的結論與表7相似，即在給定的可靠性參數(shù)優(yōu)化模型以及經(jīng)濟性參數(shù)下，存在比基準可靠性參數(shù)取值及對應的基準費用更優(yōu)的可靠性參數(shù)取值組合，且IOA得到的投資費用結果要好于PSO算法。

6.3 改進IOA的計算效率

基于IEEE-RTS系統(tǒng)測試改進IOA，量化分別采用Gauss-Seidel技巧改造和HC時的IOA效率，使用的指標包括收斂時的區(qū)間分割次數(shù)、區(qū)間評估次數(shù)等，其中區(qū)間評估次數(shù)為區(qū)間算子的求取次數(shù)。

表9給出了Gauss-Seidel技巧改進后對IOA性能的影響，表中，K-Newton指區(qū)間Krawczyk算子，H-Newton指改造后的區(qū)間Krawczyk-Hansen算子，區(qū)間范圍［0.5，1.6］指待求CRP的區(qū)間上、下限分別設置為其真值的50 % 和其真值的1.6倍，區(qū)間范圍［0.8，1.3］含義類似。當待求CRP個數(shù)為3時，利用的可靠性指標為系統(tǒng)LOLP、LOLF和EENS指標；當待求CRP個數(shù)為6時，利用的可靠性指標為節(jié)點15、節(jié)點18、系統(tǒng)各自的LOLF和EENS指標。

表9 Gauss-Seidel技巧改進對IOA性能的影響Table 9 Effect of Gauss-Seidel strategy improvement on performance of IOA

由表9可見，Gauss-Seidel技巧可小幅提升IOA的計算效率。表10給出了應用HC對IOA的影響。

由表10可見，相比區(qū)間H-Newton算法，使用HC可進一步降低算法的區(qū)間評估次數(shù)。

表10 HC對IOA性能的影響Table 10 Effect of HC on performance of IOA

然后，以RTS系統(tǒng)為例，分析算法計算效率的影響因素。利用的可靠性指標為節(jié)點15、節(jié)點18、系統(tǒng)的LOLF和EENS指標。表11給出了在不同的待求參數(shù)組合及參數(shù)的取值范圍下，IOA的求解時間、區(qū)間分割次數(shù)、評估次數(shù)等效率評價指標。

表11 不同條件下IOA的計算效率Table 11 Computation efficiency of IOA under different conditions

由表11中的案例1—3可知，通常區(qū)間分割次數(shù)、總時間等指標隨著待求參數(shù)個數(shù)和區(qū)間范圍的增加會顯著增長。另外，IOA的計算效率還與選擇的待求參數(shù)有關。比較案例3和案例4可知，雖然它們待求參數(shù)的數(shù)量同為6個，但由于選取的待求參數(shù)不同，計算時間存在較大的差別。

7 結論

針對現(xiàn)有IPRE研究的不足，本文在現(xiàn)有工作的基礎上，建立了IPRE的一般性模型。針對逆問題的3種基本情形，分別采用相應的改進IOA求解?；赗BTS、IEEE-RTS和91節(jié)點系統(tǒng)測試了模型和算法在逆問題的不同情形下的有效性，并得出如下的結論。

1）根據(jù)待求可靠性參數(shù)個數(shù)與已知可靠性指標個數(shù)的大小關系、解的個數(shù)等，需要選用不同的逆問題模型和求解算法。

2）求解結果表明，相比常規(guī)非線性優(yōu)化算法和PSO算法，IOA在逆問題的各種情形下均能求得參數(shù)的準確取值或者取得最優(yōu)的解。使用常規(guī)優(yōu)化算法時，一部分元件（如某些輸電支路）可靠性參數(shù)的誤差較大。

IPRE拓展和完善了傳統(tǒng)可靠性評估理論，具有重要研究意義。當前，逆問題理論尚處于起步階段，在其模型、方法和應用上仍需要系統(tǒng)深入的研究。例如：為更貼近工程實際，在可靠性參數(shù)補全和校正問題的研究中，下一步可計入可靠性指標統(tǒng)計值的誤差；本文利用的是可靠性指標的統(tǒng)計均值，后續(xù)研究還可根據(jù)可靠性指標統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率分布信息求取元件參數(shù)的置信區(qū)間或概率分布。

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