范哲愷，黃 剛，萬雨龍，趙凱輝

（湖南工業(yè)大學(xué)軌道交通學(xué)院，湖南株洲 412000）

0 引言

磁懸浮軸承（Active Magnetic Bearing，AMB）是種通過磁場使例如轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)組件與軸承靜置部位保持相對穩(wěn)定距離的裝置，距離內(nèi)無機(jī)械接觸，使得轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)時(shí)與靜置部位無機(jī)械摩擦[1]，這種新型的非接觸式軸承能利用電磁力改變傳統(tǒng)軸承機(jī)械摩擦大的缺點(diǎn)，得以使軸承發(fā)展步入到更高速度、更少磨損的新臺階。

目前磁懸浮軸承在各個(gè)領(lǐng)域都有應(yīng)用。例如磁懸浮飛輪儲能[2]、電力系統(tǒng)[3-5]、磁懸浮多電航空發(fā)動(dòng)機(jī)[6-7]領(lǐng)域中。在這些應(yīng)用領(lǐng)域中，磁懸浮軸承絕大多數(shù)運(yùn)行在超高轉(zhuǎn)速的狀態(tài)下，若轉(zhuǎn)子受擾動(dòng)作用偏離預(yù)定位置過多，轉(zhuǎn)子與定子發(fā)生機(jī)械摩擦，會造成嚴(yán)重機(jī)械損壞甚至導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰，為解決上述問題，需要設(shè)計(jì)一個(gè)控制器控制轉(zhuǎn)子平衡，并能實(shí)時(shí)對外部未知擾動(dòng)進(jìn)行觀測，從而削弱擾動(dòng)給系統(tǒng)帶來的影響。很多傳統(tǒng)方法均是被動(dòng)控制[6-7]。數(shù)字控制則有模糊控制[8]、滑?？刂芠9]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[10]等對磁懸浮轉(zhuǎn)子控制。如Tang Liang等[11]對平衡量未知的轉(zhuǎn)子，通過動(dòng)、靜不平衡量的辨識與補(bǔ)償控制設(shè)計(jì)了自適應(yīng)對中控制器來消除顫動(dòng)。Se Young Yoon和SL Chen等[12-14]將不平衡補(bǔ)償技術(shù)擴(kuò)展到控制回路中達(dá)到振動(dòng)控制。

以上方法對于自身顫動(dòng)有較好的抑制能力，但對于外部擾動(dòng)的及時(shí)補(bǔ)償能力稍有不足，因此對于外界不確定干擾，需要設(shè)計(jì)觀測器對系統(tǒng)內(nèi)部及未知干擾進(jìn)行實(shí)時(shí)觀測，并能夠?qū)Υ泡S承系統(tǒng)及時(shí)進(jìn)行抗干擾控制。相對于傳統(tǒng)的龍伯格觀測器?；Ｓ^測器（Sliding-Mode Observer，SMO）不僅將系統(tǒng)觀測器觀測誤差線性方式反饋,而且還能夠根據(jù)觀測誤差進(jìn)行快速調(diào)整，從而實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)變量以及外部擾動(dòng)及時(shí)快速并準(zhǔn)確地估計(jì)[15]。

等價(jià)輸入干擾通過觀測器推測出一個(gè)等價(jià)輸入干擾，前饋到控制器輸入端，對擾動(dòng)進(jìn)行及時(shí)補(bǔ)償，不需要掌握外部未知干擾的信息，目前該方法在各方面都有成功運(yùn)用，如DC-DC變換器[16]、建筑抗震[17]、液壓系統(tǒng)[18]、永磁同步電機(jī)[19]等。本文在滑模觀測器上引入等價(jià)輸入干擾補(bǔ)償?shù)脑O(shè)計(jì)思想設(shè)計(jì)伺服控制器[20-21]，以消除擾動(dòng)對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響[22]，實(shí)現(xiàn)對給定轉(zhuǎn)子位置的高精度控制并使系統(tǒng)擁有高抗擾性能。

1 數(shù)學(xué)模型

磁懸浮軸承利用電磁力使轉(zhuǎn)子處于無接觸懸浮狀態(tài)，定子與懸浮轉(zhuǎn)子之間沒有機(jī)械接觸，無摩擦。其通過位置傳感器監(jiān)測轉(zhuǎn)子的位置偏移量，將其轉(zhuǎn)換成電信號反饋到控制器，控制器控制電磁鐵使轉(zhuǎn)子的重心固定在運(yùn)轉(zhuǎn)的預(yù)定軌道上，使整個(gè)系統(tǒng)工作在安全狀態(tài)，其原理如圖1所示。

圖1 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子位移控制系統(tǒng)

其控制對象單自由度AMB中電磁鐵部分的線圈環(huán)繞匝數(shù)為N，S為有效磁極，初始時(shí)刻電磁線圈電流為i0，并作如下假設(shè)。

（1）由于對轉(zhuǎn)子的控制在豎直方向，為方便計(jì)算忽略磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子的體積，可以將懸浮的轉(zhuǎn)子簡化一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。

（2）不考慮繞組漏磁通、磁滯等對系統(tǒng)的影響，且忽略定子與轉(zhuǎn)子之間產(chǎn)生的磁阻。

電磁力的推導(dǎo)式如下：

將式（1）在平衡點(diǎn)處進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，忽略高階小量，便得到電磁力與控制勵(lì)磁電流和與轉(zhuǎn)子距傳感器位移x的關(guān)系式，則有：

式中：Kx為力與轉(zhuǎn)子偏移量之間的剛度系數(shù)；Ki為力與控制電流的剛度系數(shù)[23]。

結(jié)合電磁力公式其大小計(jì)算式如下：

考慮外部未知擾動(dòng)d（t）對轉(zhuǎn)子的影響，主動(dòng)磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子的力學(xué)表達(dá)方程式為：

式中：

此外，給定位置參考信號表示為yc(t)，將位置跟蹤誤差定義為e(t)=y(t)-yc(t)。對于系統(tǒng)所設(shè)計(jì)的觀測器以及控制器，使觀測誤差在系統(tǒng)內(nèi)部不確性變化和外部未知干擾影響的情況下需要快速穩(wěn)定收斂到零，即當(dāng)t→∞時(shí)，有e(t)→0。因?yàn)镵 i/m≠0，易知該系統(tǒng)是可控可觀測的。

2 EID滑模觀測器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

針對懸浮轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性抗干擾控制提出了一種基于等價(jià)輸入干擾估計(jì)器與滑模觀測器結(jié)合的PID控制方法，其內(nèi)部控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，由滑模觀測器將系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的不確定參數(shù)變化和外部干擾轉(zhuǎn)化為電信號，施加在控制器輸出端，然后采用等價(jià)輸入干擾滑模觀測器對系統(tǒng)狀態(tài)變量及外部干擾的進(jìn)行等價(jià)輸入干擾估計(jì)，并將估計(jì)值信號前饋到輸入端后得到最終疊加后的控制方法。

圖2 基于EID和SMO的單自由度磁懸浮軸承控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

2.1 等價(jià)輸入干擾滑模觀測器的設(shè)計(jì)

只需要通過干擾估計(jì)器估計(jì)出等價(jià)干擾，并把其負(fù)反饋在輸入通道上從而抵消真實(shí)干擾對系統(tǒng)的作用[20]：

由于引入了外部干擾的等價(jià)輸入干擾信號，EID系統(tǒng)的狀態(tài)較于原系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生了改變，對于EID系統(tǒng)，其狀態(tài)方程如式（5）所示。對于此，再設(shè)計(jì)滑模觀測器對EID系統(tǒng)其狀態(tài)變量及干擾予以觀測并等價(jià)估計(jì)。選擇系統(tǒng)實(shí)際輸出量和觀測器輸出量之間的觀測誤差的雙曲正切函數(shù)作為滑模觀測器的控制律。相比于符號函數(shù)更有效抑制滑模觀測器在滑模面附近產(chǎn)生的抖動(dòng)，同時(shí)還能夠輸出穩(wěn)定準(zhǔn)確的觀測器輸入。對于以上引入EID的新系統(tǒng)設(shè)計(jì)滑模觀測器：

狀態(tài)觀測器設(shè)定觀測誤差為：

切換函數(shù)和滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)為：

將ex（t）代入到式（6）中得到：

設(shè)存在一個(gè)變量Δd（t）滿足

所以設(shè)等價(jià)輸入干擾估計(jì)器對d e(t)的估計(jì)值(t)為：

所以：

為避免高頻噪聲對估計(jì)器的影響，添加一個(gè)低通濾波器F（s），其狀態(tài)空間表達(dá)式為：

可得狀態(tài)觀測誤差動(dòng)態(tài)為:

即

選取李雅普諾夫函數(shù)為V=eTx Pe x作為所設(shè)計(jì)部分穩(wěn)定性的判斷方法，其中P矩陣正定并且對稱。然后對V（t）求導(dǎo)可得：

對于P>0，存在>0滿足下列非線性方程：

由于使用的滑?？刂坡蓆anh(Ce x(t))∈(-1,1)，于是利用楊氏不等式對不等式進(jìn)行變換：

并且λ>0，所以V≤0條件有：

證明了所提出的觀測方法能夠保證系統(tǒng)全局一致并且最終有界的。

2.2 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

一個(gè)控制系統(tǒng)中如果A滿足Hurwitz穩(wěn)定，那么其閉環(huán)系統(tǒng)將是是全局一致并且最終有界。那么有A11與A22是Hurwitz穩(wěn)定的。

即

設(shè)：

令：

將閉環(huán)系統(tǒng)寫成：

因?yàn)閠anh(Ce)∈(-1，1)，假設(shè)de有界，則Λ有界。適當(dāng)選取觀測器增益L和低通濾波器F（s），可確保A11和A22是Hurwitz穩(wěn)定的。因此對于包含未知擾動(dòng)量系統(tǒng)是最終全局一致有界的。

3 仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 主動(dòng)磁懸浮軸承參數(shù)

采用MATLAB/Simulink對單自由度主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)和所提控制方法進(jìn)行數(shù)值仿真和驗(yàn)證，其中本次設(shè)計(jì)的控制器控制對象單自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)各參數(shù)如表1所示。

表1 磁懸浮軸承各項(xiàng)參數(shù)

最后，仿真結(jié)果將采用時(shí)間乘絕對誤差積分準(zhǔn)則（ITAE）和均方根誤差（RMSE）兩項(xiàng)指標(biāo)來定量分析[24]，仿真和實(shí)驗(yàn)采樣周期均為0.01 s。

PID+EIDSMO方法參數(shù)如下：

觀測器增益L=[45 000 000 100 000]T，滑模增益Ks=50 000，取擾動(dòng)的最高頻率ωr=0.5π。

3.2 觀測器設(shè)計(jì)仿真結(jié)果

控制跟蹤和抗干擾性能對比仿真結(jié)果分別如圖3~7所示，方波控制信號可以看出PID+EIDSMO在不犧牲控制性能前提下，具有更快的擾動(dòng)后收斂能力，在白噪聲擾動(dòng)中，抗擾性能更加顯著，且如表2、表3所示ITAE和RMSE兩項(xiàng)性能指標(biāo)也有所提升。

表2 兩種控制方案下方波與正弦波跟蹤性能

表3 白噪聲與鋸齒波抗擾性能

圖3 方波控制信號擾動(dòng)抑制

相較與PID與普通龍伯格觀測器，圖8所示觀測誤差能在初始狀態(tài)相差0.5 m情況下，能以較快速度收斂至零，且綜上仿真結(jié)果PID+EIDSMO方法具有更好的抵抗外部干擾性能。

圖4 正弦波控制信號下擾動(dòng)抑制對比

圖5 兩種控制器下鋸齒波信號擾動(dòng)抑制

圖6 白噪聲擾動(dòng)抑制對比

圖7 兩種控制器下正弦信號擾動(dòng)抑制

圖8 EID+SMO觀測誤差e x(t)=x-

4 結(jié)束語

本文針對高速旋轉(zhuǎn)的的懸浮轉(zhuǎn)子安全穩(wěn)定性問題，研究了在外部未知擾動(dòng)影響下的磁懸浮軸承系統(tǒng)轉(zhuǎn)子位置偏移的控制問題。為了在不犧牲控制系統(tǒng)的控制魯棒性以及系統(tǒng)響應(yīng)速度的前提下提高整個(gè)系統(tǒng)的抗外部未知干擾能力，提出了一種基于等價(jià)輸入干擾滑模觀測器的比例積分控制方法。

通過等價(jià)輸入干擾滑模觀測器實(shí)時(shí)觀測系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)變化，并將外部干擾觀測出來并前饋到輸入端，實(shí)現(xiàn)了主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)在擾動(dòng)影響下的位置跟蹤控制并抵消干擾的大部分影響。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的觀測設(shè)計(jì)方法如Luenberger觀測器相比，基于EID估計(jì)器的滑模觀測器具有更小的觀測誤差，收斂速度快。并且相較于PID加傳統(tǒng)龍伯格觀測器控制方法，基于等價(jià)輸入干擾估計(jì)器的滑模觀測器的觀測與控制方法對擾動(dòng)具有更好的抑制效果，系統(tǒng)魯棒性也進(jìn)一步提升。