張一楠 丁建完

華中科技大學(xué)國家CAD支撐軟件工程技術(shù)研究中心，武漢，430074

0 引言

串聯(lián)機器人的建模仿真與基于模型的控制需要精確的機器人動力學(xué)模型，而關(guān)節(jié)摩擦模型是機器人動力學(xué)模型的重要組成部分。常用的機器人關(guān)節(jié)摩擦模型為庫侖黏滯摩擦模型，除此之外，還有Stribeck模型[1]、Dahl模型[2]、Maxwell-slip模型[3]、LuGre模型[4]等。機器人實際運行中，關(guān)節(jié)摩擦?xí)軠囟茸兓挠绊慬5]，因此有必要對其進行探究。

ANDRE等[6]通過實驗探究了溫度對機器人關(guān)節(jié)摩擦力矩的影響。GAO等[7]建立并驗證了考慮溫度的協(xié)作機器人非線性摩擦模型。YAN等[8]通過帶溫度影響的靜態(tài)關(guān)節(jié)摩擦模型研究了機械臂的控制方法。吳曉敏等[9]在Stribeck模型的基礎(chǔ)上提出了考慮溫度影響的摩擦力矩模型。LORINC等[10]通過對環(huán)境溫度和外殼溫度的測量來估計關(guān)節(jié)內(nèi)部溫度。上述研究考慮了溫度對機器人關(guān)節(jié)摩擦力矩的影響，提出了相應(yīng)模型，但依賴對溫度的直接測量或間接估計，而在大部分實際應(yīng)用場景中，安裝傳感器、測量機器人關(guān)節(jié)溫度是不現(xiàn)實的。

為了避免對溫度的測量或估計，PAGANI等[11]提出了基于熱平衡的關(guān)節(jié)發(fā)熱微分模型，在無需溫度傳感器的前提下預(yù)測機器人工作周期中的摩擦力矩變化。CARLSON等[12]將摩擦力矩視作以摩擦損耗為輸入的系統(tǒng)，避免了溫度測量，并對所提出的方法進行了實驗評估。對于連續(xù)運行狀態(tài)下的機器人，SIMONI等[13]通過探究不同運行時間下關(guān)節(jié)摩擦的變化，研究溫度對關(guān)節(jié)摩擦的影響，并提出了連續(xù)運轉(zhuǎn)下的關(guān)節(jié)摩擦模型。PAGANI等[14]考慮了關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)特點，對關(guān)節(jié)傳熱模型進行改進，更準確地描述傳熱現(xiàn)象。

上述研究中的研究對象大多為以潤滑油為潤滑介質(zhì)的工業(yè)機器人，且均假設(shè)關(guān)節(jié)熱源為單一的機械摩擦。但在實際情況下，伺服電機、伺服驅(qū)動等組件產(chǎn)生的熱量同樣對關(guān)節(jié)的升溫有貢獻，并且不同關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)和潤滑介質(zhì)的機器人的摩擦力矩也不盡相同。

1 機器人關(guān)節(jié)摩擦

1.1 關(guān)節(jié)摩擦主要來源

機械摩擦是一種復(fù)雜的物理現(xiàn)象，目前很難通過數(shù)值計算對實際摩擦做出精確估計[15]。機器人關(guān)節(jié)摩擦來源眾多、成因復(fù)雜。對協(xié)作型串聯(lián)機器人關(guān)節(jié)而言，除伺服電機、傳感器、伺服驅(qū)動外，還包含減速器與滾動軸承等組件。

本文研究的協(xié)作機器人關(guān)節(jié)安裝了諧波減速器，并采用潤滑脂作為潤滑介質(zhì)。關(guān)節(jié)內(nèi)部機械摩擦的主要來源為滾動軸承摩擦與減速器輪齒嚙合摩擦[7]。

1.1.1滾動軸承摩擦

滾動軸承的摩擦成因較為復(fù)雜，除軸承的結(jié)構(gòu)、尺寸和外界載荷外，潤滑介質(zhì)的性能對摩擦也有較大的影響[16]。滾動軸承的摩擦主要包括載荷摩擦、潤滑介質(zhì)帶來的黏性摩擦、軸承滾子的自旋摩擦[17]等。從實際應(yīng)用出發(fā)，可通過經(jīng)驗公式近似計算摩擦力矩[18]：

(1)

式中，M為滾動軸承的摩擦力矩，N/mm；f1為載荷系數(shù)；F1為軸承徑向載荷，N；dm為軸承平均直徑，mm；f0為考慮結(jié)構(gòu)與潤滑的系數(shù)；ν為潤滑介質(zhì)運動學(xué)黏度，m2/s；n為軸承轉(zhuǎn)速，r/min。

1.1.2輪齒嚙合摩擦

齒輪的嚙合摩擦包含滑動摩擦與滾動摩擦。對于滑動摩擦而言，輪齒只有在完全理想情況下才處于完全彈流潤滑狀態(tài)，該狀態(tài)下的嚙合摩擦可通過Dowson線接觸潤滑理論[19]來描述。實際的嚙合摩擦常處于部分彈性流體潤滑的狀態(tài)，其嚙合平均摩擦因數(shù)為[20]

(2)

式中，F(xiàn)n為齒面法向載荷，N；b為有效齒寬，mm；ρ為潤滑介質(zhì)動力學(xué)黏度，Pa·s；vHm、vTm分別為平均滑動速度和平均滾動速度，m/s。

對于輪齒嚙合的滾動摩擦，可采用經(jīng)驗公式對摩擦損耗進行近似估計[21]：

(3)

式中，PR為齒面滾動摩擦損失功率，kW；h為彈性動力油膜厚度，mm；ζ為壓黏系數(shù)，MPa-1；R為綜合曲率半徑，mm；E為綜合彈性模量，MPa；ψ為載荷系數(shù)，N/mm。

由式(2)、式(3)可直觀得出，潤滑介質(zhì)的黏度對嚙合摩擦的影響較為復(fù)雜。

實際的機器人關(guān)節(jié)除了上述的軸承摩擦和齒輪嚙合摩擦，還存在攪動摩擦、減速器彈性形變等效摩擦等摩擦，并且不同摩擦的具體占比很難通過計算得到。因此，對于機器人關(guān)節(jié)整體而言，很難通過數(shù)值計算的方式得到完全準確的摩擦力矩。從機器人的應(yīng)用層面考慮，可以將關(guān)節(jié)簡化為整體，通過數(shù)學(xué)模型來研究關(guān)節(jié)整體的摩擦力矩。

1.2 整體關(guān)節(jié)摩擦模型

在機器人應(yīng)用層面上，目前廣泛采用的關(guān)節(jié)摩擦模型主要有庫侖黏滯摩擦模型、Stribeck摩擦模型、LuGre摩擦模型[22]。

圖1 關(guān)節(jié)非線性摩擦模型Fig.1 Nonlinear friction model of joint

圖1所示摩擦模型的摩擦力矩為

(4)

由式(4)可知，該模型沒有考慮關(guān)節(jié)摩擦的Stribeck現(xiàn)象。潤滑脂一般為非牛頓流體，其剪切應(yīng)力與剪切速率為非線性關(guān)系[23]，因此機器人關(guān)節(jié)摩擦力矩大小隨關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速的提高非線性增長。

在機器人的實際應(yīng)用中，盡管關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速并非恒定，但關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速一般高于出現(xiàn)Stribeck現(xiàn)象的臨界轉(zhuǎn)速，并且采用脂潤滑的協(xié)作機器人的Stribeck現(xiàn)象相對不明顯，因此本文采用圖1所示的數(shù)學(xué)模型描述關(guān)節(jié)整體摩擦。

值得注意的是，實際工作的機器人關(guān)節(jié)存在加減速，此時的摩擦力矩可能存在遲滯現(xiàn)象，但實際的關(guān)節(jié)速度變化往往不大，摩擦力遲滯現(xiàn)象不明顯，因此為便于研究，本文忽略摩擦力矩的遲滯現(xiàn)象。

1.3 溫度對摩擦的影響

相關(guān)研究表明，溫度主要通過影響潤滑介質(zhì)的動力學(xué)黏度來間接影響摩擦力矩。潤滑介質(zhì)的動力學(xué)黏度可表示為溫度的指數(shù)函數(shù)[24]，隨溫度的升高而非線性降低。由1.1節(jié)分析可知，無論是滾動軸承摩擦還是輪齒嚙合摩擦，其摩擦力矩都會受潤滑脂黏度的影響，并且與黏度呈非線性相關(guān)。

文獻[8-9，13]采用擴展Stribeck模型描述溫度對工業(yè)機器人關(guān)節(jié)摩擦的影響。工業(yè)機器人關(guān)節(jié)采用潤滑油為潤滑介質(zhì)，隨著關(guān)節(jié)溫度的升高，黏滯摩擦減小，但庫侖摩擦和混合潤滑階段的摩擦反而會增大。

研究發(fā)現(xiàn)，脂潤滑機器人的庫侖摩擦力矩τc基本不受溫度變化影響，而黏滯摩擦隨溫度的升高非線性減小[7]?；谑?4)所述模型，提出了考慮溫度影響的擴展模型：

(5)

由式(4)、式(5)可知，溫度升高時，同一關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速下的摩擦力矩會非線性減小，但15～40 ℃內(nèi)的摩擦-溫度曲線斜率變化較小[7]。因此，對于溫升不大的情況，為簡化模型，可將該溫度范圍內(nèi)的摩擦力矩與關(guān)節(jié)溫度近似為線性關(guān)系：

(6)

式中，T0為初始關(guān)節(jié)溫度，℃；α為摩擦力矩隨溫度變化的斜率，N·m/℃。

2 連續(xù)運轉(zhuǎn)下的關(guān)節(jié)摩擦模型

機器人在部分應(yīng)用場景中會有一段時間的持續(xù)運行，如打磨、噴涂、焊接等任務(wù)中的機器人會按預(yù)定的程序重復(fù)動作。持續(xù)轉(zhuǎn)動的過程中，機器人關(guān)節(jié)的電機自身產(chǎn)熱和關(guān)節(jié)摩擦產(chǎn)熱等因素會使關(guān)節(jié)不斷升溫。當關(guān)節(jié)溫度大于外界環(huán)境溫度時，熱量會由關(guān)節(jié)向外界環(huán)境傳導(dǎo)?；谏鲜龇治觯墨I[11-12]提出了連續(xù)工作條件下的機器人關(guān)節(jié)溫度變化模型：

(7)

式中，t為運行時間；T(t)為關(guān)節(jié)溫度；Ts為環(huán)境溫度，即關(guān)節(jié)初始溫度；ks為描述關(guān)節(jié)與外界環(huán)境傳熱能力系數(shù)；τf(t)ω(t)為當前時刻關(guān)節(jié)摩擦力矩的產(chǎn)熱功率。

由式(6)可知，關(guān)節(jié)的摩擦力矩會隨溫度的升高而減小。當溫升為ΔT(t)時，式(7)可表示為

(8)

式中，τfs(t)為不考慮溫度影響即環(huán)境溫度Ts下的關(guān)節(jié)摩擦力矩。

當關(guān)節(jié)以固定軌跡連續(xù)運行時，由于軌跡周期tc往往遠小于機器人連續(xù)運行的時間th，因此可將各段的軌跡周期視作th中的一個短暫時刻，tc內(nèi)各時刻的摩擦功率可近似為其平均功率[20，25]：

(9)

軌跡周期tc內(nèi)的溫度變化很小，因此可忽略tc中的關(guān)節(jié)溫度變化。

綜合式(8)、式(9)，可得

(10)

(11)

對式(11)進行拉氏變換可得

(12)

關(guān)節(jié)溫度升高時，各段軌跡周期內(nèi)的平均黏滯摩擦力矩

(13)

(14)

對式(12)、式(13)進行拉式逆變換，得到關(guān)節(jié)溫度變化量和平均摩擦力矩變化量的時域表示形式：

(15)

式(15)描述了環(huán)境溫度相對穩(wěn)定的條件下，機器人在一段連續(xù)時間內(nèi)按照固定軌跡重復(fù)運動時關(guān)節(jié)摩擦力矩的變化，即連續(xù)重復(fù)工作條件下的機器人關(guān)節(jié)摩擦力矩模型。對式(15)中的參數(shù)進行整理，可得

(16)

理論模型(式(16))僅考慮了關(guān)節(jié)機械摩擦產(chǎn)生的熱量。實際應(yīng)用中，機械摩擦不是關(guān)節(jié)產(chǎn)熱的唯一因素，因此需要對關(guān)節(jié)的其他熱源進行分析，探究不同熱源對關(guān)節(jié)升溫的影響。

機器人電機等組件的產(chǎn)熱成因復(fù)雜，具體數(shù)值的計算難度較大，也超出了本文的研究范圍，且受限于實驗條件，對發(fā)熱量進行直接測量也不現(xiàn)實，因此，本文基于前人的研究，對連續(xù)運轉(zhuǎn)下的關(guān)節(jié)熱源進行近似估計。

關(guān)節(jié)運行時，伺服電機存在損耗，且大部分最終轉(zhuǎn)化為熱量。電機損耗主要包括鐵耗、銅耗、渦流損耗、雜散損耗、機械損耗等。除銅耗外，鐵耗、渦流損耗和雜散損耗等受電機電流變化影響較小，機器人按照給定軌跡連續(xù)運行時，其電機平均速度基本不變，上述損耗基本恒定。

電機銅耗與導(dǎo)體電阻和電機電流有關(guān)。永磁直流電機的銅耗為

(17)

式中，Im為電機繞組電流；Rm為導(dǎo)體電阻。

機器人帶載工作時，其銅耗約占總損耗的50%[26]，摩擦力矩約占總力矩的20%[27]。假設(shè)摩擦力矩減小30%，總力矩減小6%，此時的電機繞組電流則降為先前的94%。由式(17)可知，此時電機銅耗減小約12%，總損耗減小約6%。

(18)

此時，關(guān)節(jié)溫度與摩擦力矩的時域變化形式為

(19)

對于連續(xù)工作的機器人關(guān)節(jié)而言，可通過式(19)估計關(guān)節(jié)摩擦力矩隨運行時間的變化，從而避免對關(guān)節(jié)溫度的直接測量。

3 模型驗證實驗

3.1 實驗方案設(shè)計

為驗證摩擦力矩模型的正確性，需測量連續(xù)工作的機器人關(guān)節(jié)摩擦力矩。機器人關(guān)節(jié)的輸出力矩包括摩擦力矩和驅(qū)動關(guān)節(jié)運動力矩[13]。單個機器人關(guān)節(jié)的輸出力矩為

Jβ=τm-τf+τg

(20)

式中，J為關(guān)節(jié)折算轉(zhuǎn)動慣量；β為關(guān)節(jié)角加速度；τm為關(guān)節(jié)實際輸出力矩；τf為關(guān)節(jié)摩擦力矩；τg為關(guān)節(jié)需要克服的連桿重力矩。

關(guān)節(jié)的角加速度β與重力矩τg為0時，關(guān)節(jié)實際輸出力矩τm即為摩擦力矩τf。為準確地測量關(guān)節(jié)運動時的摩擦力矩，可使機器人關(guān)節(jié)的軸向與重力方向相同，使式(20)中的τg=0，以消除重力矩的影響。與此同時，驅(qū)動關(guān)節(jié)1做勻速運動，使式(20)中的β=0，以消除關(guān)節(jié)加速度的影響。

實驗所用的機器人是中科深谷六軸串聯(lián)機器人，如圖2所示，其關(guān)節(jié)1的軸向與重力方向相同，因此本文選取關(guān)節(jié)1為研究對象做勻速運動，消除重力矩和關(guān)節(jié)加速度的影響。

圖2 六軸串聯(lián)機器人Fig.2 Six-axis serial robot

為探究不同軌跡下的升溫對摩擦力矩的影響，采用多組不同的軌跡即驅(qū)動關(guān)節(jié)1按照不同的速度連續(xù)勻速運行，研究不同軌跡對應(yīng)摩擦模型效果的異同。高速狀態(tài)下的關(guān)節(jié)啟停會有較大的沖擊，因此選取角速度分別為0.4，0.6，0.8，1.0，1.2，1.4，1.6，1.8，2.0，4.0，6.0，8.0，10.0，20.0，30.0°/s(共15組)進行實驗。

3.2 數(shù)據(jù)采集與處理

驅(qū)動關(guān)節(jié)1按照上述角速度連續(xù)運行，采集對應(yīng)的關(guān)節(jié)輸出力矩，通過溫度傳感器測量關(guān)節(jié)1外殼處的溫度，采集間隔為5 min。關(guān)節(jié)力矩通過電機電流間接得到，關(guān)節(jié)輸出力矩與電機電流的關(guān)系為

τm=ηkmIm

(21)

式中，η為關(guān)節(jié)減速器減速比；km為伺服電機的轉(zhuǎn)矩常數(shù)，N·m/A。

圖3所示為關(guān)節(jié)角速度2.0°/s時的關(guān)節(jié)力矩和關(guān)節(jié)角度。通過MATLAB中的巴特沃斯濾波器對采集得到的摩擦力矩進行低通濾波，減小高頻噪聲的影響。低通濾波關(guān)節(jié)往復(fù)運動時的兩段力矩信號后，將其平均值作為該角速度對應(yīng)的關(guān)節(jié)摩擦力矩。

(a)輸出力矩

(b)關(guān)節(jié)角度圖3 2°/s時關(guān)節(jié)輸出力矩與關(guān)節(jié)角度Fig.3 Joint output torque and joint angle at 2°/s

4 實驗結(jié)果分析

4.1 關(guān)節(jié)升溫效果

為探究不同工作條件下的關(guān)節(jié)產(chǎn)熱量，分別使機器人關(guān)節(jié)以0.4°/s、2.0°/s、20.0°/s的角速度連續(xù)運行，以5 min為間隔測量關(guān)節(jié)1外殼處溫度。為驗證理論模型的正確性，對采集得到的溫度進行擬合。圖4所示為關(guān)節(jié)外殼實際升溫，以及基于式(16)所得的升溫擬合曲線。

圖4 關(guān)節(jié)升溫情況Fig.4 Temperature rise of joints

關(guān)節(jié)角速度分別為0.4°/s、2.0°/s、20.0°/s時，實測溫度與擬合曲線對應(yīng)溫度的均方差(RMS)分別為0.0508 ℃、0.0627 ℃、0.1088 ℃。實測溫度基本符合式(16)中的理論模型，驗證了該模型的正確性。

4.2 關(guān)節(jié)摩擦力矩變化效果

為探究連續(xù)運轉(zhuǎn)狀態(tài)下摩擦力矩的變化，讓機器人按15個不同的關(guān)節(jié)角速度連續(xù)運行115 min，以5 min為間隔采集關(guān)節(jié)力矩(每組速度的關(guān)節(jié)力矩有24個測量值)。

圖5所示為不同轉(zhuǎn)速的實測摩擦力矩?；谀Σ聊Ｐ?式(4))，對實測數(shù)據(jù)進行最小二乘擬合，發(fā)現(xiàn)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速小于1°/s時摩擦力矩出現(xiàn)Stribeck現(xiàn)象；關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速大于1°/s時摩擦力矩基本符合關(guān)節(jié)摩擦模型。機器人實際平穩(wěn)運行時的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速一般遠大于1°/s，因此可以忽略其Stribeck現(xiàn)象。

圖5 摩擦力矩與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速Fig.5 Friction torque and joint speed

為對假設(shè)(式(6))進行驗證，分別對2.0°/s、20.0°/s轉(zhuǎn)速下的摩擦力矩隨溫度的變化進行最小二乘擬合。由圖6可知，當關(guān)節(jié)溫度在17～26 ℃范圍內(nèi)變化時，盡管摩擦力矩與溫度變化成非線性關(guān)系，但摩擦力矩-溫度曲線的斜率變化不大。因此簡化模型時可將摩擦力矩和溫度變化近似為線性關(guān)系。

圖6 摩擦力矩與溫度變化情況Fig.6 Friction torque and temperature change

根據(jù)式(16)對關(guān)節(jié)角速度對應(yīng)的摩擦力矩進行最小二乘擬合。由圖7可知，當關(guān)節(jié)以10°/s的角速度連續(xù)運行時，關(guān)節(jié)摩擦力矩隨時間的增長而減小，實測摩擦力矩與擬合曲線對應(yīng)摩擦力矩的均方差為0.0283 N·m。實測摩擦力矩基本符合理論模型(式(16))，驗證了該模型的正確性。

圖7 10°/s時摩擦力矩隨時間的變化Fig.7 Friction torque changes with time at 10°/s

驅(qū)動機器人按照不同速度連續(xù)運行，記錄各時間點對應(yīng)的摩擦力矩，可得不同角速度和運行時間對應(yīng)的關(guān)節(jié)摩擦力矩，按照式(16)對每個角速度對應(yīng)的摩擦力矩進行最小二乘擬合。

圖8所示為關(guān)節(jié)角速度1～30°/s內(nèi)，摩擦力矩隨時間的變化，圖中的淺色部分為實測摩擦力矩，深色部分為擬合摩擦力矩。速度范圍(1～30°/s)內(nèi)，實測摩擦力矩曲面與理論模型(式(16))的擬合曲面基本一致。

圖8 摩擦力矩擬合值和實測值Fig.8 Fitted and measured values of friction torque

4.3 模型驗證

為進一步驗證摩擦模型，探究機器人完成復(fù)雜動作時的關(guān)節(jié)輸出力矩，設(shè)計了非勻速軌跡對上述摩擦模型進行驗證。

基于機器人動力學(xué)模型的前饋控制中，關(guān)節(jié)前饋力矩的預(yù)測精度對控制精度有較大影響，因此，為驗證式(16)中的模型效果，驅(qū)動全部關(guān)節(jié)按隨機生成的五階傅里葉級數(shù)運動，關(guān)節(jié)1的軌跡如圖9所示。

圖9 關(guān)節(jié)1驗證軌跡Fig.9 Verification trajectory of joint 1

關(guān)節(jié)1的輸出力矩包含摩擦力矩、連桿本身運動所需力矩和其他連桿的間接作用力矩。圖10所示為機器人由0 min連續(xù)運轉(zhuǎn)至115 min時，驗證軌跡下關(guān)節(jié)1的預(yù)測力矩和實測力矩。值得注意的是，該隨機驗證軌跡部分時刻的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速不平穩(wěn)，導(dǎo)致力矩測量值不夠精確，因此其驗證效果要稍遜于平穩(wěn)運行時的效果。

圖10 驗證軌跡下的關(guān)節(jié)力矩Fig.10 Joint torque under the verify trajectory

5 結(jié)論與展望

本文提出了固定軌跡連續(xù)運轉(zhuǎn)狀態(tài)下的機器人關(guān)節(jié)摩擦力矩模型。該模型可在無需對關(guān)節(jié)溫度進行測量或預(yù)測的前提下，探究溫度變化對關(guān)節(jié)摩擦力矩的影響，并通過實驗驗證了摩擦模型的可行性，因此該模型可較為準確地描述關(guān)節(jié)連續(xù)運行時摩擦力矩逐漸減小的現(xiàn)象。在實際生產(chǎn)應(yīng)用中，對于連續(xù)重復(fù)運動的串聯(lián)機器人，可基于該模型對摩擦力矩的變化進行預(yù)測。

關(guān)節(jié)發(fā)熱的原因較為復(fù)雜，難以通過數(shù)學(xué)模型進行準確描述，為簡化模型，將運行時的電機損耗等產(chǎn)熱功率看作為常量。本文模型忽略了低速狀態(tài)下的Stribeck現(xiàn)象和加減速度較大時的摩擦遲滯、沖擊負荷，因此本文模型僅適用于關(guān)節(jié)速度變化較為平穩(wěn)的非低速狀態(tài)。