張金玉，金尚忠，張 彪，吳 磊，俞 兵,3，袁 良,3，黎高平

（1. 中國(guó)計(jì)量大學(xué) 光學(xué)與電子科技學(xué)院，浙江 杭州 310018；2. 西安應(yīng)用光學(xué)研究所，陜西 西安 710065；3. 北京理工大學(xué) 光電學(xué)院，北京 100081）

引言

腔衰蕩技術(shù)是一種基于低損耗無(wú)源諧振腔的高精度光學(xué)檢測(cè)技術(shù)，自1977 年[1]提出以來(lái)，已應(yīng)用于高反射率（反射率R＞99.5%）測(cè)量[2]、痕量氣體濃度檢測(cè)[3]及光纖傳感[4]等領(lǐng)域，是目前在上述應(yīng)用領(lǐng)域中測(cè)量精度最高的一種測(cè)量方法[5-7]。高反射率反射鏡在引力波觀測(cè)、激光陀螺、高靈敏激光光譜、高功率激光器和激光系統(tǒng)中也有著非常重要的作用[8-9]。隨著高反射膜鍍制技術(shù)的發(fā)展和高反鏡的廣泛應(yīng)用，精確測(cè)量高反鏡的反射率顯得特別重要。光腔衰蕩技術(shù)測(cè)量的基本原理是向無(wú)源諧振腔（也稱(chēng)初始腔）內(nèi)注入一束激光能量，用探測(cè)器監(jiān)視腔內(nèi)光強(qiáng)的損耗過(guò)程。一般采用直腔和折疊腔相結(jié)合的方法。結(jié)合原理公式，通過(guò)計(jì)算可得腔鏡和待測(cè)光學(xué)元件的反射率。關(guān)于光學(xué)元件超高反射率測(cè)量的研究，通過(guò)調(diào)查文獻(xiàn)可知，目前國(guó)內(nèi)無(wú)論在實(shí)驗(yàn)研究[10-18]，還是在為實(shí)現(xiàn)高精度測(cè)量的理論建模分析上[19-21]，均取得了很大的進(jìn)步，在國(guó)內(nèi)多所院校的協(xié)同努力下，光腔衰蕩超高反射率技術(shù)也得到了很大的發(fā)展。

光腔衰蕩技術(shù)是目前唯一能夠精確測(cè)量超高反射率（反射率R＞99.9%）的方法。利用光腔衰蕩技術(shù)可以測(cè)量激光光源在衰蕩腔輸出的指數(shù)衰減信號(hào)，從而得到衰蕩時(shí)間進(jìn)而得到腔鏡反射率。由于腔內(nèi)光強(qiáng)衰減不隨脈沖強(qiáng)度的漲落而發(fā)生改變，所以測(cè)量結(jié)果與脈沖光強(qiáng)波動(dòng)無(wú)關(guān)，測(cè)量精度高。本文通過(guò)分析實(shí)驗(yàn)測(cè)得的光腔衰蕩法中激光衰蕩信號(hào)強(qiáng)度與時(shí)間的關(guān)系，對(duì)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行一次指數(shù)函數(shù)擬合，通過(guò)與光腔衰蕩公式進(jìn)行對(duì)比計(jì)算求出衰蕩時(shí)間，進(jìn)而求出腔鏡的反射率。分析多組光強(qiáng)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系以及對(duì)比擬合過(guò)程中對(duì)應(yīng)的R-square 和RMSE 值進(jìn)行對(duì)比分析，統(tǒng)計(jì)分析出最接近腔鏡的反射率值。通過(guò)這種方式即可得到測(cè)量更為準(zhǔn)確的那種實(shí)驗(yàn)方法。為提升光腔衰蕩法測(cè)量光學(xué)元件反射率提供了技術(shù)支撐。

1 測(cè)量原理

光腔衰蕩法(cavity ring down,CRD)整個(gè)測(cè)試系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)裝置如圖1 所示，由激光光源、耦合光路、光學(xué)諧振腔、光電探測(cè)器和數(shù)據(jù)采集處理系統(tǒng)組成。如果采用CRD 測(cè)量非可見(jiàn)波長(zhǎng)腔鏡的反射率，為了精確調(diào)節(jié)腔鏡，一般引入可見(jiàn)激光（如633 nm He-Ne 激光）作為準(zhǔn)直光。在未插入被測(cè)元件前的光學(xué)諧振腔稱(chēng)為初始光腔，插入被測(cè)元件后的光學(xué)諧振腔稱(chēng)為測(cè)試光腔，如圖2 所示。

圖1 初始光腔測(cè)量系統(tǒng)框圖Fig. 1 Block diagram of initial optical cavity measurement system

圖2 測(cè)試光腔測(cè)量系統(tǒng)框圖Fig. 2 Block diagram of test optical cavity measurement system

在實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)激光器向衰蕩腔注入一束脈沖激光，光在衰蕩腔內(nèi)不斷地來(lái)回反射，若光源波長(zhǎng)與衰蕩腔滿足縱膜匹配，則在衰蕩腔內(nèi)會(huì)產(chǎn)生諧振，衰蕩腔透射光強(qiáng)遵循單指數(shù)函數(shù)衰減規(guī)律。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，脈沖激光器發(fā)出激光脈沖信號(hào)，模式匹配系統(tǒng)由2 個(gè)透鏡組成，用于將激光光束匯聚到諧振腔的焦點(diǎn)處，光學(xué)諧振腔由2 個(gè)凹面鏡構(gòu)成諧振腔。具體過(guò)程為激光脈沖進(jìn)入衰蕩腔后，光腔輸出信號(hào)可表示為

式中：c 為光速；L為腔長(zhǎng)；R為光學(xué)元件的反射率；n為腔內(nèi)介質(zhì)的折射率；α為腔內(nèi)吸收系數(shù)。當(dāng)腔內(nèi)介質(zhì)為空氣時(shí)，折射率n近似為1。若腔內(nèi)無(wú)吸收介質(zhì)，α=0，初始腔和折射測(cè)試腔的反射率為R1、R2，則可以根據(jù)衰蕩時(shí)間計(jì)算得到腔鏡平均反射率R，即：

實(shí)驗(yàn)中，首先用圖1 所示的裝置測(cè)量直腔衰蕩信號(hào)。當(dāng)入射激光與衰蕩腔模式匹配，且激光脈沖較短時(shí)，衰蕩信號(hào)呈單指數(shù)衰減，測(cè)得的衰蕩信號(hào)按單指數(shù)衰減函數(shù)擬合，即可得到衰蕩時(shí)間。為了測(cè)量待測(cè)平面鏡的反射率，通常在圖1 的直腔中插入待測(cè)鏡，構(gòu)成折疊腔，如圖3 所示。

圖3 折疊腔示意圖Fig. 3 Schematic diagram of folding cavity

分別測(cè)量直腔和折疊腔信號(hào)并擬合得到相應(yīng)的衰蕩時(shí)間 τ1、 τ2，可計(jì)算得到初始腔和折射測(cè)試腔的反射率R1、R2，計(jì)算可得到待測(cè)鏡的反射率R3為

根據(jù)上述脈沖光腔衰蕩技術(shù)測(cè)量反射率的原理，將測(cè)光學(xué)元件反射率的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為通過(guò)測(cè)光強(qiáng)以及衰蕩時(shí)間 τ 的問(wèn)題去進(jìn)行測(cè)量和計(jì)算。由公式（4）可知，樣片反射率測(cè)量結(jié)果取決于衰蕩時(shí)間常數(shù)，不受光源光強(qiáng)漂移的影響，同時(shí)具有極高的測(cè)量精度。

2 測(cè)試結(jié)果與實(shí)驗(yàn)分析

搭建了一套用于測(cè)量光學(xué)元件高反射率的光腔衰蕩系統(tǒng)，其組成示意圖如圖4 所示。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)采用中心波長(zhǎng)為633 nm 的連續(xù)激光器作為激光光源，激光經(jīng)過(guò)2 個(gè)凸面鏡組成的模式匹配系統(tǒng)進(jìn)入衰蕩腔，使其產(chǎn)生衰蕩信號(hào)，衰蕩腔由M1、M2、M3 組成，其中M1 和M2 為曲率半徑為1 m 的平凹鏡，M3 為平面反射鏡。衰蕩腔的輸出信號(hào)經(jīng)過(guò)會(huì)聚透鏡聚焦被光電探測(cè)器采集到，探測(cè)器的輸出信號(hào)經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)采集卡采集后在電腦中進(jìn)行處理。通過(guò)處理對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)與時(shí)間的關(guān)系得到衰蕩曲線，擬合可得到光強(qiáng)隨時(shí)間的變化，經(jīng)計(jì)算就可得到對(duì)應(yīng)的衰蕩時(shí)間和腔鏡的反射率。

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng)連接示意圖Fig. 4 System connection diagram of experimental device

探測(cè)器每0.05 μs 采集一次激光強(qiáng)度信號(hào)，采集的信號(hào)數(shù)據(jù)由數(shù)據(jù)采集卡進(jìn)行存儲(chǔ)。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，衰蕩信號(hào)不可避免地會(huì)受到系統(tǒng)噪聲的影響而產(chǎn)生偏差。在已知腔鏡反射率情況下，對(duì)測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析，將計(jì)算得到的腔鏡反射率與已知腔鏡反射率進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)比較就能很清楚地得到最接近光學(xué)元件反射率的測(cè)試方式與方法。首先將脈沖激光沿光軸耦合進(jìn)入初始光腔，調(diào)節(jié)腔鏡方位和俯仰，使其在腔內(nèi)形成振蕩。根據(jù)探測(cè)器輸出的信號(hào)，精確調(diào)節(jié)諧振腔，使得輸出的信號(hào)能形成穩(wěn)定的指數(shù)衰蕩波形，此時(shí)其對(duì)數(shù)曲線為一條直線。在相同條件下對(duì)測(cè)試腔進(jìn)行30 次實(shí)驗(yàn)，采集初始光腔的衰蕩信號(hào)，并記錄數(shù)據(jù)，測(cè)量初始光腔的長(zhǎng)度L，并記錄，對(duì)其中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)隨機(jī)選擇6 組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，選取第3、8、13、18、23、28 這6 組實(shí)驗(yàn)進(jìn)行處理。對(duì)處理數(shù)據(jù)進(jìn)行一次指數(shù)函數(shù)擬合，通過(guò)對(duì)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到6 組實(shí)驗(yàn)的函數(shù)擬合表達(dá)式，并且得到對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式的統(tǒng)計(jì)值 R2和RMSE值，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1 所示，其中 R2值越接近于1，則表明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合函數(shù)之間的吻合程度越高；R2值越接近于0，則表明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合函數(shù)之間吻合程度越低。 RMSE為均方根誤差，是用來(lái)衡量測(cè)得的數(shù)據(jù)值同真值之間偏差的統(tǒng)計(jì)量，值越小說(shuō)明實(shí)驗(yàn)值與真值的偏差越小。通過(guò)統(tǒng)計(jì)6 組實(shí)驗(yàn)的值 R2和 RMSE值，則可推斷出實(shí)驗(yàn)裝置較為穩(wěn)定。

表1 6 組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理值Table 1 Processing values of six groups of experimental data

如圖5 與圖6 所示，分別為隨機(jī)抽查數(shù)據(jù)第23 組的一次指數(shù)函數(shù)以及二次指數(shù)函數(shù)擬合圖。

圖5 第23 組一次指數(shù)函數(shù)擬合曲線圖Fig. 5 Fitting curve of primary exponential function of group 23

圖6 第23 組二次指數(shù)函數(shù)擬合曲線圖Fig. 6 Fitting curve of quadratic exponential function of group 23

擬合得到對(duì)應(yīng)的一次指數(shù)與二次指數(shù)擬合的R2和 RMSE值。具體擬合統(tǒng)計(jì)值如表2 所示。結(jié)合擬合得到的擬合數(shù)據(jù)值和曲線圖可以看出一次指數(shù)擬合與二次指數(shù)擬合差別不大，這表明通過(guò)處理分析一次指數(shù)函數(shù)擬合圖形以及相關(guān)的統(tǒng)計(jì)值，就能滿足算法的處理要求。

表2 第23 組指數(shù)函數(shù)擬合統(tǒng)計(jì)值Table 2 Fitting statistics of exponential function of group 23

對(duì)采集的時(shí)間與光照強(qiáng)度的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，未插入被測(cè)元件前的光學(xué)諧振腔稱(chēng)為初始光腔；插入被測(cè)元件后的光學(xué)諧振腔稱(chēng)為測(cè)試光腔。按照原理將各儀器安裝完畢，未插入被測(cè)元件的初始光腔通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到幾組數(shù)據(jù)，對(duì)得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行一次指數(shù)函數(shù)擬合、二次指數(shù)函數(shù)擬合以及多項(xiàng)式擬合，對(duì)求得的擬合參數(shù)的數(shù)值進(jìn)行對(duì)比分析，重復(fù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)參數(shù)值差值波動(dòng)很小，表明該實(shí)驗(yàn)裝置比較穩(wěn)定。每次實(shí)驗(yàn)采集的光照強(qiáng)度與時(shí)間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)有2 500 組，將數(shù)據(jù)分為5 組，每組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)包含500 個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)，將這500 個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)分別通過(guò)一次指數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合，求出對(duì)應(yīng)參數(shù)的值。對(duì)比分析這5 組數(shù)據(jù)值，通過(guò)對(duì)擬合得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，可知這5 組數(shù)據(jù)中R2的值在逐漸變小，說(shuō)明擬合直線與原始數(shù)據(jù)的擬合程度在降低，從第3 組（1 001～1 500）開(kāi)始下降非常明顯。如圖7 為第1 組（1～500）數(shù)據(jù)的擬合曲線圖，可以看出原始數(shù)據(jù)點(diǎn)與一次指數(shù)擬合曲線非常吻合。如圖8～圖11 所示，為其他各組數(shù)據(jù)的擬合曲線圖。

圖7 第1 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 7 Fitting curve of data of group 1

圖8 第2 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 8 Fitting curve of data of group 2

圖9 第3 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 9 Fitting curve of data of group 3

圖10 第4 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 10 Fitting curve of data of group 4

圖11 第5 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 11 Fitting curve of data of group 5

通過(guò)上面擬合曲線圖可知，第4 組（1 501～2 000）第5 組（2 001～2 500）這2 組擬合曲線與原始數(shù)據(jù)偏差較大，再結(jié)合求得 τ與R值進(jìn)行比較，如表3 所示，已知凹面反射率為99.990%，可以得到第3 組測(cè)試數(shù)據(jù)擬合求得的值最接近凹面鏡的真實(shí)值，并通過(guò)看擬合曲線與數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合曲線圖，可以看到前3 組擬合比較接近，所擬合的曲線方程更接近真實(shí)值。另外對(duì)比分析擬合曲線對(duì)應(yīng)的R2和 RMSE值 ，可以知道對(duì)應(yīng)R2值＞0.9,函數(shù)擬合結(jié)果很接近真實(shí)值，且值已經(jīng)比較小，表明了實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)值與真值之間的偏差也比較小。通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合能得到較為一致的結(jié)果，說(shuō)明進(jìn)行衰蕩腔調(diào)試的實(shí)驗(yàn)中，采集得到的40%數(shù)據(jù)值處理擬合的結(jié)果與真實(shí)值偏差較大，經(jīng)分析可能是實(shí)驗(yàn)部分的數(shù)據(jù)噪聲更大，導(dǎo)致擬合數(shù)據(jù)偏差也較大。又通過(guò)比較擬合曲線對(duì)應(yīng)的R2和 RMSE值，根據(jù)擬合得到的計(jì)算結(jié)果與凹面鏡的反射率進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，每組測(cè)試數(shù)據(jù)的40%～60%部分?jǐn)M合曲線更接近真實(shí)值。求得的結(jié)果也更接近真實(shí)值。這樣的處理方法就能避免一些噪聲干擾，求得的值也更準(zhǔn)確。

表3 5 段數(shù)據(jù)求得的參數(shù)值Table 3 Parameter values obtained from five segments of data

3 結(jié)論

本文提出了一種分析光腔衰蕩時(shí)間與光照強(qiáng)度的分析方法，將測(cè)試腔數(shù)據(jù)分為數(shù)量大致相同的5 段數(shù)據(jù)進(jìn)行截取，通過(guò)分析一次指數(shù)擬合圖像中數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合圖像的關(guān)系，可以分析出最優(yōu)的擬合曲線，根據(jù)擬合出的統(tǒng)計(jì)量 R2與RMSE 值的比較，并通過(guò)擬合函數(shù)的表達(dá)式，得到衰蕩時(shí)間以及衰蕩腔的值。將求得的衰蕩腔鏡發(fā)射率值與腔鏡真實(shí)反射率值進(jìn)行比較，進(jìn)而分析出在一組光腔衰蕩曲線中，每組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)40%～60%部分?jǐn)M合曲線更接近真實(shí)值，計(jì)算得到該段數(shù)據(jù)測(cè)得的光學(xué)元件反射率為99.988 977%。這樣的處理方法能提高光腔衰蕩法實(shí)驗(yàn)中時(shí)間常數(shù)測(cè)量精度，減小實(shí)驗(yàn)噪聲帶來(lái)的誤差，為提升光腔衰蕩法測(cè)量光學(xué)元件反射率提供了一些技術(shù)支撐。