張瑞增，龔建偉，陳慧巖，劉海鷗，盧佳興

(北京理工大學 機械與車輛學院，北京 100081)

0 引言

相比于其他類型車輛，履帶車輛最為顯著的特點是其負重輪不直接與地面接觸，而是通過履帶與地面接觸。履帶的引入能夠平滑路面粗糙，分散負重輪壓力，有助于提高附著力，因此履帶車輛的平均地面壓力小，牽引力大，能夠在泥濘、軟質沙地、陡峭坡地以及碎石灘等極端野外環(huán)境下行駛［1］，相比于輪式車輛具有適應范圍廣、通過性強的優(yōu)點，廣泛應用于軍事、救援、工程機械和農業(yè)領域。

履帶在提升車輛適用性的同時也帶來車輛動力學建模與控制難題。履帶接地形狀為窄長的帶狀，履帶的受力分析必然會用到積分或者求和，這意味著履帶車輛動力學模型復雜度較高;履帶分散了負重輪壓力，在一般路面條件下，實際接地壓力既非集中載荷也非均布載荷，而是一種呈現(xiàn)多峰的分布形式，即在履帶-地面剪切位移積累的過程中垂向負載持續(xù)變化，這意味著剪切位移的積累并不是簡單的速度對時間的積分，還需要考慮垂向載荷的變化。

現(xiàn)有的履帶車輛轉向動力學模型按照履帶地面接觸模型分類主要有三種。第一種是經(jīng)驗模型，以俄羅斯［2-3］學者尼基金提出的經(jīng)驗公式μ=為最大轉向阻力系數(shù)，a為與土壤特性有關的系數(shù)，R 為轉向半徑，B 為履帶中心距) 為代表。該經(jīng)驗公式簡潔，且在工程上應用廣泛。但是，該公式為純粹的擬合公式，參數(shù)a 本身沒有明確的物理意義。將其應用于履帶車輛動力學控制的問題是其不能描述滑轉滑移和轉向過程的轉向中心的偏移量，也無法描述履帶車輛側向動力學。第二種是基于摩擦理論的模型，實際上能夠符合這種理論的地面非常少，文獻［4］也證明了這種模型的不可行性，此處不再贅述。最后一種是基于剪切應力-剪切位移理論的模型，以美國學者Bekker等［5］和Bekker［6］的研究最具代表性，其研究以微元為基礎，將微元特性積分即得到車輛整體地面特性。由于積分的引入導致其模型復雜度很高，無法應用于履帶車輛實時控制中，多作為分析模型分析車輛性能。

加拿大學者Wong 等［4］在Bekker 研究的基礎上對地面力學理論進行了完善和發(fā)展。國內王紅巖等［7］、魏宸官［8］和余群等［9］都曾對履帶或農用輪式車輛的地面作用關系進行過相關的研究，他們是國內相關研究的先驅。文獻［7，10］對硬質路面高速履帶車輛的轉向過程進行了分析，將履帶接地壓力看作連續(xù)線性分布，并將履帶轉向極橫向偏移量引入轉向模型，取得了較好的驗證效果。文獻［11］將履帶接地壓力看作矩形分布，且分布于負重輪下方。文獻［12］對履帶車輛轉向性能參數(shù)的測試及獲取方法進行了研究。文獻［13 -15］用卡爾曼濾波等方法對履帶車輛轉向過程的滑動參數(shù)進行預測，文獻［16］采用GMM-GMR 模型對道路阻力系數(shù)與轉向阻力系數(shù)進行估計。文獻［17］探究了履帶張力作用對穩(wěn)態(tài)轉向性能的影響。有些學者也對深海

［18］和農用履帶式車輛［19］進了相關的研究。國外近年也針對履帶車輛轉向過程進行了一些研究，文獻［4］采用對地面剪切力積分的方法對硬質路面的穩(wěn)態(tài)轉向進行了研究。文獻［20］認為履帶接地壓力集中于負重輪下的單塊履帶板上，并且用離散微元求和的方法對非穩(wěn)態(tài)轉向進行了分析，而文獻［21］則提出了將履帶看作特殊布置的輪子進行多體模型分析的方法。上述研究大都更加關注履帶與地面之間的剪切關系，將履帶接地壓力看作連續(xù)線性載荷或者集中載荷。實際上，履帶車輛在常見土壤條件下，接地壓力均呈現(xiàn)多峰分布形態(tài)［22］。

本文主要有以下貢獻:1)在前人研究的基礎上，考慮履帶接地壓力的實際情況，進一步完善了基于剪切應力-剪切位移理論的履帶車輛動力學分析模型;2)在上述模型的基礎上，借鑒了輪式車輛輪胎側偏角的概念，在保證模型精度的基礎上大幅度簡化模型，使其在復雜度上可以應用于無人駕駛履帶車輛軌跡控制方法;3)通過實車試驗對上述模型進行了驗證。

1 履帶車輛接地壓力分布分析

1.1 系統(tǒng)描述與模型簡化

履帶接地壓力的分布體現(xiàn)了履帶與地面在垂直方向的交互關系，垂向壓力分布的大小與形態(tài)會直接影響履帶在水平方向的受力情況，水平方向的受力情況則會直接影響到履帶車輛的驅/制動和轉向性能。因此，為了對履帶車輛轉向過程進行分析，必須首先對履帶接地壓力分布進行分析。

履帶車輛負重輪的載荷施加在履帶上后變?yōu)槁膸c地面間的分布載荷，且地面越松軟、履帶張緊力越大，履帶和地面間的載荷分布越均勻。為了研究方便通常假設履帶接地壓力為連續(xù)線性分布［7］或者呈矩形分布［17］，但是這兩種假設形式都不能很好的對履帶接地壓力進行擬合。Bekker等［5］將車輪和履帶間的作用力看作集中載荷，忽略了車輪的形狀，對負重輪之間的接地壓力分布進行了分析，分析認為負重輪間的履帶方程為懸鏈線。Garber等［22］在Bekker 研究的基礎上，考慮車輪形狀，接地過程中履帶張力的變化，形成了包括車輛質量、履帶形狀、負重輪形狀與數(shù)目、懸掛與履帶張緊裝置剛度、預緊力等在內的15 個車輛設計參數(shù)和包括地面剛度系數(shù)在內的2 個地面參數(shù)的履帶車輛接地壓力方程。本節(jié)對上述研究成果進行歸納總結，在保證模型精度的基礎上，將上述模型簡化為求解三個未知參數(shù)的方程。

為了簡化系統(tǒng)，明確研究對象，做出以下假設:

1) 履帶車輛在硬質可形變的平坦路面上行駛，各負重輪負重相同;

2) 將履帶看作不可伸長的柔性帶，且忽略土壤剪切力對履帶形態(tài)分布的影響;

3) 忽略由于履帶接地段變形導致的履帶張緊力的變化;

4)土壤壓力-沉降關系符合Bekker 等［5］提出的土壤壓力-沉降公式p=kzm(p為接地壓強，z為地面沉陷量，k 和m 為接地壓力系數(shù))，且m=1。

履帶局部與地面接觸后的變形如圖1 所示。圖1 中:坐標系Oxz 以水平面上兩負重輪中間位置為原點，l 為輪心到原點O 的縱向距離，s 為履帶最大下沉量，rw為負重輪半徑，ωw為負重輪角速度，點M(0，zM) 為履帶接地段的最高點，點C(xC，zC) 和點F(xF，zF) 分別為履帶環(huán)繞負重輪的部分與負重輪之間部分和履帶傾斜段的交點;履帶與地面的接觸有三種形式，第一種形式為兩個負重輪之間的部分，如圖1 中曲線MC 段S1所示;第二、三種形式為履帶環(huán)繞負重輪的部分，以負重輪的最低點為界，與點C相連的為S2，與點F 相連的為S3;φ 為履帶與水平面的夾角，φC與φS分別為履帶S2和S3對應的輪心角，φF為履帶前段與地面夾角;T 為履帶張緊力，H和V 分別為履帶張緊力在水平和垂直方向的分力，H 為常量。

圖1 履帶土壤接觸變形簡圖Fig.1 Track-ground contact deformation

對于履帶段S1有:

由Bekker 等［5］土壤壓力-沉降關系公式p=kzm可以得到:

令t(z)=dz/dx 有

由于m=1，對式(6) 積分可得地面沉陷量關于x 的函數(shù)z(x)，且履帶S1段為懸鏈線曲線，

履帶S1段受到的地面支持力為

對于履帶段S2，地面沉陷量關于角φ 的函數(shù)為z(φ)，

由于履帶段S2與履帶段S1連接處斜率相同，且履帶不可延伸，有

對于履帶段S3有

根據(jù)車輛垂向受力平衡，可得

式中:W 為車體質量;b 為履帶寬度;n 為單側負重輪數(shù)量。由式(7)～式(14) 和Bekker 土壤壓力-沉降關系公式即可求得理想狀態(tài)下履帶接地壓力分布形式。但是上述求解過程復雜，接地壓力分布為多段式，不利于履帶車輛轉向過程的分析。為簡化后續(xù)轉向動力學模型求解過程，本文結合履帶車輛接地壓力分布形態(tài)，提出了可以調整壓力峰在履帶方向上作用范圍的履帶接地壓力假設對前述復雜模型進行擬合，如式(15) 所示，

式中:Fi為第i 個負重輪的垂向壓力;S 為Fi作用長度;xi為第i 個負重輪中心的橫坐標。采用余弦函數(shù)擬合履帶接地壓力的原因主要有二，一是其形態(tài)與實際履帶接地壓力分布形態(tài)接近，二是其積分簡單且積分結果為常數(shù)。

圖2 和圖3 分別為不同類型、不同履帶張緊力的車輛在硬質路面接地壓力分布形態(tài)以及采用式(15) 的擬合結果對比，計算輪距為0.5 m，圖中實線部分為計算曲線，虛線部分為擬合曲線。圖2 為對中間負重輪接地壓力擬合的效果，圖3 為對外側負重輪接地壓力擬合的效果。在中等履帶預緊力(10%車重) 情況下，從中等硬度路面(土壤剛度5 000 kN/m3)到硬質路面(土壤剛度10 000 kN/m3)，余弦曲線對中間負重輪(圖4 中負重輪2 至(n-1)) 下的履帶接地壓力都有著很好的擬合效果，對兩側負重輪下的履帶接地壓力在形態(tài)上的擬合效果稍差，但是整體上還是有較好的擬合效果，處于可以接受的程度。

圖2 余弦曲線擬合內側負重輪接地壓力效果Fig.2 Curve fitting of track-ground pressure on the middle road wheel

圖3 余弦曲線擬合兩側負重輪接地壓力效果Fig.3 Curve fitting of track-ground pressure on the outer road wheels on both sides

1.2 履帶接地載荷計算

為了降低模型復雜程度，首先假設履帶接地壓力為集中載荷，作用點為負重輪正下方，而后根據(jù)集中載荷的大小對履帶接地壓力載荷分布進行估計。

圖4 為集中載荷作用下的履帶接地壓力。圖4 中CG 為車輛重心，i 為負重輪編號，1 和n特指第1 個和最后一個負重輪，直線OO1為第一負重輪前任意一條與車體垂直的直線，LG和Li分別為車輛重心和第i 負重輪到直線OO1的距離，cx與cy分別為車輛重心到車輛幾何中心的側向和縱向距離，HCG為車輛重心高度，φf與φr分別為履帶前后傾角，WN、Wγ和Wβ分別為重力作用在車輛垂向、縱向和側向的分力，ax與ay分別為車輛在側向和縱向的加速度，F(xiàn)i，i/o為地面給第i 個負重輪的支持力，下標i 和下標o 分別代表內外側履帶。

圖4 集中載荷作用下的履帶接地壓力Fig.4 Track-ground pressure under concentrated load

當內側履帶驅動時，

當內側履帶制動時，

式中:Ti和To分別為內外側履帶的拉力;t1，i、tn，i和tn，o分別為履帶拉力作用于內側第一負重輪和內外側最后一個負重輪的垂向拉力，其與地面支持力共同作用于車輛懸架。

假設相同懸架位移產生的力相同，且呈線性變化，有δi，i/o=δi/o+kδLi，i/o，其中δi，i/o為內側或者外側第i 個負重輪承受的支持力，kδ為斜率。通過式(18) 方程組可以求解出三個未知數(shù)δi、δo和kδ。

式中:B 為履帶中心距。

集中載荷的履帶地面支持力Fi在內側履帶驅動時和制動時分別為

引入圖5 所示的Oxy 坐標系，yi為第i 個負重輪中心的縱坐標，考慮前述接地壓力的分布形式，則第i 個負重輪下的履帶接地壓力為

2 履帶車輛轉向過程分析

2.1 系統(tǒng)描述

為了明確履帶車輛轉向過程，做出以下假設:

1) 履帶車輛在硬質路面上以固定半徑轉向，忽略履帶沉陷以及推土效應;

2) 履帶與地面的剪切力與該點的剪切位移有關，且履帶與地面接觸點的切應力與該點的滑動速度的方向相反;

3) 忽略剪切位移計算過程中縱向車速的變化;

4) 轉向過程中履帶車輛的行駛阻力與直駛時相同;

5) 不考慮車輛懸架以及履帶張緊力對轉向過程的影響，履帶接地壓力為多峰的分布形式，峰值位于各負重輪正下方。

建立圖5 所示坐標系。圖5 中，大地坐標系為OXY，坐標系Oixiyi與坐標系Ooxoyo為車體坐標系，O'和O″分別為內外兩側履帶的瞬時轉向中心，實線部分為車輛當前位置，虛線部分為之前某時刻車輛的位置，R 為車輛轉向半徑，R'為車輛重心位置在大地坐標系x 軸方向的投影，S0為車輛重心到轉向中心(軸) 的距離，θ 為某時刻車體坐標系x 軸與大地坐標系X 軸的夾角，L 為車輛履帶接地長，ψ 為履帶上某點P 的剪切速度vj與xO軸的夾角，F(xiàn)j為該點受到的剪切力，vq為履帶牽連速度，vOo為坐標原點Oo的速度。

圖5 車輛轉向過程分析Fig.5 Analysis of racked vehicle turning

2.2 地面剪切位移

通常為了簡化模型復雜度將履帶接地壓力分布看作均勻分布或者長方形分布，這種簡化不需要考慮由接地壓力變化帶來的地面剪切力變化。由前述分析可知，將履帶車輛接地壓力負載分布看作余弦函數(shù)更符合實際情況，但是在這種條件下，由于垂向壓力連續(xù)變化帶來的地面剪切力變化不可被忽視。

土壤剪切力公式為τ=(c +ptan?) (1 -e-j/K)，當忽略土壤內聚力和粘附力而只考慮摩擦時，可以寫為τ=pμ(1 -e-j/K) 。其中:c 為黏聚系數(shù);τ 為剪切應力;? 為土壤摩擦角;j 為土壤剪切位移;K 為土壤抗剪模量;μ 為履帶與地面間的摩擦因數(shù)。Garber 等［22］和Wong 等［23］認為履帶車輛垂向負載的變化會影響到名義剪切位移的大小，并且有以下關系:1) 當接地壓力增加時，名義剪切位移變?yōu)閴毫υ黾雍蠹羟星€上相同剪切力對應的剪切位移。如圖6 所示，當剪切壓力在t1時刻增加到p2時，名義剪切位移由jA變?yōu)閖B;2) 當接地壓力減小時，剪切力等比例減小，名義剪切位移不變。即

圖6 垂向負載-剪切位移變化關系Fig.6 Relationship between vertical load and shear displacement

式中:k 為k 時刻。

履帶車輛受力情況與履帶和地面間的剪切位移直接相關，剪切位移是剪切速度的積分，因此首先需要對剪切速度進行分析。如式(24)～式(27) 所示，

式中:履帶相對于地面的剪切速度在車體坐標系和大地坐標系的分量分別為vjx/y和vjX/Y;r 為主動輪半徑;wi/o表示內側或者外側主動輪轉速，(±) 號外側取(+) 號，內側取(-) 號。

由于忽略了剪切位移計算過程中車速的變化，即認為車輛橫擺角速度保持不變，對于θ 有

為便于讀者理解，這里再次對θ 進行解釋，為了計算在圖5 實線位置履帶坐標系上位置y 處某點與地面的剪切位移，需要對該位置從進入負重輪下壓力區(qū)間開始，到車輛達到實線位置整個時間區(qū)間內與地面的相對速度vj進行求和/積分。因此，θ 為實線位置履帶坐標系上位置y 處履帶開始進入負重輪下壓力區(qū)間的時刻(對應圖5 中虛線位置) 車體坐標系x 軸與大地坐標系X 軸的夾角。

本文相比之前的研究，最大不同是將履帶接地壓力分布看作多峰值的形式。履帶剪切位移的計算從履帶開始承受垂向載荷到垂向載荷消失為止。將履帶接地壓力看作均勻分布帶來的問題是顯而易見的，即履帶越靠后位置的點剪切位移越大，受力越大，導致轉向中心比實際情況后移。實際上在這個過程中垂向載荷已經(jīng)加載、卸載多次。

如圖7 所示，將單個負重輪下接地壓力不為0 Pa的履帶接地長度分成N 個微元，假設履帶車輛做穩(wěn)態(tài)轉向運動，履帶通過轉過單一微元長度的時間為Δt，有

圖7 履帶微元劃分Fig.7 Infinitesimal analysis of a track

對于N 個微元中任意一個微元ε，從進入接地壓力區(qū)域起，運行到當前位置需要經(jīng)過的時間為εΔt，ε=1，2，…，N，運行到中間任意位置需要的時間為τΔt，τ=1，2，…，ε。例如，vτjxε表示當前履帶第ε 個微元在進入接地壓力區(qū)域τΔt 時刻的橫向滑移速度。

因此，式(21)、式(24)～式(28) 可以改寫為在離散條件下，微元ε 在進入接地區(qū)域后τ 時刻的狀態(tài)

將式(22)、式(23) 改為遞推的形式，計算履帶微元名義剪切位移，

2.3 剪切狀態(tài)下的履帶作用力與運動方程

由于結構的設計，履帶或輪胎橫向與縱向有一定的差異性［24］，為了補償這種差異性，在橫向力的計算中引入系數(shù)ζ，因此有

式中:ψiε為履帶上某點的滑動速度與x 軸的夾角;分別為第i 個負重輪的第ε 個微元的橫向剪切力、縱向剪切力，剪切應力、接地壓強和剪切位移i 代表第i 個負重輪;dA 為微元面積。

對式(39)、式(40) 求和，即可得到履帶受到的地面剪切力的合力

兩側轉向驅動力矩MD，i/o和阻力矩MR，i/o分別為

式中:yiε為第i 個負重輪的第ε 個微元在車輛坐標系下的坐標。

分別在車體坐標系的x 軸和y 軸方向建立力平衡關系，以及對車輛重心建立力矩平衡關系，可以得到履帶車輛固定半徑轉向方程:

式中:m 為車體質量;g 為重力加速度;J 為轉動慣量;γ 和β 分別為橫向和縱向坡度;Rf，l和Rf，r分別為左右兩側履帶滾動阻力。

2.4 履帶車輛動力學簡化模型

第1.1 節(jié)～2.3 節(jié)對履帶車輛轉向過程進行了詳細分析，但是其模型為應用了遞推與求和的超越方程，難以直接應用于履帶車輛的控制。為了提出控制算法適用的履帶車輛動力學模型，需要對前述模型進行簡化。對于硬質土路面，雖然履帶使得接地壓力趨于分散，但是壓力仍主要集中分布在負重輪下方有限的范圍內，與輪式車有很大的相似之處。

如圖8 所示，虛線部分為負重輪的俯視圖，實線部分為假設的履帶接地壓力范圍，接地壓力范圍內各點的平均速度為vO，其在x 軸和y 軸的分量分別為vx和vy。履帶-地面平均剪切速度為

圖8 單個負重輪下履帶接地狀態(tài)分析Fig.8 Track-groundcontactanalysis for a single road wheel

履帶-地面平均剪切位移為

借鑒輪式車輛動力學模型中輪胎側偏角的概念，令履帶車輛每個負重輪下履帶的側偏角α(與輪式車輪胎側偏角概念略有差別) 和滑移率λ 為

因此剪切位移j 可表示為

根據(jù)土壤剪切力公式可以得到單個負重輪下的履帶-地面作用力為

由此可以得到硬質路面上履帶車輛整車模型。硬質路面上履帶接地壓力主要集中在負重輪下方，為了簡化模型，可以將履帶車輛看作具有與負重輪數(shù)目相同輪子的差速轉向的輪式車輛，且簡化模型的單側輪子具有相同的轉速和滑移率。假設重心在車輛形心，可得

式中:yi，i/o為內側/外側第i 個負重輪輪心到車輛重心的縱向距離。輪式車軌跡控制中常常忽略縱向動力學，以降低模型復雜度，保證算法的實時性。同樣方法也可以用在履帶車輛中，當忽略縱向動力學并將該模型簡化為單軌模型時，以轉向驅動力矩為控制量，該模型將得到大幅度簡化。

3 結果分析與驗證

如圖9 所示，為了驗證本文提出的履帶車輛轉向模型的準確性，利用無人駕駛混合動力雙側電驅動履帶車在不同類型的路面上進行實車驗證。試驗車輛采用雙側獨立電機驅動，實時反饋車輛兩側主動輪轉速與轉矩;裝備有GPS 定位系統(tǒng)和高精度慣性導航系統(tǒng)，實時采集車輛軌跡與位姿信息。試驗數(shù)據(jù)分多次采集自2018 年至2021 年，期間車輛設備安裝位置略有變動，且由于試驗條件限制，每種場地僅采用一種履帶形式。相關車輛和道路參數(shù)如表1 所示，路面行駛阻力系數(shù)由車輛在平坦路面上以不同車速往返勻速行駛取測試得到。

表1 試驗相關參數(shù)Table 1 Test parameters

試驗路面主要有沙石路面(見圖9(b))、硬質土路面(見圖9(c)) 和水泥路面(見圖9(d)) 三種路面條件，在沙石路面條件下分類采集車輛在3 km/h、10 km/h 和15 km/h 下的穩(wěn)態(tài)轉向數(shù)據(jù)，而在硬質土路面和水泥路面采集的數(shù)據(jù)則主要在2.5～10.5 km/h和3～8 km/h 范圍內。試驗中車輛在沙石路面和硬質土路面上行駛時使用掛膠履帶，在水泥路面上行駛時使用了鋼制履帶。

圖9 試驗采集Fig.9 Test conditions

土壤剛度越大，負重輪半徑越小，土壤接地壓力分布越集中。不同的壓力分布類型會影響到車輛地面模型的驗證，以及車輛的動力特性。為了對履帶車輛接地壓力進行定性測量，將壓力傳感器埋在地表下約5 cm 處，車輛勻速駛過，實時采集壓力傳感器反饋數(shù)值，并根據(jù)反饋車速計算壓力峰之間的距離，圖9(b) 所示沙石路面試驗采集結果如圖10 所示，其中ω 為主動輪轉速。從圖10 中可以看出，履帶接地壓力以多峰的分布形式集中分布在負重輪下方。

圖10 履帶接地壓力定性測試結果Fig.10 Qualitative test results of track-ground pressure

圖11～圖15 分別為不同路面、不同車速條件下的模型動力學和運動學關鍵參數(shù)計算結果和驗證結果的對比。試驗數(shù)據(jù)中的轉向半徑由車輛軌跡GPS 數(shù)據(jù)擬合而來，滑轉滑移率由兩側主動輪轉速估計而來。由圖11～圖15 可以看出，隨著車速的增加，相同半徑情況下內側轉向阻力矩會減小，這主要是由離心力帶來的兩側履帶載荷轉移導致的，在試驗數(shù)據(jù)中也得到了很好的驗證。但是，外側主動輪施加的驅動力矩并沒有顯著增加，這是因為隨著車速的增加相同轉向半徑的轉向阻力矩減小了，這主要是由轉向中心的前移導致的。對于滑轉滑移率，在較大轉向半徑時滑轉率大于滑移率，而隨著轉向半徑的減小，滑移率超過滑轉率，這主要是由于內側輪速減小、除數(shù)減小導致的。不同車速下滑轉滑移率的變化并不明顯，但是試驗數(shù)據(jù)也有較好的擬合效果。通過圖11～圖13 與圖14～圖15 的對比可以看出，不同路面的轉矩曲線在趨勢形態(tài)上有較大的區(qū)別，區(qū)別主要體現(xiàn)在曲率的變化上，但是滑轉滑移率曲線形態(tài)的變化較小。通過圖11～圖15 可以看出，在不同車速、不同路面條件下該模型都有較好的驗證效果。

圖11 砂石路面3 km/h 計算結果與試驗采集結果對比Fig.11 Comparison of calculation and test results on sand-gravel road at 3 km/h

圖12 砂石路面10 km/h 計算結果與試驗采集結果對比Fig.12 Comparison of calculation and test results on sand-gravel road at 10 km/h

圖13 砂石路面15 km/h 計算結果與試驗采集結果對比Fig.13 Comparison of calculation and test results on sand-gravel road at 15 km/h

圖14 硬質土路2.5～10.5 km/h 計算結果與試驗采集結果對比Fig.14 Comparison of calculation and test results on hard dirt road at 2.5～10.5 km/h

圖15 水泥路面3～8 km/h 計算結果與試驗采集結果對比Fig.15 Comparison of calculation and test results on cement road at 3～8 km/h

簡化模型驗證結果如圖16～圖18 所示。需要注意的是，在車輛轉向過程中，車輛幾何中心側向速度vx(與轉向中心偏移量S0呈比例) 相對縱向速度是個小值，且安裝于簧上部分的慣性導航系統(tǒng)無法在震動顛簸條件下精確測量到簧下部分的側向速度。為了能夠驗證履帶車輛動力學簡化模型的準確性，采用1.1 節(jié)～2.3 節(jié)已驗證過的分析模型輸出的轉向中心偏移量和滑轉滑移率作為簡化模型的輸入，并與實際采集數(shù)據(jù)結果進行對比。由圖16～圖18 可以看出，簡化模型具有與分析模型相近的精度。側向力估計在小半徑時預測精度略有下降，與土壤為非完全摩擦性土壤有關，即描述摩擦性土壤的地面剪切應力-剪切位移公式τ=pμ(1 -e-j/K) 無法描述非完全摩擦性土壤在剪切位移達到一定程度后，剪切應力下降的現(xiàn)象。但是對于車輛軌跡控制而言，適當?shù)慕Ｕ`差是可以接受的。另外一個需要特別注意的是在3 km/h時，側向力估計曲線出現(xiàn)了波動，經(jīng)檢查數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)在極低車速時側向速度vy很小，在模型求解過程中，由于求解精度問題導致求解出的側向速度出現(xiàn)波動導致的。

圖16 簡化轉向動力學模型砂石路面15 km/h 計算結果與試驗采集結果對比Fig.16 Comparison of calculation and test results on sand-gravel road at 15 km/h using the simplified model

圖17 簡化轉向動力學模型砂石路面10 km/h 計算結果與試驗采集結果對比Fig.17 Comparison of calculation and test results on sand-gravel road at 10 km/h using the simplified model

圖18 簡化轉向動力學模型砂石路面3 km/h 計算結果與試驗采集結果對比Fig.18 Comparison of calculation and test results on sand-gravel road at 3 km/h using the simplified model

圖19 為沙土路面下考慮縱向加速度的模型驗證，圖19(a) 為車輛軌跡擬合的效果，從中可以看出在相同轉向程度(兩側履帶轉速比值) 下，車速增加對車輛轉向半徑的影響不大。圖19(b) 中曲線均為實際采集數(shù)據(jù)，從中可以看出估計結果與真實值之間的誤差較小。

圖19 砂石路面下存在縱向加速度時模型驗證效果Fig.19 Model verification effect during acceleration on sand-gravel road

總之，本節(jié)試驗測試結果與計算結果的對比表明，文中建立的轉向模型是準確可信的。

4 結論

本文的主要研究目標有二。一為提出一個更符合實際情況的履帶車輛轉向分析模型，二為在盡可能保證精度的基礎上簡化模型，使得剪切應力-剪切位移關系理論能夠應用于履帶車輛控制。得出以下主要結論:

1) 本文對硬質路面下的履帶接地壓力的形式與大小進行了分析，根據(jù)分析結果將履帶接地壓力分布模型簡化為余弦形式。這是本文相比之前的研究的最大不同，也是能夠將復雜分析模型簡化的基礎。

2)基于履帶與地面之間的剪切力-剪切位移關系理論，以及Wong 等［23］提出的垂向載荷變化過程中剪切位移變化的公式，提出了硬質路面條件下的履帶車輛轉向分析模型，相比于前人研究更符合路面真實情況。

3) 本文提出了一種全新的履帶車輛動力學簡化模型，該模型引入了輪式車中輪胎側偏角和滑轉率的概念，使得模型得到大規(guī)模簡化。解決了傳統(tǒng)分析模型復雜度過高，無法應用于履帶車輛實際控制問題。

4) 通過無人履帶平臺對上述模型進行了驗證，試驗結果與計算結果的一致性表明本文建立的模型是準確可信的。

5) 本文為無人駕駛履帶車輛軌跡跟蹤控制建模提供了一個全新的思路，即在硬質路面上，垂向壓力主要集中在負重輪下有限的區(qū)域內，可以采用平均值替代的方法避免積分，實現(xiàn)模型的大規(guī)模簡化。