游達章，余 煉，張 敏，康亞偉

（湖北工業(yè)大學機械工程學院，湖北武漢 430068）

1 引言

步進或伺服電機被廣泛應用于數(shù)控機床上，其加減速控制源于給定脈沖頻率的改變。從微觀層面看，電機轉軸在單位脈沖周期內(nèi)經(jīng)歷了加速再減速而后短暫延時的過程，可認為在該極短時間內(nèi)電機是勻速轉動的。因而，隨著脈沖頻率的改變，電機轉速隨時間變化呈“階梯狀”。因而刀具在進給過程中速度隨電機不連續(xù)變化，該過程稱為加減速離散過程。文獻［1］研究步進運動控制系統(tǒng)最優(yōu)插補周期的過程中提到了步進電機的理論運動平穩(wěn)性指標，認為速度階躍變量（即“臺階”高度差）越小，電機運行將越平穩(wěn)，為評價速度變化的平穩(wěn)性提供了指標。文獻［2］提出的基于位移等效原則對時間連續(xù)速度曲線進行周期化離散變換的方法，為改進連續(xù)速度曲線周期化離散提供了良好的算法基礎；文獻［3］提出的加減速離散算法給出了速度迭代公式，可以避免處理預測減速點，但以上二者都并未著眼于減少迭代次數(shù)。傳統(tǒng)離散算法每走一步，計算一次脈沖間隔時間（即插補周期），這樣能使精度達到最高。而當加工路徑起始點距離過長、加工精度要求不高時，沒有必要每隔一步計算一次插補周期。為了減少計算量，并能夠針對不同加工精度對“臺階”高度做出調(diào)整，使計算量和精度最合適，可以用每隔多步計算一次脈沖間隔時間的方法改進離散算法。仿真結果表明，改進的離散算法能夠有效減少計算量，并能夠較為真實地描述和還原速度和位移隨時間的變化關系。

2 傳統(tǒng)加減速離散算法原理

2.1 步進條件的定義

刀具沿著加工路徑，從起點向終點進給，其速度隨時間的變化關系為v（t），位移隨時間的變化關系為S（t），如圖1所示。為了實時跟蹤位移量，需每經(jīng)過一段很短時間計算一次位移。從起始點開始，若以下條件成立：

圖1 傳統(tǒng)加減速離散算法原理Fig.1 Principle of Traditional Acceleration/Deceleration Discrete Algorithm

式中：D—加工路徑起點到終點距離/mm；N—加工路徑起點到終點總步數(shù)/steps；λ—距步比；T—采樣周期/min；xs，i—第i次滿足步進條件時距離起點的實際步數(shù)，且xs,i=i；xt，i—第i次滿足步進條件時離起點的理論步數(shù)；yi—第i次滿足步進條件時離起點的理論距離。

每次滿足步進條件向電機發(fā)送單位脈沖以驅動電機。

2.2 加減速離散算法實現(xiàn)過程

從起點開始，經(jīng)過n1個采樣周期T之后，首次滿足步進條件，如圖1所示。

視在步數(shù)區(qū)間（0，xs，1］內(nèi)刀具沿進給方向勻速運動，歷時時間近似為t1，且：

那么，可近似得到該區(qū)間內(nèi)速度的平均值：

事實上，在xs，1處的速度為v1，而在區(qū)間（xs，1，xt，1］內(nèi)的速度理應大于v1，因而要將該區(qū)間多出的時間和位移“掐尾”。在區(qū)間（0，xs，1］所經(jīng)歷的時間。

那么，可近似得到該區(qū)間內(nèi)速度的平均值：

則理論上認為在步數(shù)區(qū)間（xs，i?1，xt，i］內(nèi)為勻速運動，且時間近似滿足。

則該區(qū)間的速度近似滿足：

式中：xi—第i次滿足步進條件時的前進步數(shù)。

多出的剩余時間tr，i計入下一個周期，其中：

由此得到速度隨時間和步數(shù)的迭代公式：

式中：vi—第i次插補平均速度；xi—第i次插補前進步數(shù)；ti—第i次插補歷時時間。

其中，初始條件為：

3 加減速離散算法的改進

3.1 改進加減速離散算法原理

刀具沿著加工路徑，從起點向終點進給，其速度隨時間的變化關系為v（t），位移隨時間的變化關系為S（t），如圖2所示。

圖2 改進加減速離散算法原理圖Fig.2 Schematic Diagram of Improved Acceleration/Deceleration Discrete Algorithm

從起始點開始，若以下條件成立：

式中：D—加工路徑起點到終點距離/mm；

N—加工路徑起點到終點總步數(shù)/steps；

T—采樣周期/min；λ—距步比；

xk，i—第i次滿足步進條件時距離起點的參考步數(shù)，且xk,i=σi,σ≥1；

xt，i—第i次滿足步進條件時離起點的理論步數(shù)；

yi—第i次滿足步進條件時離起點的理論距離。

每次滿足步進條件向電機發(fā)送若干脈沖以驅動電機。重復2.2中的推導過程，不難得知，當再次經(jīng)過ni個采樣周期T之后，得到速度隨時間和步數(shù)的迭代公式。

式中：vi—第i次插補平均速度；xi—第i次插補前進步數(shù)；ti—第i次插補歷時時間。

其中初始條件為：

3.2 算法改進前后對比

將改進前和改進后的算法總結為流程圖，如圖3所示。可知算法改進前后的區(qū)別在于步進條件的不同。

圖3 加減速算法改進前后流程圖對比Fig.3 Comparison of Flowcharts Before and After the Acceleration/ Deceleration Algorithm is Improved

事實上，當σ=1時，改進后的加減速離散算法就是改進前的算法。

4 改進算法的應用和評估

4.1 改進算法的應用

假設某加工路徑起始點的坐標為：（0，0），終點坐標為：（0.08mm，0.05mm），總步數(shù)為64，給定的速度為：50mm/min，加速度為：42453mm/min2，起點和終點速度為：0，采樣時間為：1/1920000min。

那么可以得到速度和位移隨時間的變化關系，如圖4（a）、圖4（b）所示。采用改進前的離散算法，得到速度隨時間和步數(shù)的變化關系，如圖5所示。

圖4 速度和位移隨時間的變化關系Fig.4 Relationship Between Speed and Displacement over Time

圖5 速度隨步數(shù)和時間的變化關系Fig.5 Relationship Between Speed and Number of Steps and Time

在不改變速度?時間關系的前提下，通過增大“臺階”高度差，得到改進之后的速度隨時間和步數(shù)的變化關系，以σ=1.25，1.5，1.75為例，如圖6所示。

圖6 σ對速度?步數(shù)和速度?時間關系的影響Fig.6 Effect of σ on Speed?Step Number and Speed?Time Relationship

位移?時間的變化關系，如圖7所示。

圖7 不同σ對位移?時間關系的影響Fig.7 Effect of Different σ on Displacement?Time Relationship

可知，將σ控制合適范圍內(nèi)，改進后的算法仍然能較好地還原位移—時間關系。

4.2 改進算法的評估

首先，為了更好地評價改進后的離散算法得到的速度?時間曲線對理論速度?時間曲線的擬合程度，引入評價指標：

式中：v′（t）—改進離散算法得到的實際速度?時間函數(shù)；v（t）—理論速度?時間函數(shù)；t′—實際總時間；t—理論總時間；η—實際曲線對理論曲線的擬合度，無量量綱。

分子為該兩條函數(shù)曲線圍成的面積，分母為起點到終點位移。η值越小，表示擬合度越好。其次，不可否認，改進后的離散算法對平穩(wěn)性有著重要影響，文獻［1］中提到的速度躍變量可作為平穩(wěn)性的衡量指標。

式中：v—加減速過程的速度變化量；K—速度躍變次數(shù)。

速度越變量越小，平穩(wěn)性越好。最后，統(tǒng)計改進離散算法得到的迭代次數(shù)i，得到計算量的評價指標。通過改變σ的值，得到σ對以上3個指標的影響，如圖8所示。

圖8 σ對評價指標的影響Fig.8 Influence of σ on the Evaluation Index

從圖8中可知，σ在取值在（1，3］時，改進離散算法得到的速度?時間曲線仍然能較好的擬合理論速度?時間曲線。

此外，迭代次數(shù)i也隨σ增大而增大，當σ為3時，迭代次數(shù)減少了近2倍。但在一定程度上犧牲了平穩(wěn)性，當σ為3時，速度階躍變量增大了近1.8倍?？傮w來看，效率增長速度比平穩(wěn)性下降速度要快。因而，對于加工路徑過長，加工精度不高的時，可適當增大σ以減少迭代次數(shù)和計算量，提高加工效率。

5 結論

針對加工路徑較長，精度要求不高的場合，為了減少計算量，并能夠針對不同加工精度對“臺階”高度做出調(diào)整，使計算量和精度達到最優(yōu)，可以每隔多步計算一次脈沖時間間隔。仿真結果表明，改進的離散算法能夠顯著減少迭代次數(shù)，并能夠較為準確地描述和還原速度和位移隨時間的變化關系。