胡 爽，黃 鵬，蔣 凱，李良榮

（1 貴州大學(xué) 大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴陽 550025；2 北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京100000 ）

0 引言

近年來，相干信源的波達(dá)方向估計(jì)受到廣泛關(guān)注，并成為陣列信號(hào)處理和實(shí)際工程應(yīng)用的一個(gè)主要研究范疇，普遍應(yīng)用于雷達(dá)、導(dǎo)航及移動(dòng)通信系統(tǒng)中［1-2］。而基于子空間的算法，如多重信號(hào)分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法、旋轉(zhuǎn)不變信號(hào)子空間算法等以其高分辨率的估計(jì)性能成為研究重點(diǎn)。但由于陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣秩虧損的問題，此類算法無法準(zhǔn)確估計(jì)相干信號(hào)源的來波方向。最大似然算法和壓縮感知算法對信號(hào)的相干性不敏感，但由于其計(jì)算復(fù)雜度相當(dāng)大，不適合實(shí)際應(yīng)用。為解決這一問題，Evans 等人提出了前向空間平滑算法和前后向空間平滑（Forward and Backward Spatial Smoothing，F(xiàn)BSS）算法，然而陣列孔徑的減少致使這些算法的估計(jì)性能較差，并使最大可分辨信號(hào)的數(shù)量減少。

ESPRIT-like 及其變體受到了廣泛的關(guān)注［3］。該方法利用樣本協(xié)方差矩陣（Sample Covariance Matrix，SCM）的任意一行重構(gòu)Toeplitz 矩陣以恢復(fù)矩陣的秩，再與ESPRIT 方法結(jié)合就可以直接得到DOA。然而僅應(yīng)用一行SCM 可能會(huì)導(dǎo)致信息的不完全利用和估計(jì)精度下降。此外，胡茂廳等［4］提出一種增強(qiáng)的雙向空間平滑（SS-TLSESPRIT）算法，此算法先利用雙向空間平滑技術(shù)對信號(hào)做預(yù)處理，再結(jié)合TLS-ESPRIT 算法估計(jì)信號(hào)的DOA，但當(dāng)外部參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，其估計(jì)的精度會(huì)大大下降，因此其穩(wěn)定性能較差；為提高陣列元素的利用率，張薇等［5］提出托普利茨矩陣重構(gòu)（Mutiple -Toeplitz matrix reconstruction，MTOEP）方法，但此類算法的魯棒性受相干信號(hào)的相位差和入射角等因素的影響較大；為了解決這個(gè)問題，張薇等［6］又提出了一種前后向部分托普利茨矩陣重構(gòu)（Forward and Backward Partial Toeplitz Matrices Reconstruction，F(xiàn)B-PTMR）算法，該方法僅利用輸出協(xié)方差矩陣的半行重構(gòu)Toeplitz 矩陣，但在低信噪比下，Toeplitz 重構(gòu)方法DOA 估計(jì)性能很差。

為克服以上算法缺點(diǎn)，本文在TLS-ESPRIT 算法基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)的前后向空間平滑算法（IFBSS-TLSESPRIT），該方法首先構(gòu)造出時(shí)空相關(guān)矩陣子陣列，有效減小了噪聲的影響；其次，通過時(shí)空相關(guān)矩陣重構(gòu)平滑后的陣列協(xié)方差矩陣，有效地提升了信號(hào)的能量，并進(jìn)一步提高了DOA 估計(jì)性能；最后，將該方法與TLS-ESPRIT 算法結(jié)合，可直接獲得相干信號(hào)的DOA。本文方法有效地提高了在低信噪比、小快拍數(shù)以及信號(hào)間距較小等情形下相干信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)的精確度和成功率。將該方法與其他幾種典型算法進(jìn)行仿真對比，結(jié)果表明了該方法的穩(wěn)定性和優(yōu)越性。

1 均勻線陣信號(hào)模型

考慮一個(gè)由M個(gè)各向同性的傳感器組成的對稱均勻直線陣列，如圖1 所示。相鄰傳感器的間距為d ＝λ／2（λ是信源波長），設(shè)存在K(M ＞K) 個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信源從不同來波方向（θ1，θ2，…，θK）入射至該陣。則該陣所接收到的數(shù)據(jù)可描述為

圖1 均勻線陣示意圖Fig.1 Schematic diagram of uniform line array

其中，x（t）＝[x1(t)，x2(t)，...，xM(t)]Τ是天線陣列接收的數(shù)據(jù)向量；t ＝1，2，…，T是信號(hào)采樣次數(shù)，也叫快拍數(shù)；S（t）＝［s1（t），s2（t），…，sK（t）］T是空間信號(hào)向量；N(t)＝[n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T是噪聲向量，噪聲滿足均值是0、方差是δ2的高斯分布，并且與信號(hào)是完全不相關(guān)的；A（θ）＝［a（θ1），a（θ2），…，a（θK）］是導(dǎo)向矢量矩陣，其中，a(θ) 是均勻線陣響應(yīng)矢量，包含了角度相關(guān)的信息。

理想情況下，可用式（2）表示：

則陣列信號(hào)的協(xié)方差矩陣為式（3）：

其中，Rs表示信源協(xié)方差矩陣；δ2表示噪聲功率；I表示單位向量。

2 本文方法

2.1 TLS-ESPRIT 算法模型

假設(shè)接收陣列被分成兩個(gè)一樣的重疊子陣列，陣元數(shù)為M，且二者的距離為Δ，那么對同一信號(hào)而言，其輸出值僅存在一個(gè)相位差Φ。若Bx和By分別表示兩子陣的接收數(shù)據(jù)，則：

其中，Φ ＝diag［ejφ1，ejφ2，…，ejφK］；S(t) 是 信源；N1，N2為噪聲矢量；A為陣列導(dǎo)向矢量。

將陣列的接收向量定義為B，故其表達(dá)式（6）為：

則陣列天線的接收向量B的自相關(guān)矩陣，式（7）：

其中，Rz為信源自相關(guān)矩陣，σ2為噪聲方差。

對R做特征分解，并將特征值由大到小排列，取與前K個(gè)大的特征值相關(guān)的特征向量組成信號(hào)子空間，并將其分為Ex，Ey兩個(gè)部分，故有唯一且滿秩的K × K維矩陣T，使Ex，Ey滿足條件，式（8）：

用Ex，Ey計(jì)算特征值，式（9）：

其中，Λ表示信號(hào)子空間。

把E分解為K ×K維子陣，并且構(gòu)造Ψ，計(jì)算Ψ的特征值λk(k ＝1，2，…，K)，式（10）和式（11）：

利用求得的特征值來估計(jì)信號(hào)源的方向

在信源相干的情況下，E為非滿秩矩陣，即由式（11）得到的特征值數(shù)目少于信源數(shù)，因此TLSESPRIT 方法無法準(zhǔn)確估計(jì)相干信號(hào)的角度信息，必須加以改進(jìn)。

2.2 前后向空間平滑算法

前向空間平滑技術(shù)原理如圖2 所示，將原陣劃分為p個(gè)相互部分疊合的子陣，并對子陣協(xié)方差矩陣進(jìn)行空間平滑來恢復(fù)秩，且各子陣包含m個(gè)陣元，則p和m 滿足：M ＝p ＋m -1。

如圖2 所示，前向空間平滑是將第一個(gè)子陣當(dāng)作參考陣，那么第k個(gè)子陣所接收的數(shù)據(jù)矢量，式（14）：

圖2 前向空間平滑算法原理Fig.2 The principle of forward spatial smoothing algorithm

其中，

則該子陣的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，式（15）：

前向空間平滑處理后所得到的秩恢復(fù)的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，式（16）：

同樣，后向空間平滑數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，式（17）：

②敷貼藥物組方及配制方法：包括炒白芥子、炙甘遂、細(xì)辛、延胡索、肉桂、干姜、生麻黃、沉香、冰片、麝香，按4∶4∶2∶2∶2∶2∶2∶2∶1∶1配成，上述藥物研末并篩出細(xì)粉后用新鮮生姜汁、蜂蜜等溶劑調(diào)成膏狀，制成1 cm×1 cm×1 cm大小藥球，置于5 cm×5 cm的防過敏貼中央，為保證最大療效，敷貼皆為現(xiàn)場調(diào)制。

因?yàn)楦髌交雨囮囋嗤?，故Rf和Rb實(shí)際上互成共軛倒序陣。再結(jié)合共軛倒序不變特性，可得雙向空間平滑數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，式（18）：

對Rfb特征分解，得式（19）：

其中，ΣS是包含i個(gè)較大的特征值的對角矩陣，與其相對應(yīng)的特征向量組成信號(hào)子空間US ＝[e1，...，ei] ；ΣN是包含M-i個(gè)較小的特征值的對角矩陣，與其相對應(yīng)的特征向量構(gòu)成噪聲子空間UN ＝[ei ＝1，...，eM] 。

得到M個(gè)特征值λ，將這些特征值由大到小排序：

由公式（16）可以看出，前后向空間平滑技術(shù)沒有改變噪聲特性，導(dǎo)致低信噪比下DOA 估計(jì)性能下降。

2.3 改進(jìn)算法

2.3.1 改進(jìn)的前后向空間平滑算法

對于公式（16），設(shè)任意τ ＞0，其第i個(gè)子陣的時(shí)空相關(guān)矩陣，式（20）：

其中，ni（t）表示第i個(gè)子陣的噪聲向量。

又因?yàn)樵肼暦母咚狗植?，即滿足均值為0，故式（20）可化簡為式（21）：

其中，i ＝1，2，…，K，ω是載波頻率。

構(gòu)造第i個(gè)子陣的時(shí)空相關(guān)協(xié)方差矩陣，式（22）：

將前向時(shí)空平滑陣列協(xié)方差矩陣定義為時(shí)空相關(guān)協(xié)方差矩陣子陣列的均值，式（23）：

同樣，后向時(shí)空平滑陣列協(xié)方差矩陣，式（24）：

對于該方法，需要根據(jù)實(shí)際的應(yīng)用背景來確定延時(shí)τ。如果信號(hào)是非常平穩(wěn)的或者信號(hào)變化方向迅速，τ應(yīng)該適當(dāng)?shù)匦∫恍Ｒ话闱闆r下，τ值越大，噪聲的相關(guān)程度越低，DOA 估計(jì)性能越好。

2.3.2 IFBSS-TLSESPRIT 算法

為解決相干信源協(xié)方差矩陣秩虧缺的問題，且減少噪聲的干擾，將TLS-ESPRIT 算法和改進(jìn)的空間平滑算法相結(jié)合，提出一種IFBSS-TLSESPRIT 算法。

本文提出的相干信號(hào)DOA 估計(jì)算法歸納如下：

（1）建立相干信號(hào)源模型S（t），加入均值為0、方差為δ2的高斯白噪聲；

3 仿真驗(yàn)證及性能對比分析

現(xiàn)選取幾種典型的相干信號(hào)源DOA 估計(jì)算法：ESPRIT-like、SS-TLSESPRIT、MTOEP，與本文采用的IFBSS-TLSESPRIT 算法做對比分析。

3.1 仿真一 與其他解相干算法在不同信噪比下性能對比

仿真中采用的均勻直線陣的陣元間距是半波長、陣元數(shù)M ＝11。SS-TLSESPRIT 算法和本文的IFBSS-TLSESPRIT 算法利用空間平滑技術(shù)劃分的子陣列數(shù)目為4，快拍數(shù)為150，信源數(shù)為4，其中3個(gè)相干信源的DOA 分別為-5°、5°和18°，另一個(gè)非相干信源的DOA 為40°。當(dāng)信噪比間隔為2 dB，從-14 dB到10 dB 均勻變化時(shí)，對本文選取的幾種解相干方法進(jìn)行1 000 次Monte Carlo 仿真，對比其DOA 估計(jì)成功概率（估計(jì)值與真實(shí)值的偏差≤±2°所占的比例），再通過均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）來判斷幾種算法的準(zhǔn)確度，RMSE 定義，式（26）：

其中，L為信源數(shù)；K為Monte Carlo 次數(shù)；為估計(jì)角度；θ為實(shí)際角度。

幾種方法DOA 估計(jì)的均方根誤差與信噪比的關(guān)系如圖3 所示。均方根誤差越小，則估計(jì)結(jié)果越準(zhǔn)確。與其他3 種相干信號(hào)DOA 估計(jì)方法相比，本文方法在整個(gè)信噪比區(qū)域內(nèi)的均方根誤差都要小，尤其對于信噪比為-8 dB 時(shí)，該方法的RMSE僅為1.39°，而其余方法均大于4.00°。說明當(dāng)信噪比較低時(shí)，本文所提出的算法估計(jì)的準(zhǔn)確性明顯高于其他算法。

圖3 不同信噪比下DOA 估計(jì)均方根誤差Fig.3 Root of mean square error of DOA estimation under different signal-to-noise ratios

DOA 估計(jì)成功概率與信噪比的關(guān)系如圖4 所示?？梢钥闯觯烙?jì)成功概率同信噪比成正相關(guān)。在信噪比小于0 dB 的條件下，本文的IFBSSTLSESPRIT 算法DOA 估計(jì)成功概率顯著高于其他3 種方法，當(dāng)信噪比＝-8 dB 時(shí)，本文提出的IFBSSTLSESPRIT 算法DOA 估計(jì)成功概率接近80.00%，而其余方法均小于49.20%。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法具有更低的信噪比門限以及更好的分辨能力。

圖4 不同信噪下DOA 估計(jì)成功概率Fig.4 Success probability of DOA estimation under different signal-to-noise ratios

3.2 仿真二 與其他解相干算法在不同快拍數(shù)下性能對比

信噪比SNR ＝-5 dB，快拍數(shù)間隔為20，從20到220 均勻變化，其余仿真條件與仿真一保持一致。應(yīng)用ESPRIT-like、SS-TLSESPRIT、MTOEP 與本文IFBSS-TLSESPRIT 方法對信號(hào)源在不同快拍數(shù)下，先后進(jìn)行1 000次Monte Carlo 仿真分析，如圖5 和圖6 所示。

圖5 不同快拍數(shù)下DOA 估計(jì)均方根誤差Fig.5 Root mean square error of DOA estimation under different number of snapshots

圖6 不同快拍數(shù)下DOA 估計(jì)成功概率Fig.6 Success probability of DOA estimation under different snapshots

圖5 和圖6 說明在整個(gè)快拍區(qū)域，本文方法較之于其他相干信號(hào)DOA 估計(jì)方法實(shí)現(xiàn)了更低的均方根誤差和更高的DOA 估計(jì)成功概率。在快拍數(shù)為220 時(shí)，本文方法DOA 估計(jì)的RMSE大約為0.56°，DOA 估計(jì)成功概率大約為94.12%，而其它方法的RMSE均大于1.22°，DOA 估計(jì)成功概率均小于76.38%。即使在快拍數(shù)較小的情況下，本文方法與其他方法相比也明顯有更好的估計(jì)性能。

3.3 仿真三 與其他解相干算法在不同DOA 間隔下性能對比

假設(shè)有兩個(gè)相干信號(hào)源，且兩信號(hào)的波達(dá)方向角分別為-6°，-6°＋Δθ（Δθ從4°～16°均勻變化），應(yīng)用ESPRIT-like、SS-TLSESPRIT、MTOEP 與本文IFBSS-TLSESPRIT 方法對此相干信號(hào)在不同角度間隔下，先后做1 000 次Monte Carlo 仿真分析，信噪比SNR ＝-5 dB，其余仿真條件同仿真一，如圖7和圖8 所示。

圖7 不同角度間隔下DOA 估計(jì)均方根誤差Fig.7 Estimated root mean square error at different angular intervals

圖8 不同角度間隔下DOA 估計(jì)成功概率Fig.8 Success probability of DOA estimation under different angular intervals

從圖7 和圖8 可以看出，本文方法與其它相干信號(hào)DOA 估計(jì)算法相比，在整個(gè)角度間隔區(qū)域內(nèi)具有最好的估計(jì)精度和角度分辨率。這是由于本文IFBSS-TLSESPRIT 算法利用噪聲的弱相關(guān)性提高了對噪聲的抑制能力。特別是當(dāng)角間隔大于6°時(shí)，該方法的估計(jì)誤差達(dá)到了一個(gè)相對穩(wěn)定的狀態(tài)（均方根誤差RMSE≤1.07°，DOA 估計(jì)成功率大于76.00%）。即便在角度間隔小于6°時(shí)，本文方法DOA 估計(jì)精度和分辨率也大大高于其他方法。

4 結(jié)束語

本文利用不同快拍下信號(hào)的強(qiáng)相關(guān)性和噪聲的弱相關(guān)性，提出了一種基于TLS-ESPRIT 的改進(jìn)空間平滑算法以進(jìn)行相干信號(hào)的DOA 估計(jì)?；跁r(shí)空相關(guān)矩陣子陣列構(gòu)造時(shí)空平滑陣列協(xié)方差矩陣以提高噪聲抑制能力。本文方法并不影響非相干信號(hào)存在時(shí)DOA 的估計(jì)，與現(xiàn)有ESPRIT 方法、Toeplitz矩陣重構(gòu)方法和空間平滑方法相比，在信噪比較低條件下，DOA 估計(jì)性能明顯提升。在快拍數(shù)較少的條件下，該方法的收斂速度比其他方法更快。仿真結(jié)果也證實(shí)了在相干源之間的DOA 間隔較近的情況下，本文方法比其他方法具有更高的角度分辨率。