徐向前，楊培靜

（西安石油大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，西安 710065）

0 引言

針對于國內(nèi)焊條存儲計量機構(gòu)的研究短缺，焊條自動計量機構(gòu)同時具備焊條存儲、分類和計數(shù)功能，便于實際加工生產(chǎn)中工人準(zhǔn)確拿取和倉庫管理人員記錄焊條情況。為了減輕焊條計量盤的重量，提高焊條自動計量機構(gòu)整體性能，對焊條計量盤進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。目前結(jié)構(gòu)優(yōu)化主要有形狀優(yōu)化、尺寸優(yōu)化、拓?fù)鋬?yōu)化3個類型［1］，在這3種優(yōu)化設(shè)計中，拓?fù)鋬?yōu)化對于結(jié)構(gòu)的設(shè)計變量更多、材料優(yōu)化效果更加明顯、具有更大的設(shè)計空間和發(fā)展前景，拓?fù)鋬?yōu)化的思想是考慮目標(biāo)函數(shù)約束下計算優(yōu)化設(shè)計區(qū)域的材料分布最優(yōu)解［2］。對于二維殼體和三維實體等連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化主要有均勻化方法、基結(jié)構(gòu)方法、變密度方法、水平集算法、漸變優(yōu)化算法等［3］。焦洪宇、周奇才等［4］基于變密度法的體積約束下，以結(jié)構(gòu)最小柔度為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行周期形拓?fù)鋬?yōu)化達(dá)到了橋式起重機的輕量化；李英磊等［5］基于變密度法建立飛機隔框結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型，在最優(yōu)化準(zhǔn)則方法下引入拉格朗日公式計算拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，總體減重了38.2%。

本文以某焊條自動計量機構(gòu)計量盤為研究對象，從材料和結(jié)構(gòu)等優(yōu)化方面對計量盤進(jìn)行了輕量化設(shè)計。確定尼龍為初始材料，以計量盤整體柔順度為目標(biāo)函數(shù)、減少30%的體積為約束條件，基于變密度法對計量盤進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。最后對優(yōu)化后的模型進(jìn)行了靜力學(xué)和模態(tài)分析，進(jìn)一步印證了優(yōu)化方案的可行性。

1 數(shù)學(xué)模型建立

變密度法［6］是以每個單元的偽密度作為常數(shù)并引入0～1的偽密度取值范圍［7］，建立偽密度和材料特性之間的顯示函數(shù)關(guān)系，其理論公式如下：

式中：E為彈性模量；η為單元密度；E0為實際材料屬性；ν為泊松比。

在實際迭代運算過程中，每個單元的材料物理屬性伴隨單元的密度改變發(fā)生變化，保留單元和去除單元為小于或大于接近1或0的某一特定值。但針對于模型單元中偽密度在［0，1］中間范圍的數(shù)值，需要引入插值來懲罰模型解決原變密度法中僅出現(xiàn)0或1的離散現(xiàn)象。文中使用SIMP插值方法優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化網(wǎng)格依賴問題［8］使中間函數(shù)值向兩邊靠攏從文獻(xiàn)［9］得知p取值為3時可方便計算算法收斂。

以密度為設(shè)計變量，體積為約束條件，結(jié)構(gòu)的總?cè)岫龋▌偠龋槟繕?biāo)函數(shù)，基于SIMP插值的變密度建立拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，其公式如下：

式中：ρ為每個單元密度矢量；C為整體機構(gòu)柔度；F和U分別為結(jié)構(gòu)的外部載荷和位移；K為整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣；Vi和V分別為單元初始體積和優(yōu)化目標(biāo)體積；ρmin為單元密度值下限，ρmin一般取值為接近于0。

2 有限元模型建立與分析

2.1 初始模型建立

利用Solidworks軟件建立焊條自動計量機構(gòu)三維模型，圖1為焊條自動計量機構(gòu)。計量盤通過軸承座和安裝板螺栓連接與箱體固定，其工作流程為：操作管理人員將焊條放進(jìn)箱體內(nèi)，機構(gòu)整體通過控制電機制動帶動軸和計量盤轉(zhuǎn)動達(dá)到焊條存取和計數(shù)目的。為了減輕機構(gòu)整體重量和電機負(fù)載，需要計量盤在達(dá)到輕量化的同時滿足強度和剛度要求。圖2為計量盤軸測圖，具體參數(shù)：長380 mm，外徑180 mm，內(nèi)徑150 mm，圓槽大小8 mm×φ6 mm。

圖1 焊條自動計量機構(gòu)裝配圖

圖2 計量盤軸測圖

焊條自動計量機構(gòu)正常運轉(zhuǎn)時，計量盤主要承受箱體內(nèi)焊條的壓力。如圖3（a）所示，紅色部分為初始放入焊條時計量盤受力區(qū)域，焊條實際施加的壓力為Fy。結(jié)合計量盤中間翼梁為實際主要承載情況，近似將其受力分成工況1、工況2、工況3和工況4，如圖3（b）所示。以工況1為例，當(dāng)計量盤受力區(qū)域變成工況1所示時，通過施加F力等效Fy力的影響。箱體內(nèi)初始可存放7.8 kg的焊條，即Fy＝76 N，與F力夾角α＝45°，經(jīng)三角函數(shù)計算F值大小為108 N。計量盤承受壓力隨著機構(gòu)運轉(zhuǎn)時焊條減少而降低，為方便受力分析同時滿足實際載荷施加要求對計量盤受力區(qū)域簡化成全部施加F大小的均布壓力，各工況的受力方向和區(qū)域為圖3b箭頭所指方向，大小為108 N。

圖3 計量盤受力工況圖

2.2 材料屬性設(shè)定

為了最大程度減輕計量盤重量，計量盤選用尼龍材料。塑性材料在進(jìn)行靜力學(xué)分析前需要輸入其應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)建立數(shù)據(jù)庫，在塑性變形階段尼龍應(yīng)力和應(yīng)變數(shù)據(jù)［10］如表1所示，其物理材料參數(shù)如表2所示。

表1 尼龍應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)

表2 尼龍材料屬性

2.3 模型建立與分析

將計量盤模型導(dǎo)入Abaqus軟件Part模塊實體單元，選用Abaqus自帶的Mesh模塊進(jìn)行計量盤模型網(wǎng)格劃分。模型網(wǎng)格劃分采用整體劃分，網(wǎng)格類型均為六面體網(wǎng)格單元。為了提高網(wǎng)格質(zhì)量和結(jié)果分析精準(zhǔn)度，將模型分割成比較簡單的區(qū)域，同時對模型進(jìn)行簡化：忽略計量盤圓槽、圓角等對分析結(jié)果影響不大的部分。計量盤模型網(wǎng)格類型為C3D8R，單元總數(shù)31 311個，網(wǎng)格節(jié)點數(shù)40 448個，圖4為簡化處理后網(wǎng)格劃分的有限元模型。

圖4 計量盤網(wǎng)格模型

定義模型邊界條件和受載情況，以工況1為例，針對其受力方向和受力區(qū)域，通過Abaqus的Interaction模塊耦合功能對計量盤耦合區(qū)域在－Y方向施加108 N大小的載荷。根據(jù)機構(gòu)中計量盤運動方式對其添加轉(zhuǎn)動約束，同樣采取耦合方式，并在Load模塊的位移／轉(zhuǎn)角條件約束耦合點X、Y、Z方向全部自由度。如圖5所示，圖中綠色區(qū)域為受力區(qū)域，箭頭A所指紅色區(qū)域范圍為邊界條件施加區(qū)域。

圖5 邊界條件示意圖

對計量盤模型進(jìn)行有限元分析，其工況1、工況2、工況3、工況4 Mises應(yīng)力云圖如圖6所示。

圖6 計量盤4種工況應(yīng)力云圖

由材料力學(xué)強度理論可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)中材料應(yīng)力值達(dá)到超過屈服強度或抗拉強度臨界值時，材料就會產(chǎn)生永久變形或者斷裂現(xiàn)象，因此計量盤模型中的最大應(yīng)力值應(yīng)小于材料的許用應(yīng)力［σ］。從圖6的4種工況云圖可以看出最大應(yīng)力都位于計量盤中心轉(zhuǎn)軸處，4種工況最大等效應(yīng)力為0.023 MPa，基于Von mises屈服準(zhǔn)則進(jìn)行尼龍材料［11］的計量盤結(jié)構(gòu)分析，其公式為：

式中：σr為等效應(yīng)力；σ1、σ2、σ3分別為第1、第2、第3應(yīng)力；σs為尼龍材料的屈服強度，取值60 MPa［12］；n為安全應(yīng)力系數(shù)，取值為2。

所以4種工況最大應(yīng)力均滿足結(jié)構(gòu)剛性需求，因此可對計量盤模型進(jìn)行減重優(yōu)化。

其次，全面客觀地介紹正面戰(zhàn)場的積極作用。雖然由于國際國內(nèi)形勢等原因，對正面戰(zhàn)場及國民政府在抗戰(zhàn)中的積極作用在不同時期的強調(diào)有所不同，但中國共產(chǎn)黨總的來說是采取客觀態(tài)度的，黨的領(lǐng)導(dǎo)人歷來都有肯定。這種肯定體現(xiàn)在各種紀(jì)念活動中領(lǐng)導(dǎo)人的公開講話中和活動具體安排上。

3 拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

3.1 優(yōu)化參數(shù)確定

結(jié)合上文計量盤模型4種工況應(yīng)力云圖可知，除去最大應(yīng)力處所在的非優(yōu)化區(qū)域其余應(yīng)力分布都集中在計量盤模型的相同結(jié)構(gòu)區(qū)域，表3為工況1、4某同一位置的網(wǎng)格積分點應(yīng)力值。由表3可知，兩種工況下相同位置網(wǎng)格積分點應(yīng)力值比較接近，相差最大值為0.001 5 MPa。結(jié)合數(shù)據(jù)對比結(jié)果，可將工況1的優(yōu)化結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)替代其他工況來方便模型計算。

表3 工況1、4應(yīng)力值 MPa

考慮到分析模型載荷的施加方式、分布區(qū)域、邊界條件位置以及加工難易程度，需要選定出模型的優(yōu)化區(qū)域和范圍來滿足模型制造和應(yīng)用需求［13］。將模型所有工況受力、邊界位置面和其部分連接區(qū)域限制為非優(yōu)化區(qū)域，模型非優(yōu)化區(qū)域如圖7所示：綠色部分為非優(yōu)化實體區(qū)域，紅色部分為凍結(jié)表面（后視表面相同）。根據(jù)公式（2）的數(shù)學(xué)模型，以計量盤整體柔順度為拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)，在本研究中目標(biāo)函數(shù)目的是使整體位移最小，而位移的一個整體度量是模型的應(yīng)變能，從而目標(biāo)函數(shù)最終設(shè)定為應(yīng)變能最小。約束條件為減少優(yōu)化區(qū)域初始體積的30%，設(shè)計變量為單位密度。設(shè)置優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)變化率小于0.01%時迭代收斂，迭代次數(shù)30次。

圖7 計量盤模型非優(yōu)化區(qū)域

3.2 拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

完成優(yōu)化各項參數(shù)設(shè)定后開始迭代優(yōu)化。優(yōu)化過程中目標(biāo)函數(shù)和體積變化如圖8和9所示，當(dāng)?shù)螖?shù)等于9時目標(biāo)函數(shù)收斂柔度變化趨于穩(wěn)定，同樣迭代到第9次時體積約束函數(shù)收斂，總體積減小為初始體積的70%。如圖10所示，計量盤輕量化設(shè)計效果明顯，與工況1云應(yīng)力圖比較，最大Von mises應(yīng)力值增加至0.157 MPa，仍滿足材料安全系數(shù)要求。拓?fù)鋬?yōu)化得到的模型可能不滿足實際工程情況的加工制造要求，初始拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果仍然需要人工處理［14］，如消除孔洞、形狀不規(guī)則和復(fù)雜邊緣并進(jìn)行人為重構(gòu)以提高其最終設(shè)計制造能力，修改后最終的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖11所示。

圖8 柔度變化圖

圖9 體積變化圖

圖10 計量盤拓?fù)鋬?yōu)化圖

圖11 計量盤優(yōu)化模型

3.3 計量盤動態(tài)特性分析

模態(tài)分析是研究結(jié)構(gòu)動力特性的有效方法，通過模態(tài)分析，可以得到一定頻率區(qū)域內(nèi)各階模態(tài)的動態(tài)特征。利用Lanczos迭代法將計量盤模型轉(zhuǎn)換為有限元模型，對于離散無阻尼結(jié)構(gòu)［15］的振動激勵線性運動函數(shù)，在本例中計量盤模型可以表示為：

式中：M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣（對稱矩陣）；K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣（正定矩陣）；x為節(jié)點矢量位移；x··為節(jié)點加速度矢量。

由函數(shù)方程（4）可以得到一個關(guān)于n階廣義特征值的函數(shù)關(guān)系式，其式如下：

式中：ω為振動頻率（λ＝ω2）；φ為相關(guān)特征向量。

首先進(jìn)行向量逆迭代，給定一個初始向量q1，q1的2范數(shù)等于1。

對向量正交化：

由計算可知αi、βi為三對角矩陣Tn的對角元，對正交化系數(shù)αi、βi計算：

由上述公式完成迭代形成m個正交向量qi，由此可得到三對角矩陣Tm：

求解三對角矩陣Tm特征解：

求解式（5）的向量解：

利用有限元分析軟件結(jié)合Lanczos迭代法計算計量盤模型優(yōu)化前后的前8階固有頻率，如表4所示。由表可知，優(yōu)化后的計量盤模型前8階固有頻率均有所降低，但其低階頻率遠(yuǎn)大于外界激勵頻率20 Hz，避免了共振現(xiàn)象滿足模態(tài)頻率要求。通過表5比較，計量盤的重量比原結(jié)構(gòu)降低48.4%，相同靜載荷條件下，優(yōu)化后模型最大Von mises應(yīng)力值增大至0.156 9 MPa，最大位移增加至3.54×10－3mm，滿足剛度要求。

表4 優(yōu)化前后模型前8階固有頻率

表5 計量盤優(yōu)化前后比較

4 結(jié)束語

本文以焊條自動計量機構(gòu)為研究對象，為達(dá)到減輕焊條箱體重量、降低電機負(fù)載的效果，對計量盤進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化的同時保證機構(gòu)性能，主要完成了兩項研究，結(jié)論如下：

（1）本文在確定焊條計量盤模型在各工況下滿足剛度要求的條件下，以計量盤整體柔順度為目標(biāo)函數(shù)、減少30%的體積為約束條件，基于變密度法的拓?fù)鋬?yōu)化理論對計量盤模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果表明：計量盤模型重量比原結(jié)構(gòu)減少48.4%，在不影響結(jié)構(gòu)性能和完整性的情況下優(yōu)化了材料整體分布，輕量化效果比較明顯。

（2）對人工處理后的優(yōu)化模型進(jìn)行模態(tài)分析，計量盤模型優(yōu)化后前8階固有頻率均有所降低，外部激勵不能產(chǎn)生共振，優(yōu)化模型滿足動態(tài)特性要求。