陳 豐

(江蘇省北京師范大學(xué)淮安學(xué)校 223001)

所謂反例法，即使用與原本的知識和概念相反的命題來佐證原命題的正確性.初中數(shù)學(xué)教師在課堂中巧妙地應(yīng)用反例法教學(xué)，可以幫助學(xué)生辯證的看待問題，加深其對數(shù)學(xué)概念的理解和認(rèn)識，有助于拓展其視野，同時，在辯證中發(fā)展創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維、提升其邏輯思維能力.筆者根據(jù)自己多年的教學(xué)經(jīng)驗，從引發(fā)屬性理解、開闊視野、縝密思維、建立表象、糾正錯誤、逆向推理等幾個方面入手，談一談自己在這方面的教學(xué)心得.

1 抓取關(guān)鍵信息，理解屬性

學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)知識，真正地理解和掌握數(shù)學(xué)概念，最重要的是認(rèn)清和理解好數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性.唯有這樣，學(xué)生才能真正走進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)在，感悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識也才會得心應(yīng)手.在教材中，數(shù)學(xué)概念的闡述往往都是正面表述，學(xué)生學(xué)習(xí)過程中很容易錯過關(guān)鍵特征而造成認(rèn)識不清，導(dǎo)致解題時張冠李戴.而在課堂中，教師利用反例法教學(xué)數(shù)學(xué)概念，可以幫助學(xué)生抓取概念中的關(guān)鍵信息，真正理解和掌握概念的屬性，從而提升數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)效率.

比如，在教學(xué)《認(rèn)識三角形》這節(jié)內(nèi)容時，有相當(dāng)一部分學(xué)生對三角形的概念有一定的誤解，他們簡單地認(rèn)為三角形是由三條線段構(gòu)成的，而忽略了其中的兩個關(guān)鍵信息“不在同一直線”和“首尾相連”.為了及時矯正學(xué)生們的這一片面認(rèn)知，我設(shè)計了幾個反面的實例圖形：第一個圖形是其中有兩條線段是交叉連接的，第二個圖形是三條平行的線段，第三個圖形是三條線段的一端重合在一起，第四個圖形是有兩條線段的首尾沒有連接在一起.我向?qū)W生們提出問題“這幾個圖形是否為三角形？” 學(xué)生們很容易看出這幾個圖形并不是三角形，但是它們也確實是由三條線段構(gòu)成，從而對三角形的概念有了深刻的認(rèn)識，明確了“不在同一直線”和“首尾相連”這兩個關(guān)鍵信息是缺一不可的.能夠捕獲關(guān)鍵信息是學(xué)生正確解題的重要保證，也是學(xué)生綜合能力的體現(xiàn).在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中利用反例法教學(xué)，不僅可以幫助學(xué)生抓住概念中的關(guān)鍵信息，理解屬性，提升對概念的理解和記憶，還能幫助學(xué)生在正反案例的沖突中，提升思維能力.

2 拓展內(nèi)涵外延，開闊視野

數(shù)學(xué)中很多的概念、定理、性質(zhì)、公式、法則皆有它成立的前提和其適宜使用的局限范圍，很多學(xué)生正是因為忽視了概念、定理、公式、法則等成立的條件，在運(yùn)用時才會漏洞百出.如果我們教師在進(jìn)行這些概念、定理、性質(zhì)、公式、法則教學(xué)時，不細(xì)心剖析和指導(dǎo)，學(xué)生很容易忽視這些條件限制，導(dǎo)致應(yīng)用時凌駕于范疇之外，造成嚴(yán)重錯誤，這不僅會導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)解題效率的下降，更會弱化學(xué)生的學(xué)習(xí)自信.因此，教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師可以提供一些供學(xué)生判斷的反面案例，以拓展內(nèi)涵外延，開闊學(xué)生的視野，加深對數(shù)學(xué)知識的理解.

3 進(jìn)行想象發(fā)散，縝密思維

學(xué)生思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要循循善誘地傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)新知，更要不留痕跡地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.初中生由于其尚未建立完善的數(shù)學(xué)體系，思考問題往往比較片面，不利于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)成績的提高.因此，教學(xué)中，為了提升初中生思維的縝密性，可以考慮引導(dǎo)其利用想象來構(gòu)建反例，指引其考慮反例的各種可能性，以此來鍛煉初中生發(fā)散性思維，并且提升其思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

比如，在教授《有理數(shù)和無理數(shù)》這節(jié)內(nèi)容時，為了幫助學(xué)生更好地理解有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)和概念，幫助他們形成縝密的數(shù)學(xué)思維，我設(shè)計了這樣一組思考性的數(shù)學(xué)題目：任意兩個無理數(shù)，他們的和或者差是否一定是無理數(shù)？任意兩個無理數(shù)乘以或者除以一個無理數(shù)的結(jié)果是否一定是無理數(shù)？任何一個無理數(shù)加上或者減去一個有理數(shù)，計算結(jié)果是否一定是無理數(shù)？無理數(shù)乘以或者除以一個除零外的有理數(shù)，結(jié)果是否一定是無理數(shù)？這組題目其實就是要引導(dǎo)學(xué)生通過自己的想象構(gòu)建反例，來對題目進(jìn)行否定，如果能成功找出反例，即該命題不成立，如果窮其所思也找不出一條反例，則該命題成立.其實對于這種題目往往具有一定的競技性，學(xué)生們都想找出一個否定的答案來，因而參與度也很高.顯然，通過這種引導(dǎo)學(xué)生通過想象和思考構(gòu)建反例的學(xué)習(xí)方式，不僅很受學(xué)生歡迎，可以很好地提升課堂的活躍度，還可以鍛煉初中生全面思考問題的能力，養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.

4 形成鮮明對比，建立表象

數(shù)學(xué)中很多知識和概念都是抽象的，這也是制約學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績提升的原因之一.若在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師只是一味地從正面進(jìn)行闡述，學(xué)生很難真正領(lǐng)悟知識的內(nèi)涵與外延，自然也就難以游刃有余地運(yùn)用知識.而憑借學(xué)生們都能夠感知的實物來構(gòu)造反例，使抽象的概念具體化、形象化，可以給學(xué)生呈現(xiàn)鮮明的對比，讓其更好地理解和掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，從而提升數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率.

比如，在學(xué)習(xí)《探索平行線的性質(zhì)》這一節(jié)內(nèi)容時，為了讓學(xué)生認(rèn)識和探索到“兩條直線平行同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)”這一基本真相，我在黑板上畫出兩條平行的直線被一直線所截，同時又畫出幾條與之不平行的方向不同的直線作為反面圖形案例，讓學(xué)生對比它們的同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角.同時我還用多媒體展示了一組圖片，泳池中的隔欄、火車的軌道等生活中應(yīng)用平行線性質(zhì)的實例，再讓他們想象一下若這些不做成平行線會發(fā)生什么狀況.接著，我讓學(xué)生們親自測量，并且通過實例的正反面的鮮明對比，建立表象，他們很快就認(rèn)識和理解了這一平行線的性質(zhì).通過聯(lián)系實際的正反案例的對比，將抽象的知識形象化、具體化，這樣學(xué)生很容易在腦海中建立表象，從而更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識.

5 否定主觀謬論，糾正錯誤

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)歷程中，時常會有學(xué)生只憑自己的主觀臆想就隨意地得出一個不正確的論斷，而不自知.為了規(guī)避此種錯誤的頻繁發(fā)生，幫助學(xué)生主動否定自己的主觀謬論，及時糾正自己的錯誤認(rèn)知，教學(xué)中，可以考慮使用反例法，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤，提高數(shù)學(xué)思維能力，加深對同類知識的理解和認(rèn)識，避免同類錯誤屢次發(fā)生.

6 進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，逆向推理

反例是傾覆錯誤認(rèn)識和錯誤答案最直接且有成效的手段，因此，在實際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要積極采用反例法，幫助學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，形成逆向推理思維，更全面地考慮數(shù)學(xué)問題.

例如，在學(xué)習(xí)《全等三角形》這一章節(jié)內(nèi)容時，遇到這樣一個題目：兩個三角形的三個角對應(yīng)相等，這兩個三角形是全等三角形嗎？學(xué)生們很容易將之判斷為全等三角形，并且自己用筆畫出了兩個全等的三角形.我并沒有馬上對他們進(jìn)行否定，而是假設(shè)他們是正確的，然后讓他們改變其中一個三角形的邊長，再試著看看這兩個三角形同樣也是三個角對應(yīng)相等，是否還為全等三角形？學(xué)生們很快就發(fā)現(xiàn)他們之前的認(rèn)識是錯誤的，要確定兩個三角形是否為全等三角形除了要考慮角度問題，還要考慮邊長的問題，他們之前就是太武斷了，沒有查找反例，逆向推理進(jìn)行探究性學(xué)習(xí).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師要積極引導(dǎo)學(xué)生通過反例例證自己的觀點和論題，從而提升學(xué)生的逆向邏輯思維能力，提高對數(shù)學(xué)題目判斷的準(zhǔn)確率，真正實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的飛速發(fā)展.

總而言之，應(yīng)用反例來建構(gòu)初中數(shù)學(xué)課堂，對初中生思維的發(fā)展、對數(shù)學(xué)知識的理解和把握都具有不可磨滅的作用，也是學(xué)生數(shù)學(xué)能力得以發(fā)展的重要渠道.因此，在實際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該積極地將這種教學(xué)方法運(yùn)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，幫助初中生更全面地考慮數(shù)學(xué)問題，更深刻地認(rèn)識和掌握數(shù)學(xué)知識，提升思維的創(chuàng)造意識和邏輯能力，從而為構(gòu)建高品質(zhì)數(shù)學(xué)課堂奠定基石.