張金玉，金尚忠，張 彪，吳 磊，俞 兵,3，袁 良,3，黎高平

（1. 中國計量大學(xué) 光學(xué)與電子科技學(xué)院，浙江 杭州 310018；2. 西安應(yīng)用光學(xué)研究所，陜西 西安 710065；3. 北京理工大學(xué) 光電學(xué)院，北京 100081）

引言

腔衰蕩技術(shù)是一種基于低損耗無源諧振腔的高精度光學(xué)檢測技術(shù)，自1977 年[1]提出以來，已應(yīng)用于高反射率（反射率R＞99.5%）測量[2]、痕量氣體濃度檢測[3]及光纖傳感[4]等領(lǐng)域，是目前在上述應(yīng)用領(lǐng)域中測量精度最高的一種測量方法[5-7]。高反射率反射鏡在引力波觀測、激光陀螺、高靈敏激光光譜、高功率激光器和激光系統(tǒng)中也有著非常重要的作用[8-9]。隨著高反射膜鍍制技術(shù)的發(fā)展和高反鏡的廣泛應(yīng)用，精確測量高反鏡的反射率顯得特別重要。光腔衰蕩技術(shù)測量的基本原理是向無源諧振腔（也稱初始腔）內(nèi)注入一束激光能量，用探測器監(jiān)視腔內(nèi)光強(qiáng)的損耗過程。一般采用直腔和折疊腔相結(jié)合的方法。結(jié)合原理公式，通過計算可得腔鏡和待測光學(xué)元件的反射率。關(guān)于光學(xué)元件超高反射率測量的研究，通過調(diào)查文獻(xiàn)可知，目前國內(nèi)無論在實驗研究[10-18]，還是在為實現(xiàn)高精度測量的理論建模分析上[19-21]，均取得了很大的進(jìn)步，在國內(nèi)多所院校的協(xié)同努力下，光腔衰蕩超高反射率技術(shù)也得到了很大的發(fā)展。

光腔衰蕩技術(shù)是目前唯一能夠精確測量超高反射率（反射率R＞99.9%）的方法。利用光腔衰蕩技術(shù)可以測量激光光源在衰蕩腔輸出的指數(shù)衰減信號，從而得到衰蕩時間進(jìn)而得到腔鏡反射率。由于腔內(nèi)光強(qiáng)衰減不隨脈沖強(qiáng)度的漲落而發(fā)生改變，所以測量結(jié)果與脈沖光強(qiáng)波動無關(guān)，測量精度高。本文通過分析實驗測得的光腔衰蕩法中激光衰蕩信號強(qiáng)度與時間的關(guān)系，對測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行一次指數(shù)函數(shù)擬合，通過與光腔衰蕩公式進(jìn)行對比計算求出衰蕩時間，進(jìn)而求出腔鏡的反射率。分析多組光強(qiáng)與時間的函數(shù)關(guān)系以及對比擬合過程中對應(yīng)的R-square 和RMSE 值進(jìn)行對比分析，統(tǒng)計分析出最接近腔鏡的反射率值。通過這種方式即可得到測量更為準(zhǔn)確的那種實驗方法。為提升光腔衰蕩法測量光學(xué)元件反射率提供了技術(shù)支撐。

1 測量原理

光腔衰蕩法(cavity ring down,CRD)整個測試系統(tǒng)的實驗裝置如圖1 所示，由激光光源、耦合光路、光學(xué)諧振腔、光電探測器和數(shù)據(jù)采集處理系統(tǒng)組成。如果采用CRD 測量非可見波長腔鏡的反射率，為了精確調(diào)節(jié)腔鏡，一般引入可見激光（如633 nm He-Ne 激光）作為準(zhǔn)直光。在未插入被測元件前的光學(xué)諧振腔稱為初始光腔，插入被測元件后的光學(xué)諧振腔稱為測試光腔，如圖2 所示。

圖1 初始光腔測量系統(tǒng)框圖Fig. 1 Block diagram of initial optical cavity measurement system

圖2 測試光腔測量系統(tǒng)框圖Fig. 2 Block diagram of test optical cavity measurement system

在實驗中，當(dāng)激光器向衰蕩腔注入一束脈沖激光，光在衰蕩腔內(nèi)不斷地來回反射，若光源波長與衰蕩腔滿足縱膜匹配，則在衰蕩腔內(nèi)會產(chǎn)生諧振，衰蕩腔透射光強(qiáng)遵循單指數(shù)函數(shù)衰減規(guī)律。

實驗過程中，脈沖激光器發(fā)出激光脈沖信號，模式匹配系統(tǒng)由2 個透鏡組成，用于將激光光束匯聚到諧振腔的焦點(diǎn)處，光學(xué)諧振腔由2 個凹面鏡構(gòu)成諧振腔。具體過程為激光脈沖進(jìn)入衰蕩腔后，光腔輸出信號可表示為

式中：c 為光速；L為腔長；R為光學(xué)元件的反射率；n為腔內(nèi)介質(zhì)的折射率；α為腔內(nèi)吸收系數(shù)。當(dāng)腔內(nèi)介質(zhì)為空氣時，折射率n近似為1。若腔內(nèi)無吸收介質(zhì)，α=0，初始腔和折射測試腔的反射率為R1、R2，則可以根據(jù)衰蕩時間計算得到腔鏡平均反射率R，即：

實驗中，首先用圖1 所示的裝置測量直腔衰蕩信號。當(dāng)入射激光與衰蕩腔模式匹配，且激光脈沖較短時，衰蕩信號呈單指數(shù)衰減，測得的衰蕩信號按單指數(shù)衰減函數(shù)擬合，即可得到衰蕩時間。為了測量待測平面鏡的反射率，通常在圖1 的直腔中插入待測鏡，構(gòu)成折疊腔，如圖3 所示。

圖3 折疊腔示意圖Fig. 3 Schematic diagram of folding cavity

分別測量直腔和折疊腔信號并擬合得到相應(yīng)的衰蕩時間 τ1、 τ2，可計算得到初始腔和折射測試腔的反射率R1、R2，計算可得到待測鏡的反射率R3為

根據(jù)上述脈沖光腔衰蕩技術(shù)測量反射率的原理，將測光學(xué)元件反射率的問題轉(zhuǎn)化為通過測光強(qiáng)以及衰蕩時間 τ 的問題去進(jìn)行測量和計算。由公式（4）可知，樣片反射率測量結(jié)果取決于衰蕩時間常數(shù)，不受光源光強(qiáng)漂移的影響，同時具有極高的測量精度。

2 測試結(jié)果與實驗分析

搭建了一套用于測量光學(xué)元件高反射率的光腔衰蕩系統(tǒng)，其組成示意圖如圖4 所示。實驗系統(tǒng)采用中心波長為633 nm 的連續(xù)激光器作為激光光源，激光經(jīng)過2 個凸面鏡組成的模式匹配系統(tǒng)進(jìn)入衰蕩腔，使其產(chǎn)生衰蕩信號，衰蕩腔由M1、M2、M3 組成，其中M1 和M2 為曲率半徑為1 m 的平凹鏡，M3 為平面反射鏡。衰蕩腔的輸出信號經(jīng)過會聚透鏡聚焦被光電探測器采集到，探測器的輸出信號經(jīng)過數(shù)據(jù)采集卡采集后在電腦中進(jìn)行處理。通過處理對應(yīng)的光強(qiáng)與時間的關(guān)系得到衰蕩曲線，擬合可得到光強(qiáng)隨時間的變化，經(jīng)計算就可得到對應(yīng)的衰蕩時間和腔鏡的反射率。

圖4 實驗裝置系統(tǒng)連接示意圖Fig. 4 System connection diagram of experimental device

探測器每0.05 μs 采集一次激光強(qiáng)度信號，采集的信號數(shù)據(jù)由數(shù)據(jù)采集卡進(jìn)行存儲。在實驗過程中，衰蕩信號不可避免地會受到系統(tǒng)噪聲的影響而產(chǎn)生偏差。在已知腔鏡反射率情況下，對測得的實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行計算分析，將計算得到的腔鏡反射率與已知腔鏡反射率進(jìn)行對比，通過比較就能很清楚地得到最接近光學(xué)元件反射率的測試方式與方法。首先將脈沖激光沿光軸耦合進(jìn)入初始光腔，調(diào)節(jié)腔鏡方位和俯仰，使其在腔內(nèi)形成振蕩。根據(jù)探測器輸出的信號，精確調(diào)節(jié)諧振腔，使得輸出的信號能形成穩(wěn)定的指數(shù)衰蕩波形，此時其對數(shù)曲線為一條直線。在相同條件下對測試腔進(jìn)行30 次實驗，采集初始光腔的衰蕩信號，并記錄數(shù)據(jù)，測量初始光腔的長度L，并記錄，對其中的實驗數(shù)據(jù)隨機(jī)選擇6 組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，選取第3、8、13、18、23、28 這6 組實驗進(jìn)行處理。對處理數(shù)據(jù)進(jìn)行一次指數(shù)函數(shù)擬合，通過對測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到6 組實驗的函數(shù)擬合表達(dá)式，并且得到對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式的統(tǒng)計值 R2和RMSE值，統(tǒng)計結(jié)果如表1 所示，其中 R2值越接近于1，則表明實驗數(shù)據(jù)與擬合函數(shù)之間的吻合程度越高；R2值越接近于0，則表明實驗數(shù)據(jù)與擬合函數(shù)之間吻合程度越低。 RMSE為均方根誤差，是用來衡量測得的數(shù)據(jù)值同真值之間偏差的統(tǒng)計量，值越小說明實驗值與真值的偏差越小。通過統(tǒng)計6 組實驗的值 R2和 RMSE值，則可推斷出實驗裝置較為穩(wěn)定。

表1 6 組實驗數(shù)據(jù)的處理值Table 1 Processing values of six groups of experimental data

如圖5 與圖6 所示，分別為隨機(jī)抽查數(shù)據(jù)第23 組的一次指數(shù)函數(shù)以及二次指數(shù)函數(shù)擬合圖。

圖5 第23 組一次指數(shù)函數(shù)擬合曲線圖Fig. 5 Fitting curve of primary exponential function of group 23

圖6 第23 組二次指數(shù)函數(shù)擬合曲線圖Fig. 6 Fitting curve of quadratic exponential function of group 23

擬合得到對應(yīng)的一次指數(shù)與二次指數(shù)擬合的R2和 RMSE值。具體擬合統(tǒng)計值如表2 所示。結(jié)合擬合得到的擬合數(shù)據(jù)值和曲線圖可以看出一次指數(shù)擬合與二次指數(shù)擬合差別不大，這表明通過處理分析一次指數(shù)函數(shù)擬合圖形以及相關(guān)的統(tǒng)計值，就能滿足算法的處理要求。

表2 第23 組指數(shù)函數(shù)擬合統(tǒng)計值Table 2 Fitting statistics of exponential function of group 23

對采集的時間與光照強(qiáng)度的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，未插入被測元件前的光學(xué)諧振腔稱為初始光腔；插入被測元件后的光學(xué)諧振腔稱為測試光腔。按照原理將各儀器安裝完畢，未插入被測元件的初始光腔通過實驗得到幾組數(shù)據(jù)，對得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行一次指數(shù)函數(shù)擬合、二次指數(shù)函數(shù)擬合以及多項式擬合，對求得的擬合參數(shù)的數(shù)值進(jìn)行對比分析，重復(fù)實驗發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)參數(shù)值差值波動很小，表明該實驗裝置比較穩(wěn)定。每次實驗采集的光照強(qiáng)度與時間的對應(yīng)數(shù)據(jù)有2 500 組，將數(shù)據(jù)分為5 組，每組實驗數(shù)據(jù)包含500 個數(shù)據(jù)對，將這500 個數(shù)據(jù)對分別通過一次指數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合，求出對應(yīng)參數(shù)的值。對比分析這5 組數(shù)據(jù)值，通過對擬合得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，可知這5 組數(shù)據(jù)中R2的值在逐漸變小，說明擬合直線與原始數(shù)據(jù)的擬合程度在降低，從第3 組（1 001～1 500）開始下降非常明顯。如圖7 為第1 組（1～500）數(shù)據(jù)的擬合曲線圖，可以看出原始數(shù)據(jù)點(diǎn)與一次指數(shù)擬合曲線非常吻合。如圖8～圖11 所示，為其他各組數(shù)據(jù)的擬合曲線圖。

圖7 第1 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 7 Fitting curve of data of group 1

圖8 第2 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 8 Fitting curve of data of group 2

圖9 第3 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 9 Fitting curve of data of group 3

圖10 第4 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 10 Fitting curve of data of group 4

圖11 第5 組數(shù)據(jù)擬合曲線圖Fig. 11 Fitting curve of data of group 5

通過上面擬合曲線圖可知，第4 組（1 501～2 000）第5 組（2 001～2 500）這2 組擬合曲線與原始數(shù)據(jù)偏差較大，再結(jié)合求得 τ與R值進(jìn)行比較，如表3 所示，已知凹面反射率為99.990%，可以得到第3 組測試數(shù)據(jù)擬合求得的值最接近凹面鏡的真實值，并通過看擬合曲線與數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合曲線圖，可以看到前3 組擬合比較接近，所擬合的曲線方程更接近真實值。另外對比分析擬合曲線對應(yīng)的R2和 RMSE值 ，可以知道對應(yīng)R2值＞0.9,函數(shù)擬合結(jié)果很接近真實值，且值已經(jīng)比較小，表明了實驗的觀測值與真值之間的偏差也比較小。通過對實驗數(shù)據(jù)擬合能得到較為一致的結(jié)果，說明進(jìn)行衰蕩腔調(diào)試的實驗中，采集得到的40%數(shù)據(jù)值處理擬合的結(jié)果與真實值偏差較大，經(jīng)分析可能是實驗部分的數(shù)據(jù)噪聲更大，導(dǎo)致擬合數(shù)據(jù)偏差也較大。又通過比較擬合曲線對應(yīng)的R2和 RMSE值，根據(jù)擬合得到的計算結(jié)果與凹面鏡的反射率進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，每組測試數(shù)據(jù)的40%～60%部分?jǐn)M合曲線更接近真實值。求得的結(jié)果也更接近真實值。這樣的處理方法就能避免一些噪聲干擾，求得的值也更準(zhǔn)確。

表3 5 段數(shù)據(jù)求得的參數(shù)值Table 3 Parameter values obtained from five segments of data

3 結(jié)論

本文提出了一種分析光腔衰蕩時間與光照強(qiáng)度的分析方法，將測試腔數(shù)據(jù)分為數(shù)量大致相同的5 段數(shù)據(jù)進(jìn)行截取，通過分析一次指數(shù)擬合圖像中數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合圖像的關(guān)系，可以分析出最優(yōu)的擬合曲線，根據(jù)擬合出的統(tǒng)計量 R2與RMSE 值的比較，并通過擬合函數(shù)的表達(dá)式，得到衰蕩時間以及衰蕩腔的值。將求得的衰蕩腔鏡發(fā)射率值與腔鏡真實反射率值進(jìn)行比較，進(jìn)而分析出在一組光腔衰蕩曲線中，每組實驗數(shù)據(jù)40%～60%部分?jǐn)M合曲線更接近真實值，計算得到該段數(shù)據(jù)測得的光學(xué)元件反射率為99.988 977%。這樣的處理方法能提高光腔衰蕩法實驗中時間常數(shù)測量精度，減小實驗噪聲帶來的誤差，為提升光腔衰蕩法測量光學(xué)元件反射率提供了一些技術(shù)支撐。