夏軍勇 劉科進(jìn) 鐘 飛 孫 穎

湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，武漢，430068

0 引言

關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)[1-3]具有質(zhì)量小、使用方便、測(cè)量范圍廣等優(yōu)點(diǎn)[2-4]，它一般由一個(gè)底座、兩個(gè)關(guān)節(jié)臂、三組旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)及相應(yīng)的零部件組成[5]。但是，不同于傳統(tǒng)的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)，由于關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)頭末端的坐標(biāo)與其結(jié)構(gòu)參數(shù)之間存在高非線性[2-3]的關(guān)系，所以其結(jié)構(gòu)參數(shù)的較小變化就會(huì)引起測(cè)頭末端坐標(biāo)較大的變化[6]，坐標(biāo)誤差受結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響極大[4,7]。顯然，由于一系列因素的影響，使用一段時(shí)間后，其實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)和標(biāo)稱結(jié)構(gòu)參數(shù)通常并不相等[6]，從而導(dǎo)致測(cè)頭末端的實(shí)際坐標(biāo)并不等于用標(biāo)稱結(jié)構(gòu)參數(shù)計(jì)算出來(lái)的坐標(biāo)。因此，當(dāng)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)使用一段時(shí)間后，找到實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)并將其重新植入控制設(shè)備中，從而準(zhǔn)確地獲得測(cè)頭末端的實(shí)際坐標(biāo)是迫切需要解決的問(wèn)題。目前主要有兩種方法來(lái)減小關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)頭末端的坐標(biāo)誤差并提高定位精度和降低運(yùn)動(dòng)不確定度[8-10]：①使用更高精度的零部件；②用合適的方法來(lái)辨識(shí)結(jié)構(gòu)參數(shù)從而對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償。但由于高精度零部件的制造成本很高，故使用高精度的零部件會(huì)大大增加制造成本，不利于它的推廣和廣泛應(yīng)用。

基于以上分析，僅使用一個(gè)或幾個(gè)更高精度的零部件，既不經(jīng)濟(jì)，也很難大幅度減小關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)頭末端的坐標(biāo)誤差[10-11]，因此，很有必要用合適的方法來(lái)辨識(shí)其結(jié)構(gòu)參數(shù)。目前，主要的辨識(shí)方法是使用簡(jiǎn)單的輔助工具結(jié)合合適的優(yōu)化算法來(lái)進(jìn)行。例如，F(xiàn)ANG 等[12]使用基于量子行為的粒子群算法來(lái)辨識(shí)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)；SANTOLARIA 等[13]用激光跟蹤儀建立多點(diǎn)定位系統(tǒng)并從激光跟蹤儀中獲取數(shù)據(jù)，從而辨識(shí)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)；劉志等[14]將幾何搜索和結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)相結(jié)合，建立了兩邊辨識(shí)法；HAMANA 等[15]以球狀中心坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)作為測(cè)量工具來(lái)辨識(shí)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)；KOVA等[16]用激光干涉儀和線性量規(guī)建立高精密測(cè)量系統(tǒng)來(lái)辨識(shí)并補(bǔ)償關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)；SANTOLARIA 等[13]在傅里葉多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上，用標(biāo)稱值和單點(diǎn)重復(fù)率誤差模型來(lái)辨識(shí)和補(bǔ)償關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)；王斌[17]建立了復(fù)合球坐標(biāo)系并在此坐標(biāo)系下通過(guò)點(diǎn)圓法和反轉(zhuǎn)法來(lái)辨識(shí)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，并用混合優(yōu)化算法來(lái)辨識(shí)測(cè)頭的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

盡管有很多方法可辨識(shí)和補(bǔ)償關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，但這些方法依賴于使用高精密的元器件，這些元器件極大地增加了設(shè)備的制造成本且受外部環(huán)境影響很大，會(huì)引起很大的測(cè)量不確定性。另外，使用高精密的元器件使得辨識(shí)程序復(fù)雜、不便操作，很大程度上增加了其復(fù)雜性。本文在單點(diǎn)重復(fù)率誤差的基礎(chǔ)上，將改進(jìn)的教學(xué)算法和模擬退火算法進(jìn)行融合，提出一種混合算法來(lái)對(duì)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。首先，將錐型孔固定在基座上并將關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)頭末端伸進(jìn)錐型孔里面使其與錐型孔配合；其次，搖動(dòng)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)到不同的位姿和構(gòu)型以得到多組不同的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角組合；再次，將得到的數(shù)據(jù)分別與教學(xué)算法、模擬退火算法和改進(jìn)的教學(xué)-模擬退火算法結(jié)合來(lái)對(duì)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)以得到相應(yīng)不同的辨識(shí)結(jié)果；然后，用辨識(shí)前后的關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)再次進(jìn)行單點(diǎn)重復(fù)率誤差實(shí)驗(yàn)，得到相應(yīng)的結(jié)果；最后，對(duì)相應(yīng)的結(jié)果進(jìn)行比較、分析和歸納從而得出結(jié)論。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模及分析

圖1是關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的物理結(jié)構(gòu)圖和坐標(biāo)系圖。

(a)結(jié)構(gòu)圖 (b)坐標(biāo)圖

在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)頭末端的坐標(biāo)可以通過(guò)一系列的矩陣變換得到。運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的目的就是構(gòu)建各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和測(cè)頭末端的坐標(biāo)之間的傳遞函數(shù)。設(shè)i-1Ti表示第i個(gè)坐標(biāo)系到第i-1個(gè)坐標(biāo)系的變換矩陣，根據(jù)MDH模型[18]，第i個(gè)坐標(biāo)系到第i-1個(gè)坐標(biāo)系之間的傳遞函數(shù)為

(1)

其中，θi、di、ai-1、αi-1、l分別是關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角、連桿長(zhǎng)度、關(guān)節(jié)偏距、關(guān)節(jié)扭角和測(cè)頭長(zhǎng)度；s表示sin，c表示cos。給出以上矩陣以后，關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)頭末端在基坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可表示為

(2)

其中，x、y、z分別是測(cè)頭末端在基坐標(biāo)系中x軸、y軸和z軸三個(gè)方向的坐標(biāo)。關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的標(biāo)稱參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的標(biāo)稱參數(shù)

盡管關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)有5組參數(shù)，但是只有關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi是動(dòng)態(tài)變化的，其余4組參數(shù)均為常數(shù)，也被稱作結(jié)構(gòu)參數(shù)。通常，這四組結(jié)構(gòu)參數(shù)在出廠前由供應(yīng)商辨識(shí)好并將其作為標(biāo)稱結(jié)構(gòu)參數(shù)。然而，由于一些因素的影響，當(dāng)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)使用一段時(shí)間之后，其標(biāo)稱參數(shù)發(fā)生了改變，這也會(huì)引起測(cè)頭末端坐標(biāo)的誤差，故很有必要對(duì)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行重新辨識(shí)。

2 相關(guān)分析和目標(biāo)函數(shù)

測(cè)頭末端的坐標(biāo)可以用式(2)計(jì)算。經(jīng)過(guò)高精密儀器測(cè)量N種姿態(tài)下測(cè)頭末端的坐標(biāo)Pk(kx,ky,kz)(k=1,2,…,N)及相應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角kθi(k=1,2,…,N;i=1,2,…,6)，則由式(2)可得

(3)

通過(guò)解這3N組方程，關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)就能被解出并被用作新的標(biāo)稱結(jié)構(gòu)參數(shù)。此方法理論上講是正確且可行的，但實(shí)際上，一方面式(3)是隱式方程，很難甚至幾乎不可能解出其解析解；另一方面，測(cè)頭末端的坐標(biāo)是要通過(guò)高精密的儀器測(cè)量得到的，這就使得操作繁瑣并且很難實(shí)現(xiàn)。因此，本文采用單點(diǎn)重復(fù)率誤差的方法對(duì)其進(jìn)行辨識(shí)。簡(jiǎn)單來(lái)講，就是用關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在N種不同姿態(tài)下測(cè)量同一點(diǎn)的坐標(biāo)得到N組關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，再將這N組關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和相關(guān)算法結(jié)合來(lái)對(duì)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

將關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)頭末端插入錐型孔里面使其與錐型孔配合，然后搖動(dòng)關(guān)節(jié)臂到N種不同姿態(tài)下，就可以得到N組不同的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角kθi。設(shè)任意一組已知的結(jié)構(gòu)參數(shù)為(di,ai-1,αi-1,l)，記為X=(di,ai-1,αi-1,l)，將X及kθi代入式(3)，得到測(cè)頭末端坐標(biāo)的實(shí)際值與標(biāo)稱值的差：

(4)

因在實(shí)際情況中，實(shí)際坐標(biāo)(x,y,z)很難測(cè)量出來(lái)，所以用坐標(biāo)的平均值來(lái)代替其實(shí)際值：

(5)

求出kE后，其平均值為

(6)

因kE的平均值不能反映這些數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，所以引入其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差：

(7)

對(duì)于任意一組給定的結(jié)構(gòu)參數(shù)X=(di,ai-1,αi-1,l),根據(jù)“3σ原則”，其目標(biāo)函數(shù)定義為

(8)

(9)

本文將式(8)定義為目標(biāo)函數(shù)，并結(jié)合優(yōu)化算法來(lái)尋找其最優(yōu)解或可接受的解，將此最優(yōu)解或可接受的解作為關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)。顯然，當(dāng)X越接近X*時(shí),F(X)越小。因此，后續(xù)算法的目的就是找到使F(X)為0或小于給定閾值的X0，此解就是需要找到的解。

3 改進(jìn)的教學(xué)-模擬退火算法

3.1 教學(xué)算法

教學(xué)算法[19-21]是一種模擬教學(xué)行為機(jī)制的仿生群智能優(yōu)化算法，其核心思想是模擬課堂中老師對(duì)學(xué)生的教學(xué)以及學(xué)生之間互相學(xué)習(xí)的行為機(jī)制，其運(yùn)算機(jī)制主要分為兩個(gè)階段：教學(xué)階段和學(xué)習(xí)階段。

(1)教學(xué)階段。在教學(xué)階段，“教師”的位置保持不變，“學(xué)生”逐個(gè)地向“教師”學(xué)習(xí)并通過(guò)下式更新自己的位置：

Difference_Meant=rt(Mnew-TFMt)

(10)

Xnew,i=Xold,i+Difference_Meant

(11)

其中，t指整個(gè)群體進(jìn)化到了第t代；rt是(0,1)之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù)；Mnew是進(jìn)化到當(dāng)前代的“老師”；TF是群體平均值的改變因子；Mt是所有變量的均值，通過(guò)下式來(lái)計(jì)算：

(12)

式中，D為變量的維度。

(2)學(xué)習(xí)階段。在學(xué)習(xí)階段，第i個(gè)個(gè)體通過(guò)下式更新位置：

(13)

式中，fitness(·)是相應(yīng)個(gè)體的適應(yīng)度值；Xold,i、Xnew,i分別為第i個(gè)個(gè)體更新前和更新后的位置；r為(0,1)之間的隨機(jī)數(shù)。

盡管教學(xué)算法沒(méi)有參數(shù)需要設(shè)定，運(yùn)算機(jī)制比較簡(jiǎn)單，但是它的尋優(yōu)速度不快，并且尋優(yōu)精度不高。特別是對(duì)于像本文中這種多變量高維高非線性的問(wèn)題，算法對(duì)其進(jìn)行尋優(yōu)的時(shí)候會(huì)急劇增加算法的運(yùn)算量和運(yùn)算時(shí)間，大幅降低其效率。為避免此弊端，本文對(duì)教學(xué)算法進(jìn)行改進(jìn)從而得到改進(jìn)的教學(xué)算法來(lái)加快其尋優(yōu)速度。

3.2 改進(jìn)的教學(xué)算法

鑒于教學(xué)算法的這種特點(diǎn)，本文對(duì)其“教學(xué)階段”和“學(xué)習(xí)階段”都有所改進(jìn)，以加快其收斂速度。在教學(xué)階段，分別做如下改進(jìn)。

(1)動(dòng)態(tài)更新“教師”角色。即當(dāng)每個(gè) “學(xué)生” 向 “老師” 學(xué)習(xí)完后，就比較該學(xué)習(xí)完的 “學(xué)生” 和當(dāng)前 “老師” 的適應(yīng)度值，選擇兩者中適應(yīng)度值較好的個(gè)體作為新的 “老師”。更新機(jī)制如下：若fitness(Xnew,i)≥fitness(Mnew)，則Mnew=Xnew,i。其中，Xnew,i是第i個(gè)個(gè)體更新后的位置，Mnew是當(dāng)前代的 “老師”。

(2)改變教學(xué)更新公式。在 “教學(xué)階段” ，“學(xué)生” 向 “老師” 學(xué)習(xí)的公式為

Xnew,i=Xold,i+Difference_Meani+cr(gbesti-Xold,i)

(14)

式中，c為(0,1)之間的隨機(jī)數(shù)；gbest為歷史最優(yōu)個(gè)體。

在學(xué)習(xí)階段，做如下改進(jìn)：“學(xué)生”之間通過(guò)互相學(xué)習(xí)，第i個(gè)個(gè)體的位置更新公式為

(15)

式中，r1、r2為學(xué)習(xí)因子，本文均取2。

3.3 改進(jìn)的教學(xué)-模擬退火算法

雖然改進(jìn)的教學(xué)算法具有較快的收斂速度，但是在增加收斂速度的同時(shí)會(huì)降低收斂精度，使算法陷入局部最優(yōu)區(qū)域。模擬退火算法[22]是一種對(duì)固體的退火過(guò)程進(jìn)行模擬的仿生智能優(yōu)化算法，由于它采用Metropolis接受準(zhǔn)則，所以當(dāng)群體陷入局部最優(yōu)區(qū)域以后，它能通過(guò)Metropolis接受準(zhǔn)則的特殊機(jī)制將陷入局部最優(yōu)區(qū)域的群體“拽出來(lái)”，從而讓群體在更廣闊的新區(qū)域重新尋優(yōu)，進(jìn)而達(dá)到找出全局最優(yōu)個(gè)體的目的?；谀M退火算法的這種特殊的尋優(yōu)機(jī)制，本文就利用這種特殊機(jī)制來(lái)擴(kuò)充在改進(jìn)的教學(xué)算法階段陷入局部最優(yōu)區(qū)域的解；利用此特性將這個(gè)不能接受的最優(yōu)解“拽出來(lái)”，接著到更廣闊的空間來(lái)繼續(xù)尋優(yōu)，從而以更大的概率來(lái)找到問(wèn)題的全局最優(yōu)解。兩種算法的轉(zhuǎn)換靠收斂精度轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則來(lái)連接。

在本文各算法中(教學(xué)算法、改進(jìn)的教學(xué)算法、模擬退火算法和改進(jìn)的教學(xué)-模擬退火算法)，個(gè)體的適應(yīng)能力由其適應(yīng)度值來(lái)度量，即具有較大適應(yīng)度值的個(gè)體有更大的幾率來(lái)執(zhí)行后續(xù)操作并產(chǎn)生下一代。就目標(biāo)函數(shù)而言，使目標(biāo)函數(shù)值越小的個(gè)體越優(yōu)良，所以適應(yīng)度函數(shù)定義成以下形式:

(16)

式中，rlim是一個(gè)極小的正數(shù)，以保證分母不為0。

改進(jìn)的教學(xué)-模擬退火算法的基本原理如下。

(1)轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則的設(shè)計(jì)。設(shè)t、Xbest(t)和fitness(Xbest(t))分別是當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)、到目前為止的最優(yōu)個(gè)體和最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度值，那么轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則設(shè)計(jì)為下式的關(guān)系：

(17)

其中，K是一個(gè)正整數(shù)，ε和δ是轉(zhuǎn)換閾值，并且，K、ε和δ都是提前給定的常數(shù)。以上條件說(shuō)明，如果在改進(jìn)的教學(xué)算法階段得到的最優(yōu)解Xbest(t)滿足式(17)，則改進(jìn)的教學(xué)算法終止，算法進(jìn)入模擬退火階段，在模擬退火階段進(jìn)一步擾動(dòng)在改進(jìn)的教學(xué)算法階段得到的最優(yōu)解 。這兩種算法通過(guò)這種機(jī)制連接起來(lái)以后得到的新算法在本文中稱為改進(jìn)的教學(xué)-模擬退火算法。

(2)終止條件的設(shè)定。對(duì)于某個(gè)智能優(yōu)化算法，如果到目前為止所找到的最優(yōu)解Xbest(t)不是設(shè)備的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)(或不能作為可接受的解)，或者混合智能優(yōu)化算法進(jìn)化了很多代以后隨著迭代次數(shù)的增加其最優(yōu)解基本不再變化，那么可以認(rèn)為此算法尋優(yōu)失敗，應(yīng)當(dāng)終止此算法的運(yùn)算，從而避免不必要的冗余計(jì)算，減少運(yùn)算量和時(shí)間。在本文中，終止條件設(shè)定為

F(Xbest(t))≤η

(18)

或

fitness(Xbest(t))≥τ

(19)

或

t≥G

(20)

其中，G是最大迭代次數(shù)；η和τ都是結(jié)束算法運(yùn)算的閾值。本文中，相關(guān)參數(shù)設(shè)定如下：種群數(shù)量M=100；G=40000；K=30；ε=0.1；δ=0.2；T0=104；Markov鏈的鏈長(zhǎng)J=30；終止溫度Te=10-3；溫度衰減函數(shù)μ=0.9。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及討論

4.1 實(shí)驗(yàn)

當(dāng)獲取一系列關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角以后，將其分別與教學(xué)算法、模擬退火算法和改進(jìn)的教學(xué)-模擬退火算法相結(jié)合而進(jìn)行尋優(yōu)操作來(lái)優(yōu)化關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。用教學(xué)算法、模擬退火算法和改進(jìn)的教學(xué)-模擬退火算法辨識(shí)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)的流程框圖分別見(jiàn)圖2～圖4。

圖2 用教學(xué)算法辨識(shí)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)流程圖

圖3 用模擬退火算法辨識(shí)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)流程圖

圖4 用改進(jìn)的教學(xué)-模擬退火算法辨識(shí)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)流程圖

如果某個(gè)最優(yōu)解Xbest(t)滿足式(18)或式(19)，就認(rèn)為算法尋優(yōu)成功，即認(rèn)為此時(shí)算法找到了關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)的實(shí)際值，并且將此個(gè)體Xbest(t)記為Xopt。需要注意的是，由于一些誤差原因，由算法和測(cè)得的基本數(shù)據(jù)所導(dǎo)出的全局最優(yōu)個(gè)體Xopt一般不等于但無(wú)限接近實(shí)際值。

由于在算法執(zhí)行的過(guò)程中，相關(guān)變量會(huì)經(jīng)過(guò)一系列的運(yùn)算操作，這可能會(huì)導(dǎo)致其越過(guò)對(duì)應(yīng)的邊界值。本文中，由于長(zhǎng)度結(jié)構(gòu)參數(shù)是非負(fù)數(shù)并且ai-1(i=1,2,5,6)、d6和αi-1(i=1,3,4)為0，所以ai-1(i=1,2,5,6)和d6的搜索變化范圍設(shè)定為(0,10)；ai-1(i=3,4)和di(i=1,2,…,6)設(shè)定為(0，±10)；αi-1(i=1,2,…,6)設(shè)定為(0，±10°)；l設(shè)定為(0，10)。當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的某個(gè)變量y越過(guò)其對(duì)應(yīng)的邊界值時(shí)，則由隨機(jī)函數(shù)發(fā)生器rand生成新變量，具體生成機(jī)制如下：

若y越過(guò)相應(yīng)的邊界，則

y=(ulim-llim).*rand+y

式中，ulim、llim分別為相應(yīng)變量的上界和下界。

為便于比較，繪制了最優(yōu)個(gè)體Xbest(t)的適應(yīng)度F(Xbest(t))的進(jìn)化曲線。用教學(xué)算法、模擬退火算法和改進(jìn)的教學(xué)-模擬退火算法辨識(shí)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)時(shí)，將最優(yōu)個(gè)體Xbest(t)的適應(yīng)度F(Xbest(t))的進(jìn)化曲線都畫(huà)在一個(gè)坐標(biāo)系中，其進(jìn)化曲線如圖5所示。用三種算法辨識(shí)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)后所得的關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別見(jiàn)表2～表4。

表4 用改進(jìn)的教學(xué)-模擬退火算法辨識(shí)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)后得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖5 用不同的算法辨識(shí)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)目標(biāo)函數(shù)的進(jìn)化曲線

表2 用教學(xué)算法辨識(shí)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)后得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)

用三種算法分別尋優(yōu)得到關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)優(yōu)化的結(jié)構(gòu)參數(shù)以后，將三組優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別植入關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的控制器中作為其新的標(biāo)稱結(jié)構(gòu)參數(shù)。為便于分析和比較，分別用辨識(shí)前和辨識(shí)后的關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)進(jìn)行新的單點(diǎn)重復(fù)率誤差實(shí)驗(yàn)。如圖6所示，單點(diǎn)被重復(fù)測(cè)量多次，其單點(diǎn)重復(fù)率誤差曲線如圖7所示。

表3 用模擬退火算法辨識(shí)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)后得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)

(a)全局圖

(a)辨識(shí)前

4.2 結(jié)果

(1)觀察圖5可知，隨著迭代次數(shù)的增加，目標(biāo)函數(shù)值逐漸趨向于0。

(2)觀察圖7可以得到以下兩組指標(biāo)并分別以表格的形式列出結(jié)果：① 辨識(shí)前后單點(diǎn)重復(fù)率誤差值的最大值、最小值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差及其在三個(gè)方向上的對(duì)應(yīng)分量；② 經(jīng)過(guò)TLBO、SA和mTLBO-SA辨識(shí)后單點(diǎn)重復(fù)率誤差值的最大值、最小值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差及其在三個(gè)方向上減少的百分比對(duì)應(yīng)分量的下降率。

其中，辨識(shí)前后的單點(diǎn)重復(fù)率的誤差值見(jiàn)表5；辨識(shí)前后的單點(diǎn)重復(fù)率誤差值分別在x、y和z方向的分量見(jiàn)表6～表8；經(jīng)過(guò)TLBO、SA和mTLBO-SA辨識(shí)后單點(diǎn)重復(fù)率誤差值的下降率見(jiàn)表9；經(jīng)過(guò)TLBO、SA和mTLBO-SA辨識(shí)后單點(diǎn)重復(fù)率誤差值的下降率在x、y和z方向的分量分別見(jiàn)表10～表12。

表5 辨識(shí)前后的單點(diǎn)重復(fù)率誤差

表6 辨識(shí)前后單點(diǎn)重復(fù)率誤差在x方向的分量

表7 辨識(shí)前后單點(diǎn)重復(fù)率誤差在y方向的分量

表8 辨識(shí)前后單點(diǎn)重復(fù)率誤差在z方向的分量

表9 辨識(shí)后單點(diǎn)重復(fù)率誤差下降率

表10 辨識(shí)后單點(diǎn)重復(fù)率誤差下降率在x方向的分量

表11 辨識(shí)后單點(diǎn)重復(fù)率誤差下降率在y方向的分量

表12 辨識(shí)后的單點(diǎn)重復(fù)率誤差下降率在z方向的分量

4.3 討論

(1)通過(guò)教學(xué)算法、模擬退火算法及改進(jìn)的教學(xué)-模擬退火算法辨識(shí)后，關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的單點(diǎn)重復(fù)率誤差值及其在三個(gè)相應(yīng)坐標(biāo)軸方向上的對(duì)應(yīng)分量均有不同幅度的減少。

(2)經(jīng)過(guò)教學(xué)算法辨識(shí)后，單點(diǎn)重復(fù)率誤差值及其在三個(gè)相應(yīng)坐標(biāo)軸方向上對(duì)應(yīng)分量的減幅從89%到98%不等；經(jīng)過(guò)模擬退火算法辨識(shí)后，單點(diǎn)重復(fù)率誤差值及其在三個(gè)相應(yīng)坐標(biāo)軸方向上對(duì)應(yīng)分量的減幅從62%到98%不等；經(jīng)過(guò)改進(jìn)的教學(xué)-模擬退火算法辨識(shí)后，單點(diǎn)重復(fù)率誤差值及其在三個(gè)相應(yīng)坐標(biāo)軸方向上對(duì)應(yīng)分量的減幅從95%到99%不等。

(3)除極個(gè)別情況以外，經(jīng)過(guò)mTLBO-SA辨識(shí)后單點(diǎn)重復(fù)率誤差值的各減少幅度都超過(guò)96%，并且各減幅比經(jīng)過(guò)TLBO和SA辨識(shí)后對(duì)應(yīng)的減幅最少多1%，最大多33%，一般情況下也會(huì)多3%～15%。

5 結(jié)論

(1)實(shí)際情況中，很難測(cè)量到關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)，僅僅使用一些單一的傳統(tǒng)算法很容易使算法陷入局部最優(yōu)區(qū)域從而尋優(yōu)失敗。

(2)無(wú)論是用教學(xué)算法還是模擬退火算法對(duì)關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，算法都可能會(huì)陷入局部最優(yōu)區(qū)域或者早熟，使得優(yōu)化后的單點(diǎn)重復(fù)率誤差值不能很好地大幅減小。

(3)通過(guò)SA對(duì)mTLBO擾動(dòng)后，算法能在新的區(qū)域進(jìn)行新的尋優(yōu)操作，這不僅使算法跳出局部最優(yōu)區(qū)域，還能增加群體的多樣性，使得群體以更大的概率找到或更接近全局最優(yōu)解。

(4)通過(guò)對(duì)比各結(jié)果不難發(fā)現(xiàn):mTLBO-SA更適合關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識(shí)，能更有效且高效地提高關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的精度和降低其運(yùn)動(dòng)不確定度。