韓元華

(山東省濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué))

人船模型,不僅是動(dòng)量守恒問題中典型的物理模型,也是最重要的力學(xué)綜合模型之一.利用人船模型及其典型變形,通過類比和等效方法,可以使許多動(dòng)量守恒問題解答變得簡(jiǎn)單便捷.

模型構(gòu)建在平靜的湖面上停泊著一條長(zhǎng)為L(zhǎng),質(zhì)量為M的船,如果有一質(zhì)量為m的人從船的一端走到另一端,求船和人相對(duì)水面的位移各為多少?

模型剖析設(shè)人從船的一端走到另一端所用時(shí)間為t,人、船的速度分別為v人、v船,由人、船整個(gè)系統(tǒng)在水平方向上滿足動(dòng)量守恒定律,有mv人－Mv船＝0,即

圖1

模型拓展1由船上一個(gè)人的運(yùn)動(dòng)拓展為多個(gè)人的同時(shí)運(yùn)動(dòng),同時(shí)停止:由模型特征可知,船后退的距離,分式中的分子m為船上一端移到另一端的“凈質(zhì)量”.要正確理解“凈質(zhì)量”的含義.

示例1如圖2所示,在光滑的水平地面上有一輛平板車,車的兩端分別站著人A和B,A的質(zhì)量為ma,B的質(zhì)量為mb,ma＞mb.最初人和車都處于靜止?fàn)顟B(tài).兩人同時(shí)由靜止開始相向而行,車的質(zhì)量為M,A和B同時(shí)到達(dá)車的另一端后停止.求車后退的距離.

圖2

模型拓展2由船上一個(gè)人的運(yùn)動(dòng)拓展為多物體的先后運(yùn)動(dòng):由模型特征可知,船后退的距離s船＝,只和從船的一端移動(dòng)到另一端的“凈質(zhì)量”有關(guān),和“凈質(zhì)量”移動(dòng)的時(shí)間無(wú)關(guān).

示例2在冰面上靜止著質(zhì)量為M、長(zhǎng)為L(zhǎng)的車,車的一端由一名士兵用實(shí)彈射擊在車另一端的靶子,已知士兵與其武器裝備的質(zhì)量為m,每顆子彈的質(zhì)量為m1,當(dāng)士兵發(fā)射了n1顆子彈后稍作休息,又發(fā)射了n2顆子彈,并全部擊中靶子,求車后退的距離.

答案

模型拓展3把水平方向的問題拓展為豎直方向:由可知,知道了船或人的一方的位移,就知道了另一方的位移.

示例3總質(zhì)量為M的氣球下端懸著質(zhì)量為m的人,靜止于高度為h的空中,欲使人能完全著地,繩長(zhǎng)至少應(yīng)為多長(zhǎng)? (人可視為質(zhì)點(diǎn))

答案L＝(h是人相對(duì)于地的位移).

模型拓展4把水平方向的直線運(yùn)動(dòng)問題拓展為水平方向的曲線問題:小球下滑過程中整體動(dòng)量并不守恒,但整體在水平方向上動(dòng)量守恒.

示例4質(zhì)量為M的物體靜止在光滑水平面上,其上有一個(gè)半徑為R的光滑半圓形凹面軌道,把質(zhì)量為m的小球自軌道右側(cè)與球心等高處由靜止釋放,求M向右運(yùn)動(dòng)的最大距離.

答案

例1如圖3所示,質(zhì)量為M的滑塊可在水平放置的光滑固定導(dǎo)軌上自由滑動(dòng),質(zhì)量為m的小球與滑塊上的懸點(diǎn)O由一不可伸長(zhǎng)的輕繩相連,繩長(zhǎng)為L(zhǎng).開始時(shí),輕繩處于水平拉直狀態(tài),小球和滑塊均靜止.現(xiàn)將小球由靜止釋放,當(dāng)小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí),滑塊剛好被一表面涂有黏性物質(zhì)的固定擋板粘住,在極短的時(shí)間內(nèi)速度減為零,小球繼續(xù)向左擺動(dòng)到繩與豎直方向的夾角為60°時(shí)達(dá)到最高點(diǎn).滑塊與小球均視為質(zhì)點(diǎn),空氣阻力不計(jì),重力加速度為g,則以下說法正確的是( ).

圖3

A.繩的拉力對(duì)小球始終不做功

B.滑塊與小球的質(zhì)量關(guān)系為M＝2m

例2如圖4所示,將一質(zhì)量為M、半徑為R內(nèi)壁光滑的半圓槽置于光滑的水平面上,現(xiàn)從半圓槽右端入口處由靜止釋放一質(zhì)量為m(M＞m)的小球,則小球釋放后,以下說法正確的是( ).

圖4

A.小球能滑至半圓槽左端槽口處

C.若開始時(shí)小球在半圓槽最低點(diǎn)且小球有方向向左大小為v0的初速度,則小球再次回到半圓槽最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為

D.若開始時(shí)小球在半圓槽最低點(diǎn)且小球有方向向左大小為v0的初速度,如果小球能從左側(cè)槽口飛出,則離開槽口后還能上升的最大高度為H＝

小球和半圓槽組成的系統(tǒng)水平方向不受外力,水平方向動(dòng)量守恒且總動(dòng)量為零,當(dāng)小球到半圓槽左端最高處時(shí),小球和半圓槽速度相等,由動(dòng)量守恒定律知,速度為零,結(jié)合機(jī)械能守恒定律可知小球能滑至半圓槽左端槽口處,故選項(xiàng)A 正確.

設(shè)小球滑至半圓槽最低點(diǎn)時(shí)半圓槽的位移大小為x,取向左為正方向,由系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒可得,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

若開始時(shí)小球在半圓槽最低點(diǎn)且小球有方向向左大小為v0的初速度,設(shè)小球再次回到軌道最低點(diǎn)的速度大小為v1,槽的速度大小為v2,取向左為正方向,根據(jù)動(dòng)量守恒定律得mv0＝mv1＋Mv2.根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得,聯(lián)立解得,另一解為v0舍去,故選項(xiàng)C正確.

若開始時(shí)小球在半圓槽最低點(diǎn)且小球有方向向左大小為v0的初速度,如果小球能從左側(cè)槽口飛出,取向左為正方向,根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得mv0＝(m＋M)vx.

總之,人船模型是一個(gè)重要的物理模型,在學(xué)習(xí)過程中要熟練掌握模型特征的推導(dǎo)、模型特征的推論和拓展,這樣才能在解題中高效應(yīng)用.

(完)