吳國強

（湖州職業(yè)技術學院，浙江湖州 313000）

1 引言

冗余機械臂可以實現機械臂對避障、避奇異、容錯控制等特殊需求，但是其運動學逆解和軌跡優(yōu)化研究也帶來了困難。

機械臂不同的運動軌跡具有不同的平滑性和沖擊性，進而影響機械臂的驅動能耗、工作效率、使用壽命、運行平滑性和振動性等[1]。因此研究冗余機械臂的軌跡優(yōu)化問題具有重要的實際應用價值。

機械臂軌跡規(guī)劃是機械臂運動控制的基礎，根據不同的性能需求，軌跡優(yōu)化指標包括時間最優(yōu)、能耗最優(yōu)、沖擊最小以及多指標結合的綜合優(yōu)化等[2]。

根據工作空間的不同，機械臂軌跡規(guī)劃分為笛卡爾空間和關節(jié)空間兩類[3]，兩者之間通過運動學正解和逆解可以相互轉換，這里研究的是關節(jié)空間軌跡的綜合優(yōu)化問題。

軌跡的綜合優(yōu)化主要包括兩種思路，一是使用加權系數法將多個目標轉化為單目標優(yōu)化問題，通過調整不同目標的權系數來調整優(yōu)化重心[4]；二是使用非支配排序思想得到Pareto前沿解[5]，而后依據優(yōu)化需求從Pareto解集中選擇優(yōu)化解。本質上講，兩種優(yōu)化方法均存在優(yōu)化取舍的過程。文獻[6]考慮機械臂運動學、力矩和載荷約束，使用三次多項式作為關節(jié)空間基軌跡，使用遺傳算法規(guī)劃了時間最優(yōu)軌跡，依據實驗驗證了該方法的有效性。文獻[7]考慮機械臂重載情況下的運動約束，使用加權系數法建立了時間?加加速度的綜合優(yōu)化模型，提出了自適應遺傳算法的模型求解方法，仿真結果驗證了算法的有效性。文獻[8]建立了調姿時長和能量消耗的加權目標函數，提出了基于動力學RRT*算法的自由漂浮空間機器人軌跡規(guī)劃方法，仿真結果表明該方法可以快速地生成自由漂浮機器人的運動軌跡。

總的來說，一般將機械臂軌跡規(guī)劃問題通過建模轉化為帶約束的優(yōu)化問題，而優(yōu)化算法的優(yōu)化能力成為決定解質量的關鍵，因此關于優(yōu)化算法的研究是機械臂軌跡規(guī)劃的一個焦點。

這里針對冗余機械臂的軌跡優(yōu)化問題，建立了以減小工作時間和沖擊為目標的優(yōu)化模型。使用增廣拉格朗日乘子法將約束優(yōu)化問題轉化為無約束優(yōu)化問題，提出了多學習行為粒子群算法的求解方法，達到了減小工作時間和運動沖擊的目的。

2 問題描述與建模

2.1 冗余機械臂介紹

這里研究對象為7自由度冗余機械臂，其構型，如圖1（a）所示。實物，如圖1（b）所示。圖中坐標系(x0，y0，z0)為基坐標系，坐標系(xi，yi，zi)，i=1～7為7個關節(jié)坐標系，其中坐標系(x7，y7，z7)為機械臂末端執(zhí)行器坐標系。圖1 中參數θi為關節(jié)i的轉動角度；αi為扭角，表示沿Xi?1軸從Zi?1轉動到Zi的角度；ai為連桿i的長度，di為偏置量。

圖1 7自由度機械臂構型圖Fig.1 The Configuration of the 7?DOF Manipulator

所研究機械臂的構型參數，如表1所示。

表1 機械臂構型參數Tab.1 The Configuration Parameters of the Manipulator

2.2 問題描述與模型建立

根據機械臂的活動范圍、障礙物分布及任務需求，在笛卡爾空間為機械臂規(guī)劃出若干個必經的軌跡點，記為P0，P1，P2，…，PM，其中P0為機械臂的初始位姿，PM為最終位姿，P1～PM?1為中間軌跡點的位姿。使用文獻［9］給出的冗余機械臂逆運動學求解法，可以將笛卡爾空間點轉化為關節(jié)空間點，記為θ0，θ1，θ2，…，θM。由于研究對象為7自由度機械臂，則每個關節(jié)空間點θm由7個關節(jié)角組成，記為θm=(θm1，θm2，…，θm7)。

機械臂關節(jié)空間軌跡規(guī)劃描述為：通過優(yōu)化機械臂到達各軌跡點的時間點tm，m=1，2，…，M，實現機械臂工作時間短和運動沖擊小的目標。將關節(jié)m的空間軌跡記為Qm(t)，使用加權系數法將兩個優(yōu)化目標轉化為一個，為：

式中：minf—目標函數；KT—時間權值；KJ—沖擊權值，且KT+KJ=1；α—調節(jié)系數，將時間參數與沖擊參數調節(jié)在同一數量級；tM—機械臂工作時間；Q…m(t)—軌跡dQm(t)的3 階導數。

優(yōu)化的約束條件包括轉動角速度約束、轉動角加速度約束及轉角沖擊約束等，即：

式中：Vmmax—關節(jié)m的最大轉動角速度；Ammax—關節(jié)m的最大轉動角加速度；Jmmax—關節(jié)m可承受的最大轉角沖擊。

綜合式（1）與式（2），即為冗余機械臂軌跡優(yōu)化的帶約束優(yōu)化模型。

2.3 軌跡插值函數

三次樣條插值函數具有簡單易實現、可以克服軌跡點間的過度振蕩和沖擊等優(yōu)勢，因此這里使用三次樣條插值函數作為軌跡插值函數。在前文中，M?1 個時間點將[t0，tM]劃分為{(t0，t1)，(t1，t2)，…(tM?1，tM)}，共M個時間段。在每個時間段上關節(jié)空間軌跡均為三次函數，且滿足以下條件：

（1）在每個區(qū)間(ti，ti+1)上，S(t)=St(t)均為三次函數；

（2）滿足插值條件，即S(ti)=θ(ti)；

則稱曲線S(t)為三次樣條插值函數。

將S(t)記為一般形式，為：

對于M段插值函數Si(t)，i=1，2，…M，共4M個參數待定，需要4M個方程才能求解。

根據以上4M個等式可以確定4M個未知參數，從而得到三次插值函數。

3 增廣拉格朗日?粒子群算法求解

3.1 帶約束優(yōu)化轉化為無約束優(yōu)化問題

將約束優(yōu)化問題轉化為無約束優(yōu)化問題一般使用罰函數法，但是此方法要求罰因子趨于無窮大或者無窮小才能取得目標函數最值，使得迭代過程收斂較慢，而增廣拉格朗日乘子法可以較好解決這一問題，其核心思想是通過構造外點懲罰函數從而將約束優(yōu)化轉化為非約束優(yōu)化。

這里的約束為不等式約束，因此使用適用于不等式約束的增廣拉格朗日乘子法。

首先給出帶不等式約束的一般優(yōu)化模型，為：

式中：J—不等式約束的數量。使用增廣拉格朗日乘子法可以將其轉化為無約束優(yōu)化問題，為：

式中：x—優(yōu)化變量；λj—約束條件j的拉格朗日乘子；rj—約束條件j的懲罰因子，φj表達式為：

結合式（5）和式（6）可以將約束優(yōu)化問題轉化為無約束優(yōu)化問題。其中拉格朗日乘子λj的迭代公式為：

式中：t—迭代次數。懲罰因子rj的迭代方法為：

式中：εg—描述約束的誤差精度。以上迭代的終止條件為：

式中：ε—收斂精度。

3.2 多學習行為粒子群算法

將粒子規(guī)模記為N，粒子維度記為D，粒子i位置記為Xi=(xi1，xi2，…，xiD)，速度記為Vi=(vi1，vi2，…，viD)，粒子i的歷史最優(yōu)位置記為Pi=(pi1，pi2，…，piD)，粒子群體的最優(yōu)位置記為Pg=(pg1，pg2，…，pgD)，則粒子i搜索過程描述為［10］：

式中：ω—運動慣性；t—迭代次數；

c1、c2—自身學習因子和種群學習因子；

r1、r2—（0，1）間隨機數。

參考生物進化論的思想可知，單一的物種進化方式會極大地降低物種多樣性，從而使算法失去進化能力。為了解決單一進化帶來的問題，這里提出了多樣的進化方式。

（1）依據群體認知獲得進化方向，此時將種群質心位置作為一個進化方向，為：

分析式（11）可知，粒子在自身慣性和質心引導之下進行搜索。

（2）從種群最優(yōu)和其他粒子中獲得進化方向，此時適用于較差粒子，因較差粒子位置不具備參考價值，因此取消慣性作用，為：

式中：i1、i2—種群中任意不相同的兩個個體。

（3）以差分方式從其余粒子中獲得進化方向，即：

式中：i1、i2、i3—種群中任意不相同的三個個體。

3.3 學習行為的價值和選擇

在前文中，新定義了3種粒子學習行為，加上傳統的學習行為，共4種粒子學習行為。每種學習行為的價值依據目標函數值的減少率定義，為：

式中：Vij(k)—粒子i選擇學習行為j的價值；

fj—學習行為j的目標函數。

依據各學習行為的價值構造學習行為的選擇概率，為：

式中：Pij(k)—粒子i選擇學習行為j的概率；

Pmin—最小選擇概率，此參數設置目的是防止某一學習行為的被選概率為0。

按照式（15）計算各學習行為被選概率，按照輪盤賭的規(guī)則確定最終選擇的學習概率，這樣既能夠保證較好學習行為具有最大被選概率，同時能夠保證學習行為的多樣性，從而促進粒子的多樣性。

3.4 增廣拉格朗日-粒子群算法求解流程

按照增廣拉格朗日乘子法和多學習行為粒子群算法的原理，制定基于拉格朗日—粒子群算法的求解流程，如圖2所示。

圖2 求解流程圖Fig.2 Solving Flow

4 實驗驗證

4.1 實驗條件設置

以2.1節(jié)介紹的機械臂為實驗對象，根據任務需要、機械臂活動范圍及障礙物分布，設置7個機械臂的空間軌跡點，如表2所示。由表2中數據可知，關節(jié)2和關節(jié)6的關節(jié)角未發(fā)生變化，為鎖死狀態(tài)。

表2 關節(jié)空間軌跡點Tab.2 Trajectory Points of Joint Space

關節(jié)運動能力參數為：Vmax=3°/s、Amax=3°/s2、Jmax=5°/s3。

拉格朗日乘子初值為：λj=0，j∈[1，7]，初始罰因子為：rj=1000，j∈[1，7]，約束誤差精度為：εg=10?4，收斂精度為：ε=10?4。粒子群算法最大迭代次數為：Kmax=100，粒子數量為40。

4.2 實驗結果與分析

機械臂的最大運行時間為150s，為了進行比較，本文同時使用增廣拉格朗日乘子法?傳統粒子群算法、增廣拉格朗日乘子法?多學習行為粒子群算法對優(yōu)化模型進行求解。

KT取1.0，0.5，0等3種情況，KJ取相應值，α=100。以KT=1為例，此時為純時間優(yōu)化，粒子群算法與多學習行為粒子群算法的求解過程，如圖3所示。

在圖3中，傳統粒子群算法的收斂次數為62次，最優(yōu)結果為74.92s；多學習行為粒子群算法的收斂次數為33次，最優(yōu)結果為73.21s，以上數據說明多學習行為粒子群算法的收斂速度和求解結果均優(yōu)于傳統粒子群算法。

圖3 兩種算法的求解程Fig.3 Solving Process of the Two Algorithms

統計KT取1.0，0.5，0等3種情況下，粒子群算法和多學習行為粒子群算法的優(yōu)化結果，如表3所示。

表3 優(yōu)化結果統計Tab.3 Statistics of the Optimization Result

表3中，當KT=0時為單純的沖擊目標優(yōu)化，此時粒子群算法和改進粒子群算法都將時間優(yōu)化為了最大值，從而得到沖擊最小值，符合常識。

由表3可知，在KT取1.0，0.5兩種情況下，多學習行為粒子群算法優(yōu)化路徑的時間和沖擊均小于傳統粒子群算法。

結合圖3可知，多學習行為粒子群算法的收斂速度也快于傳統粒子群算法。

這是因為改進粒子群算法定義了多種粒子的學習行為，并依據各學習行為的價值確定學習行為的選擇概率，在保證粒子多樣性的同時，能夠選擇粒子進化最快的學習行為，因此改進粒子群算法的收斂速度和優(yōu)化結果均好于粒子群算法。

由于篇幅有限，以KT=0.5為例，得到7個關節(jié)的角位置、角速度、角加速度、角加加速度曲線，傳統粒子群算法規(guī)劃軌跡，如圖4所示。

圖4 傳統粒子群算法的機械臂軌跡Fig.4 Manipulator Trajectory Planned by Traditional PSO

多學習行為粒子群算法規(guī)劃軌跡，如圖5所示。

圖5 改進粒子群算法的機械臂軌跡Fig.5 Manipulator Trajectory Planned by Improved PSO

由于關節(jié)2和關節(jié)6為鎖死狀態(tài)，因此關節(jié)2和關節(jié)6的曲線不再給出。

由圖4、圖5可以看出，當KT=0.5時，使用傳統粒子群算法和多學習行為粒子群算法規(guī)劃的機械臂關節(jié)空間軌跡在角位置、角速度上是平滑的，在角加速度上是連續(xù)的。

在角加加速度方面未超出約束范圍，滿足機械臂關節(jié)空間軌跡的可用條件。但是對比圖4（d）、圖5（d）可知，傳統粒子群算法規(guī)劃的軌跡沖擊明顯大于改進粒子群算法規(guī)劃的軌跡，這是因為傳統粒子群算法進行軌跡規(guī)劃時陷入了局部最優(yōu)，優(yōu)化不夠徹底，而改進粒子群算法兼顧了算法多樣性和收斂性，優(yōu)化能力強于傳統粒子群算法。以上優(yōu)化軌跡和統計參數表明，基于增廣拉格朗日?多學習行為粒子群算法的機械臂軌跡優(yōu)化方法是有效的，且規(guī)劃效果較好。

5 結論

這里研究了冗余機械臂的關節(jié)空間軌跡優(yōu)化問題，使用加權系數法將多個優(yōu)化目標統一為單個優(yōu)化目標，使用增廣拉格朗日乘子法將約束優(yōu)化問題轉化為無約束優(yōu)化問題，提出了多學習行為粒子群算法的求解方法。經過驗證可以看出，多學習行為粒子群算法的規(guī)劃速度和優(yōu)化結果好于傳統粒子群算法，且多學習行為粒子群算法規(guī)劃的軌跡平滑可用。