儲(chǔ)貽達(dá)，徐 維，周彥樺，張學(xué)鋒

(重慶大學(xué)物理學(xué)院 重慶 沙坪壩區(qū) 401331)

量子計(jì)算能降低算法的時(shí)間復(fù)雜度，有望大幅提升算力。然而，就目前而言，大量量子比特糾纏在技術(shù)上仍面臨巨大挑戰(zhàn)。因此，在相當(dāng)長的一段時(shí)間內(nèi)，量子計(jì)算機(jī)的下一步發(fā)展可能更傾向于有一定噪聲的中型量子計(jì)算機(jī)，其對(duì)應(yīng)的算法為嘈雜中型量子算法(noisy medium-scaled quantum algorithm, NISQ)[1-2]。其量子比特?cái)?shù)有限，沒有可靠的糾錯(cuò)方案，因此存在一定的噪聲，在這種設(shè)備上，某些經(jīng)典量子混合算法可能具有巨大優(yōu)勢(shì)。經(jīng)典量子混合算法是將算法的一部分運(yùn)行在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上，其他部分運(yùn)行在量子計(jì)算機(jī)上，要在NISQ 上具有優(yōu)勢(shì)就要求算法不需要太多的量子比特，且能容忍一定噪聲。變分量子本征求解器(variational quantum eigensolver, VQE)正是這樣一類算法[3]。

VQE 在量子計(jì)算機(jī)編碼波函數(shù)擬設(shè) |ψ〉，再用經(jīng)典計(jì)算機(jī)優(yōu)化 |ψ〉中的變分參數(shù)，從而通過降低哈密頓量H的期望達(dá)到計(jì)算最小本征值E0的目的[4]。當(dāng)利用變分原理計(jì)算分子或材料的基態(tài)時(shí)，在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上會(huì)遇到多體波函數(shù)隨系統(tǒng)大小指數(shù)增大導(dǎo)致無法精確模擬的問題。但是，由于VQE 對(duì)于系統(tǒng)基態(tài)的擬設(shè)是在量子計(jì)算機(jī)上完成的，其時(shí)間復(fù)雜度僅是多項(xiàng)式級(jí)的。并且，作為變分算法，其對(duì)于噪聲具有一定的抵抗能力。當(dāng)量子計(jì)算機(jī)硬件進(jìn)一步提高可糾纏量子比特?cái)?shù)量，或減少噪聲后，VQE 算法有望使NISQ 呈現(xiàn)出更強(qiáng)的算力，完成量子計(jì)算機(jī)發(fā)展的階段性目標(biāo)。VQE算法已經(jīng)通過離子阱量子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)了對(duì)水的基態(tài)能的計(jì)算[5]，激發(fā)態(tài)VQE 則用于研究多體局域化[6]，多態(tài)收縮VQE 則用于研究電子躍遷過程[7]。

此外，VQE 算法在NISQ 上有望解決量子化學(xué)中一些較大分子的基態(tài)問題，而傳統(tǒng)算法由于原子數(shù)過多，希爾伯特空間太大，無法在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上精確求解。但隨著分子體系的增大，VQE 方法所需的量子線路的復(fù)雜度和變分參數(shù)的數(shù)目也會(huì)隨之增大，導(dǎo)致VQE 算法的收斂速度及有效性受到影響。目前有一些開源平臺(tái)上集成了VQE，可以直接在它們的函數(shù)庫上完成VQE 的模擬。本文在mindquantum 平臺(tái)[8]上基于VQE 嘗試使用變分量子虛時(shí)演化算法來更新參數(shù)，并結(jié)合優(yōu)化UCC(unitary couple cluster)擬設(shè)來設(shè)計(jì)量子線路，構(gòu)造一種有效快速的量子基態(tài)能求解器。

1 表象選擇

為了方便表示哈密頓量，需要選擇一個(gè)合適的表象，因?yàn)樵诤线m的表象下處理所需要考慮的希爾伯特空間的維度會(huì)大大降低，從而大幅降低計(jì)算所需的資源消耗。通常采取的表象有：STO、GTO、STO-nG 等[9]。對(duì)于小分子而言，STO-3G 是最廣泛使用的表象。雖然STO-3G 是最普適的一組基矢，但是針對(duì)特定的分子而言，肯定有著比STO-3G 更加合適的表象。為了得到這個(gè)表象，本文對(duì)哈密頓量進(jìn)行預(yù)處理。

首 先 使 用 如 CCSD(coupled cluster single and double excitation)[10]之類的經(jīng)典方法得到體系的單電子約化密度矩陣 ρ ， ρ 是 一個(gè)n×n的 矩陣，n是分子軌道的數(shù)目。為了消減活躍空間(active space)的大小，對(duì)單電子約化密度矩陣進(jìn)行對(duì)角化：

這樣就完成了從STO-3G 表象到新的基底表象的變換。將新的基底稱之為自然分子軌道(natural molecular orbitals)[11]，V是基底間的變換矩陣，D是在自然分子軌道下的單電子約化密度矩陣。當(dāng)然，借助幺正變換V分子哈密頓量也需要在自然分子軌道表象中寫出。對(duì)于對(duì)角矩陣D， 其對(duì)角元Dii稱之 為 自 然 軌 道 占 據(jù) 數(shù)(natural orbital occupation numbers)，它的大小就表示該軌道下的平均占據(jù)數(shù)。如果對(duì)角元大于某個(gè)閾值χmax，則可以視為該自然軌道必然被占據(jù)。反之如果對(duì)角元小于某個(gè)閾值 χmin，則可以視為該自然軌道零占據(jù)。所以，在接下來的量子基態(tài)能變分求解中，本文只保留Dii∈[χmin,χmax]所對(duì)應(yīng)的軌道。這樣一來，活躍空間的維度便降低了。這使得在后續(xù)的變分算法中，不僅簡化了所需的哈密頓量的項(xiàng)數(shù)，而且變分參數(shù)和量子線路的比特?cái)?shù)也能夠得到有效的減少。

2 UCC 擬設(shè)

2.1 基本原理

UCC 來自經(jīng)典的couple cluster ansatz，最早出現(xiàn)于核物理的計(jì)算，后廣泛應(yīng)用于量子化學(xué)的計(jì)算[12]，它是一種對(duì)于多體波函數(shù)形式的假設(shè)，具體表示為：

在這個(gè)擬設(shè)下，通過梯度下降之類的方法優(yōu)化參數(shù)c，可以得到高精度的結(jié)果。

2.2 量子線路中的實(shí)現(xiàn)

量子邏輯門是幺正的，因此，實(shí)現(xiàn)的 eT也是幺正的，所以：

即unitary couple cluster ansatz。從算符上來說，它只包含費(fèi)米子產(chǎn)生湮滅算符。

在量子計(jì)算機(jī)上編碼費(fèi)米子系統(tǒng)可以采用Jordan-Wigner 變換[13-14]，將產(chǎn)生湮滅算符表示如下：

式中， θn為 一個(gè)實(shí)數(shù)；an∈{x,y,z}標(biāo)記不同的泡利矩陣；bn為互不相同的各個(gè)軌道。其中不同項(xiàng)之間，同軌道的算符必然同為 σz或 都不為 σz，因此它們之間的對(duì)易關(guān)系只取決于σxσy。計(jì)算可得到上式中任意泡利算符鏈的對(duì)易[12]：

圖1 量子線路圖

2.3 優(yōu)化

在文獻(xiàn)[15]中，T只保留兩體項(xiàng)和四體項(xiàng)，根據(jù)參考態(tài)，將軌道分為占據(jù)道和虛軌道的算法稱為UCCSD(unitary couple clustersingle and double)，不 分 軌 道 的 稱 為UCCGSD(unitary couple cluster general single and double)。UCCSD 的 線 路 深 度為 (N?η)2η ，而UCCGSD 的 線 路 深 度 為N3， η是電子數(shù)，N是軌道數(shù)，往往是 η的幾倍，因此UCCSD 需優(yōu)化的參數(shù)大量減少，線路深度也大大減少。

3 變分虛時(shí)演化算法

除了前面所提到的基于UCC 的ansatz 線路的構(gòu)建，還需要一個(gè)有效的算法來完成變分過程以得到分子的基態(tài)。在傳統(tǒng)的VQE 算法中常常使用一些梯度算法達(dá)到這一目的，而本文運(yùn)用虛時(shí)演化的方法更好地完成了變分過程。

虛時(shí)演化方法是研究量子體系的強(qiáng)大工具，除了可以視為配分函數(shù)研究系統(tǒng)的熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)外，還可以用來計(jì)算多體系統(tǒng)Hamiltonian 的基態(tài)問題。如對(duì)于一個(gè)分子體系，如果給定一個(gè)任意初始態(tài) |ψ〉，那么其虛時(shí)演化態(tài)可以定義為：

VITE 算法設(shè)想在量子線路中，運(yùn)用含參的量子 態(tài) |?(θ(τ))〉模 擬 得 到 演 化 態(tài)，其 中θ(τ)={θ1(τ),θ2(τ),···,θN(τ)}。而這樣一來就可以運(yùn)用量子門在量子線路上制備這一含參態(tài)。具體做法是將一系列的量子門

作用在初始態(tài)零態(tài) |0ˉ〉 上 ，即 |?(θ)〉=V(θ)|0ˉ〉。這 里的V(θ)也就是ansatz 線路。如果對(duì)含參的演化態(tài)運(yùn)用麥克阿蘭變分原理(McLachlan's variational principle)[17-18]：

如 果 將 總的演化時(shí)間 τtotal分 成N份，即τtotal=Nδτ。 將上述操作重復(fù)N次，直至最終的 |?(τ)〉收斂到基態(tài)，進(jìn)而得到基態(tài)能EGround=〈ψ(τ)|H?|ψ(τ)〉。

總之，VITE 算法運(yùn)用參數(shù)化的ansatz 線路來得到含參的演化態(tài)，借助麥克阿蘭變分原理將虛時(shí)演化的過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)在量子線路上實(shí)現(xiàn)的演化過程，并最終給出了ansatz 線路的參數(shù)更新所需滿足的要求。

4 算法結(jié)果

本文運(yùn)用上述算法對(duì)LiH 分子基態(tài)能進(jìn)行求解。首先選取鍵長為4.0 埃的LiH 分子，借助openfermionpyscf 函數(shù)庫[19]得到其在STO-3G 基矢下的哈密頓量H以及通過FCI 方法得到的基態(tài)能的精確解EFCI。按照第二章所說的方法，分析單電子約化密度矩陣ρ，設(shè)置自然軌道占據(jù)數(shù)的最小閾值χmin=10?4和最大閾值 χmax=1.999 5。經(jīng)過預(yù)處理后，將原有哈密頓量從6 個(gè)分子軌道簡化為只有2 個(gè)分子軌道。借助Mindquantum 函數(shù)庫[8]構(gòu)建一個(gè)UCCSD 的量子線路作用于活躍空間占據(jù)的參考態(tài)上。

經(jīng)過分子哈密頓量簡化后得到的量子線路深度大大降低，并且所需要變分的參數(shù)和量子比特?cái)?shù)也大幅下降，如表1 所示。接下來運(yùn)用梯度下降算法來完成變分求解基態(tài)。圖2 給出了每一步變分迭代的能量和EFCI能量的比值。可以看到，雖然運(yùn)用簡化后的哈密頓量得到的UCCSD ansatz 的線路來完成基態(tài)能變分求解，但與簡化前的結(jié)果相比，并沒有在最終的能量上損失太多精度。此外，對(duì)于簡化前的變分求解，在合適的區(qū)間內(nèi)學(xué)習(xí)率的大小與算法的收斂速度成正比。但是過大的學(xué)習(xí)率會(huì)給參數(shù)學(xué)習(xí)過程帶來波動(dòng)，這是因?yàn)樘荻认陆邓惴〞?huì)隨之增大而失去方向性，使得參數(shù)的優(yōu)化朝著錯(cuò)誤的方向進(jìn)行。而簡化后得到的UCCSD 線路所需優(yōu)化的參數(shù)數(shù)目大幅下降，使得變分算法的參數(shù)空間更簡單，因此可以在梯度下降的時(shí)候選取更大的學(xué)習(xí)率。這樣不僅使得每一步迭代所需的計(jì)算時(shí)間減少，且迭代收斂更快。但由于梯度算法的限制，本文發(fā)現(xiàn)更大的學(xué)習(xí)率仍然會(huì)導(dǎo)致波動(dòng)。以上的結(jié)果 驗(yàn)證 了 在選 取 合適 的 截?cái)?閾 值 χmin和 χmax情況下，可使用更簡單的量子線路更快完成基態(tài)變分求解。

表1 簡化哈密頓量前后的ansatz 線路復(fù)雜度對(duì)比

圖2 簡化哈密頓量前后的收斂結(jié)果

除此之外，針對(duì)上述的LiH 分子，本文還基于Mindquantum 函數(shù)庫實(shí)現(xiàn)變分虛實(shí)演化算法結(jié)合簡化后的UCC ansatz 線路來完成分子基態(tài)的求解。圖3 給出了VITE 算法在不同的 δτ的情況下，每一步變分迭代的能量與EFCI能量的比值以及梯度下降算法所得到的比值。結(jié)果顯示，VITE 算法不僅可以有效計(jì)算得到分子的基態(tài)能，還可以比梯度下降算法更快收斂到基態(tài)。由于VITE 基于虛時(shí)演化的原理，所以基于VITE 算法得到的每一步參數(shù)的更新具有明確的方向性，不再受參數(shù)空間的梯度分布的影響。這使得即使用更大的更新步長即 δτ來減少收斂所需的更新次數(shù)，也不會(huì)導(dǎo)致收斂過程產(chǎn)生波動(dòng)。

圖3 運(yùn)用VITE 算法更新參數(shù)的收斂結(jié)果

5 結(jié) 束 語

本文針對(duì)量子化學(xué)中的分子體系基態(tài)求解問題，提出了一種基于VQE，將單電子約化密度矩陣分析、變分虛時(shí)演化和UCC ansatz 量子線路相結(jié)合的變分量子基態(tài)求解器。該求解器通過分析分子體系的活躍空間簡化了體系的哈密頓量，進(jìn)而優(yōu)化了UCC ansatz 線路的構(gòu)造。并且在傳統(tǒng)VQE 算法基礎(chǔ)上引入變分虛時(shí)演化算法，使其可以更快地收斂得到基態(tài)。該變分基態(tài)求解器的算法框架具有普適性，可以將其擴(kuò)展到更多的量子多體體系的基態(tài)求解問題上，進(jìn)而探究其中的物理特性。