顏世軍，彭宇何，彭 劍，任中俊

(湖南科技大學(xué) 土木工學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

起重機(jī)作業(yè)安全和效率是其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)必須考慮的關(guān)鍵因素。隨吊裝高度和質(zhì)量的提升，吊裝設(shè)備大型柔性化趨勢愈發(fā)明顯。柔性吊裝系統(tǒng)在作業(yè)時(shí)臂架剛體運(yùn)動、吊臂彈性振動和吊物擺動同時(shí)存在，相互影響。為提升吊裝效率，起重機(jī)作業(yè)時(shí)往往多種運(yùn)動同時(shí)進(jìn)行，精確分析復(fù)合運(yùn)動激勵下起重機(jī)的動力行為并給出合理的振動控制策略，對起重機(jī)追求高效作業(yè)并保證作業(yè)安全至關(guān)重要。

吊裝系統(tǒng)是吊物系統(tǒng)、支撐結(jié)構(gòu)和行走裝置構(gòu)成的多體系統(tǒng)。為滿足系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、疲勞分析以及振動控制等方面研究需求，面對不同吊裝設(shè)備，現(xiàn)有研究建立了大量針對性的動力學(xué)模型。對支撐結(jié)構(gòu)彈性變形較小的剛性吊裝系統(tǒng)，Mori等[1]和Mohamed等[2]分別給出了橋式和門座式起重機(jī)在懸點(diǎn)歷經(jīng)直線運(yùn)動時(shí)的平面兩自由度動力學(xué)模型。Chen等[3-7]則針對塔式起重機(jī)、伸縮臂式起重機(jī)、轉(zhuǎn)向臂式起重機(jī)和海上浮式起重機(jī)分別建立了吊物懸點(diǎn)做空間曲線運(yùn)動時(shí)的多自由度空間運(yùn)動方程。上述模型忽略了吊裝過程中吊臂彈性變形對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響，難以模擬柔性吊裝系統(tǒng)的動力學(xué)行為。在設(shè)備大型柔性化發(fā)展需求下，多柔體動力學(xué)分析方法在吊裝系統(tǒng)動力學(xué)仿真中得以廣泛應(yīng)用。劉華森等[8]針對橋式起重機(jī)給出了考慮支撐梁彈性變形與懸吊系統(tǒng)的耦合動力學(xué)分析模型。文獻(xiàn)[9-11]基于柔性多體動力學(xué)分析方法，建立了塔式、履帶式和輪式起重機(jī)的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，并對回轉(zhuǎn)作業(yè)或變幅作業(yè)的耦合動力學(xué)行為進(jìn)行了分析。面對細(xì)長型吊臂系統(tǒng)在重載作用下的大撓度效應(yīng)，文獻(xiàn)[12-13]給出了考慮吊臂幾何非線性效應(yīng)的多柔體動力學(xué)模型。上述考慮臂架彈性振動影響的多體動力學(xué)模型能較真實(shí)地描述吊裝系統(tǒng)耦合效應(yīng)，但方程形式復(fù)雜，計(jì)算效率較低，在柔性吊裝系統(tǒng)振動控制領(lǐng)域難以得到有效應(yīng)用。

建立合理的動力學(xué)模型能為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及控制策略擬定奠定基礎(chǔ)，為有效抑制吊裝系統(tǒng)振動，保證作業(yè)安全和效率，控制算法的合理設(shè)計(jì)尤為關(guān)鍵[14]。以輸入整形[15], 指令平滑[16]和離線軌跡規(guī)劃[17]為代表的前饋控制法廣泛應(yīng)用于起重機(jī)防擺控制，前饋控制法由于無需加載反饋裝置，控制成本較低，但當(dāng)系統(tǒng)作業(yè)存有附加擾動時(shí)[18]，則表現(xiàn)較差的魯棒性。相比而言，反饋控制方法利用系統(tǒng)狀態(tài)的反饋，根據(jù)輸出響應(yīng)實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的控制性能，具有較強(qiáng)魯棒性。以比例-積分-微分(proportion integral derivative，PID)[19]和線性二次規(guī)劃(linear quadratic regulator，LQR)[20]為代表的線性反饋控制法, 以模型預(yù)測控制(model predictive control，MPC)[21]和廣義預(yù)測控制(generalized predictive control，GPC)[22]為代表的優(yōu)化控制方法,基于李亞普若夫穩(wěn)定性理論所構(gòu)建的非線性控制法[23]以及針對不確定參數(shù)和隨機(jī)激勵所發(fā)展的智能控制算法[24-26]在各類起重機(jī)振動控制方面得到了極大發(fā)展。反饋控制的成功實(shí)現(xiàn)，需要附加信息采集與反饋裝置，致使控制成本增加，且對人工操作控制與計(jì)算機(jī)反饋控制間的協(xié)調(diào)亦會帶來新的挑戰(zhàn)。特別是在大型復(fù)雜吊具系統(tǒng)的吊物偏擺角難以實(shí)時(shí)精準(zhǔn)測量的前提下，極大限制了其實(shí)際工程應(yīng)用。為兼固控制效果和成本，Mar等[27]與Jie等[28]分別針對橋式起重機(jī)和回轉(zhuǎn)式起重機(jī)，聯(lián)合前饋輸入整形控制和線性反饋控制法對吊物在單一運(yùn)動激勵下的吊物擺動進(jìn)行了控制，取得了較好的控制效果。上述研究集中在單一運(yùn)動激勵下吊物防擺控制，但是在復(fù)合運(yùn)動激勵下長柔吊裝系統(tǒng)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)支撐臂彈性振動抑制和吊物防擺控制研究較少。

針對復(fù)合運(yùn)動激勵下的吊裝多體系統(tǒng)，分別利用等效彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)和空間懸吊系統(tǒng)描述吊臂振動和吊物擺動，在浮動坐標(biāo)系上描述部件運(yùn)動，采用多體動力學(xué)遞推列式建模法推導(dǎo)并給出了吊裝系統(tǒng)的多體動力學(xué)模型。根據(jù)耦合系統(tǒng)的吊物擺動和吊臂振動特征，聯(lián)合輸入整形和比例微分(proportional-differential，PD)控制法，設(shè)計(jì)了能同時(shí)抑制吊臂振動和吊物擺動的聯(lián)合控制器。針對某輪式起重機(jī)復(fù)合運(yùn)動作業(yè)環(huán)境，對其開展了動力學(xué)響應(yīng)和振動控制研究，分析了動力學(xué)模型及控制算法的有效性。

1 力學(xué)模型

對文獻(xiàn)[29]所述的吊裝多體系統(tǒng)，回轉(zhuǎn)、變幅和吊物升降運(yùn)動是三種主要運(yùn)動形式，為提高吊裝效率，多種運(yùn)動形式同時(shí)進(jìn)行，其中回轉(zhuǎn)/變幅復(fù)合運(yùn)動下起重機(jī)臂架與吊物系統(tǒng)極易引起大幅振動。如圖1所示，以連接于臂頭的等效彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)模擬吊臂彈性振動，以鉸接于質(zhì)點(diǎn)mt的空間懸吊系統(tǒng)模擬吊物擺動。在回轉(zhuǎn)/變幅復(fù)合運(yùn)動下，對等效彈簧阻尼系統(tǒng)，質(zhì)點(diǎn)mt在慣性系o-xyz的矢徑為

ub=R1R2(u0+ut)

(1)

式中：u0=[lb00]T為在臂頭浮動坐標(biāo)系o1-x1y1z1上描述的吊臂無變形位置矢徑；ut=[utxutyutz]T為質(zhì)點(diǎn)mt相對o1-x1y1z1的位置矢徑；R1為由臂尾隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系o′-x′y′z′到慣性系o-xyz的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，其表達(dá)式為

(2)

式中，θ1(t)為吊臂回轉(zhuǎn)角。R2為由坐標(biāo)系o1-x1y1z1至坐標(biāo)系o′-x′y′z′的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，其表達(dá)式為

(3)

式中，θ2(t)為吊臂變幅角度。

圖1 復(fù)合運(yùn)動激勵下吊裝多體系統(tǒng)等效動力學(xué)模型Fig.1 Sketch of the equivalent dynamic model of hoisting multi-body systems under compound motion excitation

式(1)對時(shí)間求導(dǎo)，可得慣性系描述下質(zhì)點(diǎn)mt的速度

(4)

式中：Ω1，Ω2分別為吊臂回轉(zhuǎn)和變幅角速度所對應(yīng)的斜對稱矩陣； 位移矢量utr=ut+r0。

在復(fù)合運(yùn)動下，等效彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)的動能為

(5)

式中，相關(guān)元素矩陣表為

(6)

彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)的彈性勢、位勢和耗散函數(shù)分別表為

(7)

Ut2=mtg[(lb+utx)sinθ2+utzcosθ2]

(8)

(9)

式中：Kt=[k100;0k20;00k3]為系統(tǒng)剛度陣，k1,k2和k3分別為彈簧①、彈簧②和彈簧③的剛度系數(shù)，其值取決于吊臂在回轉(zhuǎn)和變幅平面內(nèi)的彎曲剛度以及吊臂軸向拉壓剛度；Ct=[c100;0c20;00c3]為系統(tǒng)阻尼矩陣，c1,c2和c3分別為系統(tǒng)阻尼①、阻尼②和阻尼③的阻尼系數(shù)，等效質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)具體等效方法見顏世軍等的研究；g為重力加速度。

在不計(jì)吊繩質(zhì)量和變形的前提下，懸吊系統(tǒng)能量包含了吊物的動能、勢能和耗散能。在連接于質(zhì)點(diǎn)mt的浮動坐標(biāo)系o-x2y2z2上描述吊物的擺動，在復(fù)合運(yùn)動中，坐標(biāo)系o-x2y2z2始終與隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系o′-x′y′z′保持平行，任意時(shí)刻的擺動由法向擺角α和切向擺角β來表示。將吊物看成不計(jì)幾何尺寸的質(zhì)點(diǎn)mp，在系統(tǒng)回轉(zhuǎn)/變幅復(fù)合運(yùn)動中，考慮吊臂臂頭彈性變形和吊繩擺動，吊物在慣性系下的矢徑為

up=R3R2(u0+ut)+R3um

(10)

式中：um=[uqxuqyuqz]T為坐標(biāo)系o-x2y2z2描述的吊物空間位置坐標(biāo)列向量；R3為由坐標(biāo)系o-x2y2z2至慣性系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。

由式(10)對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，考慮轉(zhuǎn)換矩陣R3與R1相等，可得吊物絕對速度為

(11)

懸吊系統(tǒng)動能表為

(12)

式中，mp為吊物質(zhì)量，相關(guān)元素矩陣表為

(13)

在小擺動狀態(tài)下，吊物矢徑um與吊繩長度lr, 吊繩擺角α和β的關(guān)系表為

(14)

由式(14)對時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)可得

(15)

(16)

懸吊系統(tǒng)的位勢和耗散函數(shù)分別為

Up=mpg[(lb+utx)sinθ2+
utzcosθ2-lrcosαcosβ]

(17)

(18)

式中，Cφ=[cφ0;0cφ]為阻尼陣，cφ為阻尼系數(shù)。

吊裝多體系統(tǒng)總的動能、勢能和耗散能由等效彈簧質(zhì)量系統(tǒng)和懸吊系統(tǒng)共同組成，分別為

T=Tt+Tp,U=Ut1+Ut2+Up,Fc=Fct+Fcp

(19)

(20)

式中，質(zhì)量陣相關(guān)項(xiàng)為

Muu=(mt+mp)I3×3

(21)

(22)

(23)

右端廣義力相關(guān)元素矩陣為

(mt+mp)g[sinθ20 cosθ2]T

(24)

(25)

式中： 下劃線項(xiàng)為吊裝系統(tǒng)復(fù)合運(yùn)動產(chǎn)生的廣義慣性力；單劃線項(xiàng)為離心力；雙劃線項(xiàng)為科式慣性力；三劃線項(xiàng)為切向慣性力。式(20)為回轉(zhuǎn)和變幅復(fù)合運(yùn)動激勵下的吊裝系統(tǒng)5自由度動力學(xué)控制方程。方程以復(fù)合運(yùn)動下的速度信息為系統(tǒng)輸入，其利用3個(gè)自由度描述吊臂彈性振動，2個(gè)自由度描述吊物偏擺運(yùn)動。

2 聯(lián)合控制策略

圖2 吊裝系統(tǒng)振動控制流程Fig.2 Vibration control flow of the hoisting system

2.1 輸入整形控制

輸入整形屬于前饋控制技術(shù)，基本原理是將輸入?yún)?shù)與整形器產(chǎn)生的脈沖序列的卷積作為被控對象的輸入，進(jìn)而驅(qū)動系統(tǒng)運(yùn)行。輸入整形時(shí)域表達(dá)式為

(26)

式中：n為脈沖個(gè)數(shù)；Ai和ti分別為第i個(gè)脈沖的幅值和時(shí)滯。根據(jù)對殘余振動限制條件不同，常用輸入整形器有零階振動(zero order vibration，ZV)整形器和零階振動微分(zero vibration derivative，ZVD)整形器和極不靈敏(extremely insensitive，EI)整形器，這些整形器的參數(shù)通過求解不同限制方程獲得。ZVD整形器由三個(gè)脈沖構(gòu)成，其響應(yīng)幅值和時(shí)滯分別為

(27)

2.2 比例微分控制

對大型柔性起重機(jī)，吊臂在回轉(zhuǎn)與變幅復(fù)合運(yùn)動的啟制動過程中，吊臂切向慣性力使其產(chǎn)生切向的彈性振動，而由于科氏力和離心力的影響，亦會產(chǎn)生法向方向的彈性振動。采用PD反饋控制策略對吊臂彈性振動進(jìn)行控制，以切向和法向殘余振動為反饋量，以系統(tǒng)回轉(zhuǎn)和變幅角速度為受控輸入量。針對系統(tǒng)5自由度多體動力學(xué)方程，經(jīng)反饋信息修正的回轉(zhuǎn)和變幅角速度為

(28)

式中：gp1和gp2分別為切向和法向位移反饋誤差的控制增益；gd1和gd2分別為切向和法向速度反饋誤差的控制增益，反饋增益取決系統(tǒng)振動特征。彈性變形和振動速度反饋誤差分別為

(29)

3 算例分析

忽略系統(tǒng)阻尼的影響，利用所給出的動力學(xué)分析模型對顏世軍等所述大型輪式起重機(jī)開展動力學(xué)仿真，對比分析了回轉(zhuǎn)、變幅單一運(yùn)動下和復(fù)合運(yùn)動下的動力學(xué)響應(yīng)特征；采用聯(lián)合控制策略對系統(tǒng)進(jìn)行了振動控制，對比分析了聯(lián)合控制法與傳統(tǒng)輸入整形控制法的控制效果。

3.1 振動分析

在系統(tǒng)吊物質(zhì)量為5 000 kg，吊臂長為80 m，吊繩長為50 m，吊臂自質(zhì)量為3×104 kg時(shí)，針對復(fù)合運(yùn)動和回轉(zhuǎn)、變幅單一運(yùn)動下的吊物偏擺和吊臂振動進(jìn)行仿真分析。復(fù)合運(yùn)動下回轉(zhuǎn)和變幅角度和角速度輸入時(shí)間歷程曲線如圖3所示，期間各經(jīng)歷了啟動、恒速、制動和停機(jī)4個(gè)階段，其中恒速階段回轉(zhuǎn)角速度為0.2 r/min，變幅角速度為0.05 r/min，回轉(zhuǎn)和變幅兩種運(yùn)動啟動和制動時(shí)間點(diǎn)一致，且啟制動時(shí)間均為5 s。復(fù)合運(yùn)動過程中，回轉(zhuǎn)角由0°轉(zhuǎn)到190°，變幅角由30°升到76°。為了與單一運(yùn)動激勵響應(yīng)開展對比分析，回轉(zhuǎn)和變幅單一運(yùn)動模式與復(fù)合運(yùn)動模式中的回轉(zhuǎn)和變幅角速度時(shí)間歷程輸入一致。

圖4顯示了不同運(yùn)動激勵下的吊物偏擺響應(yīng)，可以看出在復(fù)合運(yùn)動和回轉(zhuǎn)運(yùn)動下，吊物擺動體現(xiàn)為空間球擺運(yùn)動，而在變幅運(yùn)動下，吊物擺動為平面單擺運(yùn)動。復(fù)合運(yùn)動與回轉(zhuǎn)運(yùn)動在恒速階段，吊物的法向擺動幅值和切向擺動幅值均較為接近，但在停車階段兩者差距明顯，原因?yàn)楹闼匐A段的切向擺動主要由啟動階段的吊物切向慣性力引起，法向擺動則主要由離心力和科氏力引起。在啟動前，復(fù)合運(yùn)動和單一回轉(zhuǎn)運(yùn)動下吊臂姿態(tài)相同，為此啟動時(shí)切向慣性力相當(dāng)，致使恒速階段二者結(jié)果接近。但在停車階段的吊物擺動在主要取決于制動階段的吊物切向慣性力和二次疊加效應(yīng)，制動時(shí)復(fù)合運(yùn)動與回轉(zhuǎn)和變幅單一運(yùn)動時(shí)吊臂姿態(tài)不同，致使其制動產(chǎn)生的切向慣性力不同，引起復(fù)合運(yùn)動和單一運(yùn)動下吊物擺動差別較大。

圖3 復(fù)合運(yùn)動下系統(tǒng)角度與角速度Fig.3 Input data of rotary speed of system for the slewing/luffing compound motion

圖4 不同運(yùn)動激勵下吊物擺角響應(yīng)Fig.4 Time history of payload swing in different motions

圖5為不同運(yùn)動激勵下臂頭變形振動響應(yīng)?？梢钥闯龅醣壅駝禹憫?yīng)形式為吊物強(qiáng)迫振動和自身慣性力引起的自激振動耦合形成。啟動和恒速階段，復(fù)合運(yùn)動激勵下吊臂切向振動響應(yīng)與回轉(zhuǎn)運(yùn)動激勵下的響應(yīng)結(jié)果較為接近，而復(fù)合運(yùn)動激勵下的法向振動響應(yīng)與變幅運(yùn)動激勵下的響應(yīng)趨勢相似，但復(fù)合運(yùn)動下的法向振動幅值高于變幅運(yùn)動下的振動幅值。啟動和恒速階段吊臂切向振動由吊物切向擺動拖拽力和吊臂切向慣性力引起，但吊臂法向振動則由吊物法向擺動拖拽力和自身法向慣性力引起，隨著吊臂變幅角度增大，吊物重力沿吊臂法向分量降低，引起吊臂法向撓度減小，但復(fù)合運(yùn)動激勵下回轉(zhuǎn)引起的離心力和科氏力導(dǎo)致其法向振幅高于變幅單一運(yùn)動激勵下法向振動幅值。制動與停車階段復(fù)合運(yùn)動激勵下的吊臂切向振動幅值與法向振動幅值與單一運(yùn)動激勵下的振動幅值均有較大區(qū)別，原因歸結(jié)于此時(shí)復(fù)合運(yùn)動下的吊臂姿態(tài)有別于單一回轉(zhuǎn)運(yùn)動下的吊臂姿態(tài)，制動產(chǎn)生的切向慣性力在二者間有明顯區(qū)別，且制動時(shí)的二次疊加效應(yīng)對停車后的振動亦有一定影響。

圖5 不同運(yùn)動激勵下吊臂振動響應(yīng)Fig.5 Time history of boom vibration in different motions

3.2 振動控制分析

利用所給出的動力學(xué)模型模擬系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)，采用第2章所述聯(lián)合控制器對系統(tǒng)進(jìn)行振動控制。針對3.1節(jié)所述受控系統(tǒng)，復(fù)合運(yùn)動初始輸入信息見圖3，忽略系統(tǒng)阻尼，其一階偏擺自然頻率為0.064 Hz，進(jìn)一步利用式(26)可得ZVD整形器的控制參數(shù)。系統(tǒng)PD反饋控制器的控制增益分別?。篻p1=0.001，gd1=0.002，gp2=0.000 25，gd2=0.000 5。

圖6和圖7分別為復(fù)合運(yùn)動激勵下吊物擺動和臂頭振動在不同控制方法及未受控狀態(tài)下的時(shí)程響應(yīng)。可以看出，在傳統(tǒng)輸入整形器控制下, 吊物擺動幅值得到較好的抑制，吊物偏擺沿著切向和法向的殘余振動幅值分別18.1%和21.3%，但吊臂振動幅值抑制效果較差，吊臂沿著切向和法向振動的殘余振動幅值分別為33.2%和31.3%。主要原因?yàn)檩斎胝慰刂破髦荒芟到y(tǒng)偏擺振動，對吊臂彈性振動無法進(jìn)行抑制。而在聯(lián)合控制器作用下，吊物切向最大擺幅相比ZVD控制器作用下的最大擺幅降低15%，吊臂切向最大振幅相比ZVD控制器則下降41.2%，結(jié)果顯示吊物法向最大擺幅和吊臂法向振動幅值下降效果顯著。吊物的切向和法向擺動在啟動和制動15 s后，其振動幅值即衰減為未受控系統(tǒng)振幅的8%之內(nèi)，而后振動將快速收斂至目標(biāo)點(diǎn)，且從圖7可以看出，聯(lián)合控制器在抑制吊物擺動的同時(shí)也較快地消除了吊臂彈性振動。比較恒速階段和停車階段的振動抑制效果可以看出，恒速階段的系統(tǒng)的收斂速度慢于停車階段，這是因?yàn)閺?fù)合運(yùn)動過程中產(chǎn)生的科氏力導(dǎo)致切向振動和法向振動相互影響，致使控制器收斂速度放慢。總體而言，本文所設(shè)計(jì)的聯(lián)合控制器相對傳統(tǒng)整形控制器既能同時(shí)抑制復(fù)合運(yùn)動激勵下系統(tǒng)的吊物擺動和吊臂彈性振動，且其振動幅值抑制效果和控制收斂速度較傳統(tǒng)控制器有極大提升。

圖6 不同控制方法下吊物擺動歷程Fig.6 Time history of payload swing under different control methods

圖7 不同控制方法下吊臂振動時(shí)程Fig.7 Time history of boom vibration under different control methods

4 結(jié) 論

針對復(fù)合運(yùn)動激勵下的吊裝系統(tǒng)，推導(dǎo)并給出了系統(tǒng)5自由度多體動力學(xué)模型，考慮系統(tǒng)的耦合振動特性，給出了能同時(shí)抑制吊物擺動和吊臂振動的聯(lián)合控制策略，并對某大型輪式起重機(jī)在復(fù)合運(yùn)動下的動力學(xué)響應(yīng)和控制器振動控制效果進(jìn)行了分析。

振動分析表明，復(fù)合運(yùn)動激勵下的5自由度多體動力學(xué)模型，可較準(zhǔn)確反映系統(tǒng)復(fù)合運(yùn)動激勵下的慣性力效應(yīng)以及吊臂彈性振動與吊物擺動耦合效應(yīng)。復(fù)合運(yùn)動激勵下的吊物擺動在啟動與恒速階段與單一回轉(zhuǎn)激勵響應(yīng)結(jié)果較為接近，而吊臂振動則不同于單一運(yùn)動激勵下的振動響應(yīng)，在制動與停車靜止階段不同運(yùn)動激勵下系統(tǒng)振動區(qū)別顯著。

振動控制分析結(jié)果表明，基于ZVD輸入整形和PD反饋的聯(lián)合控制器相比傳統(tǒng)整形控制器的控制效果得到極大提升，聯(lián)合控制器既能抑制系統(tǒng)在復(fù)合運(yùn)動激勵下吊物偏擺振動，又能有效抑制吊臂彈性振動，且控制器收斂速度快，魯棒性強(qiáng)，可有效提高大型柔性臂架系統(tǒng)復(fù)合運(yùn)動下的作業(yè)效率和安全。