李春，李自成，余丹，李虹鋼，楊馨茹，劉俊彤

（成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，四川 樂山 614000）

倒立擺控制是一種不穩(wěn)定、多變量的、復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，它的特性使它延伸出許多具有非線性、隨動(dòng)和魯棒性問題。為控制理論教學(xué)提供了良好的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，使新理論方法研究得到了發(fā)展。在航天飛行器平穩(wěn)飛行，尤其機(jī)器人在平衡飛行、火箭垂直發(fā)射以及衛(wèi)星的姿態(tài)等方面有著重要的應(yīng)用。[1]所以，倒立擺的控制方法無論對(duì)我國(guó)還是世界都有著極其重要的實(shí)際意義和研究前景。

PID（Proportional Integral Derivative）控制，該方法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、魯棒性好、工作可靠等優(yōu)勢(shì)，在實(shí)際生產(chǎn)中得到了廣泛的使用。在反饋環(huán)中，通過利用比率（I）、積分（I）和微分（D）求取該控制量來進(jìn)行控制調(diào)整。它可以對(duì)當(dāng)前誤差以及穩(wěn)態(tài)誤差迅速準(zhǔn)確地做出調(diào)節(jié)，還可以在動(dòng)態(tài)過程不斷變化時(shí)，給定參數(shù)提前對(duì)誤差進(jìn)行調(diào)節(jié)，對(duì)于倒立擺這種非線性、時(shí)變、強(qiáng)耦合系統(tǒng)的調(diào)節(jié)能夠達(dá)到一個(gè)很好的效果。[2]

1 倒立擺系統(tǒng)的建模

1.1 一級(jí)倒立擺的物理建模

在建立直線一級(jí)倒立擺的過程中，不考慮空氣的阻力和摩擦力時(shí)，它可以被看作是一個(gè)由小車和一個(gè)均勻的搖桿構(gòu)成的運(yùn)動(dòng)剛體，如圖1 所示。[3]本文將此體系的各個(gè)參數(shù)設(shè)為：M 為小車的質(zhì)量，m 為小車的質(zhì)量，b 為小車的摩擦因數(shù)，l 為搖桿旋轉(zhuǎn)軸線至桿質(zhì)心的距離，I 為擺桿慣性的設(shè)定，F(xiàn) 為加在小車上的力的設(shè)定，x 為小車所在位置，φ為擺桿與垂直向上方向的夾角，θ為擺桿與垂直向下方向的夾角（擺桿初始位置為豎直向下）。

1.2 一級(jí)倒立擺的運(yùn)動(dòng)分析及數(shù)學(xué)建模

分析圖1，小車在水平方向上的合力，得到以下方程：

圖1 一級(jí)倒立擺結(jié)構(gòu)圖

假設(shè)φ＜＜1，（φ為擺桿與豎直方向上間的夾角），則可對(duì)等式（4）、（8）做近似處理，用u 表示被控制對(duì)象的輸入外力F，則可得到線性化后的一級(jí)倒立擺微分方程：

對(duì)式（10）整理后可得到傳遞函數(shù)：

圖2 擺桿受力分析圖

注：上面?zhèn)鬟f函數(shù)輸入為u（也就是小車的外力F），而輸出是擺桿與豎直方向角度φ。

2 利用MATLAB 對(duì)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

給出了一個(gè)具體的倒立擺系統(tǒng)的參量：小車重量M=0.5 公斤，搖桿重量m=0.2 公斤，小車的摩擦力b=0.1，搖桿旋轉(zhuǎn)軸線至桿質(zhì)中心的距離為0.3m，慣性I 為I=0.006kg*m2，而重力加速度的計(jì)算是g=9.8m/s2。

將上述參數(shù)代入式（11）可得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式：

通過MATLAB 繪制出上述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)圖如圖3，并求出其開環(huán)極點(diǎn)為s1=5.5651，s2=-5.6041，s3=-0.1428，觀察圖3 可知，在此基礎(chǔ)上，得到了在 S的右半平面上的極點(diǎn)，因此，在此基礎(chǔ)上判定系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，再繪制出該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖4，由圖4 可知，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。[4]

圖3 系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖

圖4 單位階躍響應(yīng)曲線

3 PID 控制原理與算法分析

通過對(duì)前面的倒立擺建模，并利用 MATLAB 軟件對(duì)其進(jìn)行了穩(wěn)定性的仿真，證明了線性一階倒立擺的穩(wěn)定性。其中輸入為外力u，輸出為擺桿與豎直方向上的夾角。其PID 控制器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖5 所示，R（s）為系統(tǒng)給定輸入值，E（s）為偏差值，C(s)為輸出值，Gc（s）為控制器，采用比例、積分、微分等方法來調(diào)整系統(tǒng)的誤差。PID 控制的計(jì)算公式如下：

圖5 PID 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

式中，KP 為比例系數(shù)，Ti 為積分時(shí)間常數(shù)，Td 為微分時(shí)間常數(shù)，我們采用試湊法，通過調(diào)節(jié)KP、KI、KD 的值來確定參數(shù)，使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

4 倒立擺系統(tǒng)的PID 控制器在MATLAB 下的仿真

我們通過MATLAB 下的可視化仿真工具Simulink建立了線性一階倒立擺的 PID 控制模型，并對(duì)其進(jìn)行了模擬，并在此基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行了持續(xù)的取樣，研究了各種因素對(duì)其穩(wěn)定性的作用，并對(duì)其進(jìn)行了修正，使系統(tǒng)達(dá)到了一個(gè)我們需要的理想狀態(tài)。圖6 為PID控制器在Simulink 下的仿真圖。[5]

圖6 PID 控制器Simulink 仿真圖

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，在PID 控制器參數(shù)設(shè)置界面如圖7，采用試湊法改變各項(xiàng)參數(shù)來使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。觀察圖8，我們發(fā)現(xiàn)在 KP=1,KI=1,KD=1 時(shí)，系統(tǒng)控制曲線不收斂，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定，然后我們調(diào)節(jié)KP=100,KI=1,KD=1，消除穩(wěn)態(tài)誤差之后，得到調(diào)節(jié)后的仿真圖如圖9，系統(tǒng)在2s 后達(dá)到一個(gè)平衡狀態(tài)，但同時(shí)系統(tǒng)還存在著振蕩，最終調(diào)節(jié)到KP=100,KI=1,KD=20后，得到其仿真圖像如圖10，超調(diào)量得到減小，消除了系統(tǒng)振蕩，同時(shí)響應(yīng)速度加快，調(diào)節(jié)時(shí)間得到減少，在1s 后系統(tǒng)就達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。

圖7 PID 控制器參數(shù)設(shè)置界面

圖8 KP=1,KI=1,KD=1PID 控制器仿真圖

圖9 KP=100,KI=1,KD=1PID 控制器仿真圖

圖10 KP=100,KI=1,KD=20PID 控制器仿真圖

通過以上調(diào)節(jié)，最終我們得到了直線一級(jí)倒立擺在PID 控制器的調(diào)節(jié)之下各項(xiàng)參數(shù)值的變化，發(fā)現(xiàn)PID調(diào)節(jié)能夠迅速消除誤差，且操作簡(jiǎn)單，對(duì)于研究倒立擺這種復(fù)雜的系統(tǒng)能夠有一個(gè)很好的效果。

5 結(jié)論

通過對(duì)直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研究，發(fā)現(xiàn)PID 控制對(duì)非線性的、多變量且耦合的等復(fù)雜性系統(tǒng)有一個(gè)很好的處理效果，在眾多控制理論中有著巨大優(yōu)勢(shì)，基于 MATLAB 的 PID 控制器的模擬與實(shí)現(xiàn)，能夠很好且快速地解決倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，對(duì)研究工作提供了很好的幫助。