徐 石

(安徽省宿州市第二中學(xué))

等效法是通過對問題中的某些因素進(jìn)行變換或直接利用相似性,移用某一規(guī)律進(jìn)行分析而得到相同效果.利用等效法不僅可以使問題變得簡單易解,還有助于活躍學(xué)生的思維.

我們在學(xué)習(xí)單擺的過程中就可以利用等效法進(jìn)行分析.如在利用單擺的周期公式解題時(shí),由于題目背景不同,單擺的周期公式可以廣義地表示為,式中l(wèi)′為等效擺長,g′為等效重力加速度.

1 等效單擺擺長

表1

例1如圖1所示,光滑絕緣圓弧軌道的半徑為R,最低點(diǎn)N點(diǎn)左側(cè)處于垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場中,現(xiàn)將一帶負(fù)電的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))自最低點(diǎn)右側(cè)的M點(diǎn)由靜止釋放,M、N兩點(diǎn)間的距離遠(yuǎn)小于軌道半徑R,小球到達(dá)最左側(cè)的位置為P點(diǎn)(圖中未畫出),小球運(yùn)動過程中始終未脫離軌道,已知重力加速度為g,下列說法正確的是( ).

圖1

A.P點(diǎn)比M點(diǎn)高

B.小球向左經(jīng)過N點(diǎn)后,對軌道的壓力立即變大

C.小球在P點(diǎn)和M點(diǎn)處對軌道的壓力大小不相等

解析

小球在軌道中運(yùn)動時(shí),由于只有重力做功,則機(jī)械能守恒,則P點(diǎn)與M點(diǎn)等高,選項(xiàng)A錯誤;小球向左經(jīng)過N點(diǎn)后,因洛倫茲力方向向下,則對軌道的壓力立即變大,選項(xiàng)B正確;小球在P點(diǎn)和M點(diǎn)處速度為0,只受到重力和軌道的支持力,且P、M兩點(diǎn)關(guān)于最低點(diǎn)位置對稱,則對軌道的壓力大小相等,選項(xiàng)C 錯誤;因?yàn)槁鍌惼澚Ψ较蚴冀K和速度方向垂直,且M、N兩點(diǎn)間的距離遠(yuǎn)小于軌道半徑R,則小球的運(yùn)動可看作單擺,小球運(yùn)動的周期為T＝,選項(xiàng)D 正確.

例2如圖2 所示,傾角為θ的斜面MN上的B點(diǎn)固定一光滑圓弧槽AB(對應(yīng)的圓心角小于10°),其圓心在B點(diǎn)正上方的O點(diǎn),另外,光滑斜面OC和OD的下端亦在MN上,讓可視為質(zhì)點(diǎn)的小球分別無初速度出發(fā),從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)間為tB,從O點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間為tC,從O點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)的時(shí)間為tD.比較這三段時(shí)間,正確的是( ).

圖2

A.tB＞tD＞tCB.tD＞tC＞tB

C.tB＝tC＝tDD.tB＞tC＝tD

解析

由單擺運(yùn)動的等時(shí)性可以知道,從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)間以O(shè)B為 直徑作圓,由于OD垂直于MN,則點(diǎn)D在該圓上,利用等時(shí)圓的性質(zhì)分析可知tC＜tD,由幾何關(guān)系可知,OD與豎直方向的夾角等于斜面傾角,則OD段為l＝

故選項(xiàng)A 正確,選項(xiàng)B、C、D 錯誤.

2 等效重力加速度

表2

例3如圖3所示為相同的小球(可看作質(zhì)點(diǎn))構(gòu)成的單擺,所有的繩子長度都相同,在不同的條件下的周期分別為T1、T2、T3、T4,關(guān)于周期大小關(guān)系的判斷,正確的是( ).

圖3

A.T1＞T2＞T3＞T4

B.T4＜T1＝T3＜T2

C.T4＞T1＝T3＞T2

D.T1＜T2＜T3＜T4

解析

設(shè)繩長均為L,根據(jù)單擺的周期公式可得

則T4＞T1＝T3＞T2,故選項(xiàng)C正確.

例42021年5月15日,中國自主研發(fā)的火星探測器“天問一號”成功著陸火星.已知在火星表面一擺長為L的單擺完成n次全振動所用的時(shí)間為t.探測器在離開火星表面返回時(shí),在離火星表面高度為h的圓軌道以速度v繞其運(yùn)行一周所用時(shí)間為T.已知引力常量為G,火星可視為勻質(zhì)球體,火星的密度為( ).

故選項(xiàng)A 正確.

(完)